2026年高考数学二轮复习：专题03 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性等性质的综合应用（复习讲义）（解析版）

/专题03函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性等性质的综合应用目录01析·考情精解 202构·知能框架 303破·题型攻坚 4考点一单调性、奇偶性 4真题动向必备知识知识1单调性定义的等价形式：知识2判断函数奇偶性的常用方法知识3常见奇、偶函数的类型命题预测考向1函数的单调性及应用考向2利用函数的单调性求参数考向3函数奇偶性及应用考向4奇函数+常数型求值考向5奇偶函数偏移考向6利用单调性、奇偶性解不等式、比较大小考点二对称性、周期性 26真题动向必备知识知识1函数的周期性知识2函数的对称性知识3函数的的对称性与周期性的关系知识4原函数与导函数的性质命题预测考向1函数的周期性考向2函数的对称性考向3双对称一周期考向4类周期函数及其应用考向5原函数与导函数的奇偶性、对称性命题轨迹透视近三年全国卷对函数奇偶性、单调性、对称性、周期性的考查为必考重点，分值占比稳定。题型以选择题、填空题为主，偶在解答题中渗透考查；命题常将四类性质结合考查，且多与函数图像、零点、不等式等知识综合。虽考查形式多样、综合性强，但核心仍围绕性质的理解与应用，部分题目在命题角度（如定性分析比较函数值大小）和形式上有创新，侧重考查数形结合、逻辑推理等数学思想，基础题易得分，压轴题则对综合运用能力要求较高。考点频次总结考点2025年2024年2023年函数的性质一卷T5，5分二卷T10，6分I卷T6，5分II卷T8，5分甲卷（文）T11，5分乙卷（理）T4，5分乙卷（文）T5，5分I卷T4，5分II卷T4，5分2026命题预测2026年全国卷对函数奇偶性、单调性、对称性、周期性的考查仍为必考重点，考情稳定。题型以选择、填空为主，偶在解答题中渗透，分值占比固定。命题延续多性质综合特点，常与函数图像、零点、不等式结合。部分题目在命题角度有创新，核心聚焦性质应用与思想运用，难度梯度分明。考点一单调性和奇偶性1．（2023·全国乙卷·高考真题，4，5分）已知是偶函数，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【详解】因为为偶函数，则，又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得.故选：D.2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题，4，5分）若为偶函数，则（

）．A． B．0 C． D．1【答案】B【详解】因为为偶函数，则，解得，当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称.，故此时为偶函数.故选：B.3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题，4，5分）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D4．（2023·全国甲卷·高考真题，13，5分）若为偶函数，则．【答案】2【详解】因为为偶函数，定义域为，所以，即，则，故，此时，所以，又定义域为，故为偶函数，所以.故答案为：2.5．（2023·全国甲卷·高考真题，11，5分）已知函数．记，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】令，则开口向下，对称轴为，因为，而，所以，即由二次函数性质知，因为，而，即，所以，综上，，又为增函数，故，即.故选：A.知识1单调性定义的等价形式:1、函数在区间上是增函数:任取，且，都有；任取，且，；任取，且，；2、函数在区间上是减函数:任取，且，都有；任取，且，；任取，且，；知识2判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.3、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.4、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.知识3常见奇、偶函数的类型1、（且）为偶函数；2、（且）为奇函数；3、（且）为奇函数；4、（且）为奇函数；5、（且）为奇函数；考向1函数的单调性及应用1．（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知函数是奇函数，则（

）A． B． C． D．1【答案】C【详解】的定义域，由，若，由不等式可解得函数定义域为，不关于原点对称，不可能为奇函数，若，解得函数定义域为，若为奇函数，必有，解得；又，解得，故选：C.2．（2025·山东滨州·模拟预测）已知函数是周期为2的偶函数，且当时，，则的值为（

）A． B． C． D．2【答案】C【详解】因为函数是周期为2的偶函数，且当时，，所以．故选：C3．（2024·宁夏固原·一模）已知为奇函数，则（

）A．－4 B．2 C．4 D．6【答案】B【详解】因为为奇函数，定义域为，则，所以，则，此时，则，满足题意故.故选：B.4．（2025·黑龙江伊春·二模）已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】观察图象可以看到，函数是奇函数，且在处函数值为负，对于A：,，满足，A正确；对于B：，不满足，B错误；对于C：，不满足，C错误；对于D：，，不满足，D错误；故选：A.5．（2025·广东珠海·三模）（多选）已知偶函数满足：当时，，则（

