《矩形的性质》同步练习题

《矩形的性质》同步练习题同学们在学习了矩形的性质之后，是否已经对这种特殊的平行四边形有了清晰的认识呢？为了帮助大家更好地理解和巩固所学知识，下面我们将通过一系列同步练习题，从基础概念到综合应用，全面检验大家的掌握程度。请同学们在独立思考的基础上完成以下题目，相信这会对你们的学习有所助益。一、夯实基础，理解概念填空题1.矩形的定义是：有一个角是______的平行四边形叫做矩形。由此可知，矩形首先是一个______，因此它具有平行四边形的所有性质。2.矩形的四个内角都是______度。这是矩形区别于一般平行四边形的重要特性之一。3.矩形的对角线______。这一性质使得矩形在解决与线段长度相关的几何问题时非常有用。4.若矩形的一条对角线长为10，则其两条对角线的交点到任意一个顶点的距离为______。选择题5.下列性质中，矩形不一定具有的是（）A.对边平行且相等B.对角线互相垂直C.对角线相等D.四个角都是直角6.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相平分判断题（对的打“√”，错的打“×”）7.矩形的对角线把矩形分成四个全等的直角三角形。（）8.所有的矩形都是轴对称图形，并且都有两条对称轴。（）二、能力提升，学以致用解答题9.已知：如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8。求对角线AC的长。（提示：可利用勾股定理）10.在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，求矩形对角线的长及BC的长。11.求证：矩形的对角线相等。（要求：写出已知、求证，并证明）12.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OD的中点。求证：四边形EBCF是等腰梯形。三、综合运用，拓展思维13.如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF。求证：BF=CD。14.已知：矩形ABCD中，延长CB到E，使CE=CA，连接AE。若∠E=25°，求∠CAD的度数。---参考答案与解析一、夯实基础，理解概念1.直角；平行四边形。（解析：矩形的定义是出发点，明确其属于平行四边形的范畴，同时具有一个直角的特殊性。）2.90。（解析：矩形的四个角均为直角，这是其核心性质之一。）3.相等。（解析：矩形对角线的重要性质，区别于一般平行四边形对角线互相平分但不一定相等。）4.5。（解析：矩形对角线互相平分且相等，故交点到各顶点距离相等，为对角线长的一半，10的一半是5。）5.B。（解析：选项A、C、D均为矩形的性质。矩形对角线互相平分且相等，但只有特殊矩形如正方形对角线才互相垂直，一般矩形不具备此性质。）6.C。（解析：选项A、B、D是所有平行四边形共有的性质，而对角线相等是矩形特有的（相对于一般平行四边形而言）。）7.×。（解析：矩形对角线将矩形分成四个等腰三角形，由于矩形邻边不一定相等，所以这四个三角形只是面积相等、两组分别全等，并非四个都全等。）8.√。（解析：矩形沿其两组对边中点的连线所在直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，故是轴对称图形，且有两条对称轴。）二、能力提升，学以致用9.解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）。在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，根据勾股定理，AC²=AB²+BC²=6²+8²=36+64=100。所以AC=√100=10。故对角线AC的长为10。10.解：在矩形ABCD中，AC=BD（矩形对角线相等），且OA=OC=AC/2，OB=OD=BD/2（矩形对角线互相平分）。所以OA=OB。又因为∠AOB=60°，所以△AOB是等边三角形。因此OA=AB=4，所以AC=2OA=8，即对角线长为8。在Rt△ABC中，AB=4，AC=8，根据勾股定理，BC²=AC²-AB²=8²-4²=64-16=48。所以BC=√48=4√3。11.已知：如图，四边形ABCD是矩形。求证：AC=BD。证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°（矩形的对边相等，四个角都是直角）。在△ABC和△DCB中，AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SAS）。∴AC=BD（全等三角形对应边相等）。即矩形的对角线相等。12.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，AC=BD，OA=OC=AC/2，OB=OD=BD/2（矩形对边平行且相等，对角线相等且互相平分）。∴OA=OD。∵E、F分别是OA、OD的中点，∴OE=OA/2，OF=OD/2，EF是△OAD的中位线。∴OE=OF，EF∥AD，EF=AD/2。∵AD∥BC，∴EF∥BC。∵AD=BC，∴EF=BC/2，即EF≠BC。∴四边形EBCF是梯形（一组对边平行且不相等的四边形是梯形）。∵∠OEF=∠OFE（等边对等角），∠BOC=∠AOD=∠OEF+∠OFE=2∠OEF。又∵OB=OC（已证AC=BD，且互相平分），∴∠OBC=∠OCB。∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∴2∠OEF+2∠OBC=180°，即∠OEF+∠OBC=90°。又∵EF∥BC，∴∠OEF=∠OCB（两直线平行，内错角相等）=∠OBC。∴∠OBC+∠OBC=90°？不，这里换一种思路：∵∠OEB=180°-∠OEF，∠OFC=180°-∠OFE，而∠OEF=∠OFE，∴∠OEB=∠OFC。在△OEB和△OFC中，OE=OF，∠OEB=∠OFC，OB=OC，∴△OEB≌△OFC（SAS）。∴BE=CF。∴梯形EBCF是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）。三、综合运用，拓展思维13.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°（矩形四个角都是直角）。∴∠EFB+∠BEF=90°。∵EF⊥DF，∴∠EFD=90°。∴∠EFB+∠CFD=90°。∴∠BEF=∠CFD（同角的余角相等）。在△BEF和△CFD中，∠B=∠C，∠BEF=∠CFD，BE=CF，∴△BEF≌△CFD（AAS）。∴BF=CD（全等三角形对应边相等）。14.解：∵CE=CA，∴△ACE是等腰三角形，∠E=∠CAE=25°。∴∠ACB=∠E+∠CAE=25°+25°=50°。∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC（矩形对边平行），∠ABC=90°。∴∠CAD=∠ACB=50°（两直线平行，内错角相等）。（另：在Rt△ABC中，∠BAC=90°