）A． B．当时，C． D．函数在区间上有零点【答案】ACD【详解】对于A，，A正确；对于B，当时，，则，B错误；对于C，当时，，当且仅当时取等号，则，当时，，因此，C正确；对于D，，，即，因此在区间上有零点，D正确.故选：ACD6．（2025·山西吕梁·一模）定义在上的两个函数，恒有，则（）A．为奇函数 B．为偶函数C．为奇函数 D．为偶函数【答案】B【详解】由，则，则，又定义域为，故为偶函数，故B正确；由已知得不到与关系，也得不到是否为，故A、C、D错误.故选：B.7．（2025·广西南宁·一模）（多选）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则下列说法正确的是（

）A．B．C．若，则D．方程有两个不相等的实数根，则【答案】BD【详解】因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且①，所以，即②，联立①②解得，对A，，A错误；对B，，B正确；对C，因为都是在上的增函数，所以在上单调递增，由为奇函数，所以不等式，即，解得，C错误；对D，方程有两个不相等的实数根，则有两个不相等的实根，整理得，令，则有两个不相等的正实根，由韦达定理和判别式可得，解得，D正确.故选：BD考向2利用函数的单调性求参数8．（2025·陕西安康·模拟预测）（多选）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则可能为（

）A． B．C． D．【答案】CD【详解】的定义域为，不是，不符合题意，故A错误；令，则在上函数单调递增，且，而单调递减，由复合函数的单调性知在上单调递减，故B错误；的定义域为，且，所以函数为偶函数，又当时，单调递增，故C正确；，所以函数的定义域为，且，函数为偶函数，当时，，由幂函数性质知，函数为增函数，故D正确.故选：CD9．（2025·广东江门·二模）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由且，得，即或，所以函数的定义域为，因为在上单调递减，在上单调递增，又函数为增函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又函数为增函数，所以函数的单调递增区间为.故选：B.10．（2024·湖北荆门·一模）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增，是减函数，根据复合函数的单调性，可得的单调递减区间为．故选：D.11．（2024·四川宜宾·二模）已知，则函数的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，，易知是减函数，因为，又在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，又当时，，当时，，则函数的最大值是，故选：C.12．（2025·广东阳江·二模）函数的单调递增区间是．【答案】【详解】函数，由，解得或，函数的图象如图所示，由图可知，函数的单调递增区间为.故答案为：.13．（2024·云南曲靖·三模）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．是偶函数，递增区间是B．是偶函数，递减区间是C．是奇函数，递减区间是D．是奇函数，递增区间是【答案】C【详解】解：将函数去掉绝对值得，画出函数的图象，如图，观察图象可知，函数的图象关于原点对称，故函数为奇函数，且在上单调递减，故选：C考向3函数奇偶性及应用14．（2025·宁夏中卫·一模）已知，，两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由函数的对称轴为，若在上不单调，则满足，解得；又由函数，可得，若在上不单调，则满足，解得，所以两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则有或，可得，所以实数的取值范围为.故选：D.15．（2025·江苏南京·模拟预测）若函数，在上单调递增，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】若，，因为底数，对数函数为单调递增函数，在上的最大值为.若，，求导得，要使单调递增，则需满足①对所有恒成立，解得，因为，则，所以，若在上单调递增，则②，解得，所以.故选：C.16．（2025·云南丽江·模拟预测）若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增．又函数在区间上不单调，所以，故选：B．17．（2025·吉林松原·二模）已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据题意，函数对任意的，且，都有，所以在上为增函数，又，所以有，即，解得，故选：D．18．（2025·四川成都·一模）若函数在上单调，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】当时，根据指数函数在上单调递增，可知.当时，，所以，在上单调递增；当时，，在上不单调；当时，，所以，在上单调递减.综上，.故选：C.19．（2025·辽宁辽阳·模拟预测）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】当时，根据对数函数的性质可知：函数在上单调递增，符合题意；当时，由换底公式可得，因为函数在上单调递增，且函数在上单调递增，所以.又，所以，，所以，所以，即，解得.综上，a的取值范围为.故选：A.20．（2024·福建漳州·模拟预测）已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是.【答案】【详解】因为是奇函数，是偶函数，满足，可得，联立方程组，解得，又因为对任意的，都有成立，所以，所以成立，构造，所以由上述过程可得在单调递增，(i)若，则对称轴，解得；(ii)若，在单调递增，满足题意；(iii)若，则对称轴恒成立；综上可得，，即实数的取值范围为.故答案为：.考向4奇函数+常数型求值21．（2025·河北保定·一模）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为（

）A．1 B． C． D．0【答案】A【详解】，令，定义域为，关于原点对称，则，所以函数为奇函数，因为在区间上的最大值为，最小值为，则在区间上的最大值为，最小值为，所以，即，所以，所以．故选：A．22．（2025·广东深圳·一模）已知函数的最大值为M，最小值为m，则.【答案】4【详解】==2+，令,则，所以为奇函数，的最大值与最小值的和为0，故,故.故答案为：4.23．（2025·湖南湘潭·二模）已知是定义在上的奇函数，函数的最大值与最小值分别为A，a，则.【答案】4【详解】.因为是定义在上的奇函数，所以，故关于对称，所以4.故答案为：4.24．（2024·甘肃平凉·二模）设函数的最大值为，最小值为，则.【答案】4052【详解】，设，定义域关于原点对称，由，知函数为奇函数，，因为，，所以.故答案为：4052.考向5奇偶函数偏移25．（2025·广东韶关·二模）已知是定义在上的偶函数，且为奇函数，若，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【详解】令，由为奇函数，得，又为偶函数，∴，∴，用替换，则，∴，即4为的周期．根据，令，得，令，得，又为偶函数，且，∴，，又的周期为4，∴，，∴．∵余，∴．故选：A．26．（2025·河南洛阳·二模）已知定义在上的函数满足：为奇函数，，，且对任意，都有，则．【答案】3【详解】由题设，则，所以，即关于对称，又，则，由于，又任意都有，所以，由，故，而，故，故．综上，．故答案为：327．（2025·广西玉林·一模）（多选）已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（）A． B．，C． D．【答案】BC【详解】对于A选项，对任意的，，当时，，所以，在等式中，令，可得，故，A错；对于C选项，因为函数是定义在上的偶函数，则，所以，即，所以，C对；对于B选项，对任意的，，所以，即函数是周期为的函数，要求函数的值域，只需求函数在上的值域即可，当时，，则，当时，，故当时，，则当时，，，故当时，函数的值域为，故，，B对；对于D选项，因为，则，故，D错.故选：BC.28．（2024·贵州铜仁·二模）已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，，则的值为.【答案】【详解】∵为偶函数，∴，又是定义域为的奇函数，∴，且，∴，∴，∴，∴，∴是一个周期为20的周期函数，∴，，∴．故答案为：．29．（2025·四川泸州·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，为奇函数，，，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【详解】因为为奇函数，所以．令，得，所以，B错误．将代入，得，A正确．将代入，得，所以，C正确．将代入，得，D正确．故选：ACD考向6利用单调性、奇偶性解不等式、比较大小30．（2025·安徽黄山·一模）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】当时，，当时，，而，所以是奇函数，当时，，因此函数在时，单调递减，而，且该函数是实数集上的奇函数，所以该函数在实数集上为减函数，所以不等式转化为，即，解得，故选：A31．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】当时，，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.又因为，且时，所以当时，，当时，.由奇函数的性质：当时，，当时，.对于不等式，当时，只需，所以或，解得或，又，则；当时，只需，所以或，解得或，又，则.综上所述，的取值范围是.故选：D.32．（2024·云南玉溪·一模）已知奇函数的定义域为，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】易得在上单调递增，且.因为是奇函数，所以在上单调递增，且.由，得，得或，解得或，所以不等式的解集为.故选：D33．（2025·山东济宁·模拟预测）已知偶函数的定义域为，对任意的，都有不等式成立.设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由对任意的，都有不等式，得函数在上单调递增，由是R上的偶函数，得在上单调递减，而，因此，所以的大小关系为.故选：C34．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减，则与的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为是定义域为的偶函数，所以，在区间上单调递减，则在区间上单调递增，可知，所以，即.故选：C.35．（2024·广西柳州·一模）已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则的零点个数是；不等式的解集为.【答案】3【详解】由图象可知：当时，；；当时，；因为是定义在上的奇函数，则，且当时，；；当时，；综上所述：的零点为，0，1，共3个；对于不等式，可知与同号，可得或，所以不等式的解集为.故答案为：3；.36．（2025·四川内江·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，若对任意的、，且，都有不等式，且，则不等式的解集是.【答案】【详解】不妨设，由可得，不等式两边同除得，令，则，故函数在上为增函数，因为函数为上的奇函数，由题意可知，函数的定义域为，，故函数为偶函数，故函数在上为减函数，因为，则，由可得，当时，，即满足不等式，当时，则，由可得，所以，解得；当时，则，由可得，，解得；综上所述，不等式的解集是.故答案为：.考点二对称性和周期性1．（2025·全国一卷·高考真题，5,5分）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题知对一切成立，于是.故选：A2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题，11,6分）（多选）设函数，则（

）A．当时，有三个零点B．当时，是的极大值点C．存在a，b，使得为曲线的对称轴D．存在a，使得点为曲线的对称中心【答案】AD【详解】A选项，，由于，故时，故在上单调递增，时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，，则，根据零点存在定理在上有一个零点，又，，则，则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；B选项，，时，，单调递减，时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，即存在这样的使得，即，根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简，若存在这样的，使得为的对称中心，则，事实上，，于是即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，，，，由，于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，D选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心知识1函数的周期性：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则（）；知识2函数的对称性：对称轴：（1）函数对于定义域内任意实数满足，则函数关于直线对称，特别地当时，函数关于直线对称；（2）若是偶函数，则关于直线对称对称中心：（1）对任意，都有，则点称为函数的对称中心；（2）若是奇函数，则关于直线对称知识3函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.知识4原函数与导函数的性质（1）若函数是可导函数，且图像关于对称，则其导函数的图像关于轴对称（2）奇函数的导数为偶函数（3）若函数是可导函数，且图像关于对称，则其导函数的图像关于轴对称（4）偶函数的导数为奇函数（5）若函数是可导函数，且图像关于对称，则其导函数的图像关于对称偶函数的导数为奇函数（6）若定义在R上的函数是可导函数，且周期为T，则其导函数是周期函数，且周期也为T（7）若函数是可导函数，定义域为D，其导函数的图像关于轴对称，则图像关于对称，为定义域内任意一点考向1函数的周期性1．（2025·河南南阳·模拟预测）已知定义域为的偶函数满足，且时，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据为偶函数及，.故选：D2．（2025·河北保定·三模）已知函数是周期为2的奇函数，且，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【详解】由题函数是周期为2的奇函数，且，所以.故选：A3．（2025·四川绵阳·一模）设是定义在上的奇函数，且，当时，，则的值为．【答案】【详解】由题设，所以是周期为3的奇函数，则.故答案为：4．（2025·安徽阜阳·一模）如果且，则的值为（

）A．1012 B．2024 C．1013 D．2026【答案】D【详解】因为，所以，又，所以，则.故选：D5．（2025·四川德阳·模拟预测）已知定义在R上的函数满足则等于（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】由题设，当时，，即当时，3是函数的一个周期，则．故选：C.6．（2024·河南驻马店·三模）（多选）已知定义在R上的连续函数是偶函数，且满足，且，，，都有，则（

）A． B．在单调C． D．在有三个极值点【答案】CD【详解】由可知，所以，A错误；因为,，，都有，所以在单调递增，又为偶函数，所以在单调递减，由周期性可知在单调递增，所以在不单调，B错误；由A项知的周期为8，所以，又，且在单调递增，故，C正确；由为偶函数知是的一个极值点，又的周期为8，则是的一个极值点，又，，则，所以的图象关于直线对称，即是的一个极值点，因此在内有三个极值点，D正确；故选：CD.7．（2024·河南商丘·一模）已知是定义在上且周期为2的函数，当时，，则．【答案】【详解】是定义在上且周期为2的函数，当时，，则，，所以.故答案为：考向2函数的对称性8．（2025·山东东营·三模）已知函数，则函数的图像对称中心是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】任意取函数上一点，则，对于A，点关于点成中心对成的点为点，，故A错误；对于B，点关于点成中心对成的点为点，，故B错误；对于C，点关于点成中心对成的点为点，，故C正确；对于D，点关于点成中心对成的点为点，，故D错误.故选：C.9．（2025·宁夏吴忠·一模）函数的图像关于点中心对称，则.【答案】/【详解】函数的图像关于点中心对称，所以，解得，所以.故答案为：10．（2025·广西南宁·三模）已知函数，则下列函数的图象关于中心对称的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为函数，定义域为，则，故函数为奇函数，则关于原点对称，因此函数为函数向右平移一个单位得到，故函数关于对称，且函数关于点对称，因此函数关于点对称，故选：B.11．（2025·湖北随州·二模）函数的图象的对称中心为．【答案】【详解】函数，则函数的图象可由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得，而函数图象的对称中心为，所以函数的图象的对称中心为.故答案为：12．（2024·安徽滁州·三模）已知函数的定义域为，满足，且在上为严格减函数，则不等式的解集为.【答案】【详解】由，即关于对称，又在上为严格减函数，则在上为严格增函数，由，则，即，所以不等式的解集为.故答案为：13．（2025·山东烟台·一模）若函数（）满足，且函数的图象与函数的图象的交点分别为，，…，，则.【答案】7【详解】函数（）满足，故其图象关于直线对称，函数，其图象也关于直线对称，故它们图象的交点也关于直线对称，两函数图象的交点分别为，，…，，不妨设，则必有在直线上，即，，故.故答案为：7考向3利用双对称一周期14．（2024·安徽淮南·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，满足，且在上单调减，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为，所以，又是定义在上的偶函数，且在上单调减，所以在上单调增，所以，故选：C15．（2025·辽宁抚顺·一模）函数对任意，，且为奇函数，给出下列说法，其中错误的个数为（

）（1）若时，，则；（2）的周期为；（3）的图象关于点对称；（4）.A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【详解】，图象关于直线对称；为奇函数，，图象关于点对称；，，，即，，的周期为，（2）错误；，，又，，为奇函数，若时，，则，（1）错误；图象关于点对称，周期为，图象关于点对称，（3）正确；，，（4）错误.故选：C.16．（2025·辽宁本溪·一模））设函数的定义域为为偶函数且.若时，，则的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【详解】因为为偶函数，所以，即（①）可知关于对称，通过（②），可知（③），联立①②式可得：，联立②③式可得：，易得周期为4，①中令,②中令可得；故，所以，故选：D.17．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）设函数的定义域为，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有个零点.【答案】【详解】∵是关于的奇函数，∴关于对称，∴关于对称；∴，又是关于的奇函数，∴关于对称，∴关于对称；∴，∴，∴，即的周期为.又易知，∴，∴，，即，的一个零点恰为．∵，令，解得，又，所以，所以在区间至少有个零点．故答案为：18．（2025·河南开封·三模）（多选）已知定义在上的奇函数满足，且，则（

）A．的图象关于点对称 B．C．的最小正周期为6 D．在上至少有9个零点【答案】ABD【详解】对于A，由得的图象关于点对称，故A正确；对于B，由，令可得，得，故B正确；对于C，因为是奇函数，由，可知3是的一个周期，则其最小正周期不大于3，所以的最小正周期不可能是6，故C错误；对于D，，，，，在上至少有9个零点，故D正确．故选：ABD.19．（2024·河北唐山·二模）（多选）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（

）A． B．为奇函数C．在上为减函数 D．关于对称【答案】BC【详解】由为奇函数得：，则关于对称，所以，即，则，即，由为偶函数得：，则关于对称，所以，即，综上，，则，故，即易知的周期为，所以，而为奇函数，故为奇函数，B正确；因为关于对称且关于对称，关于，对称，所以D错误；，A错误；因为的周期为，所以在上的单调性与在上单调性一致，由时单调递减，且关于对称，所以在上也单调递减，所以在上为减函数，所以在上为减函数，C正确．故选：BC考向4类周期函数及其应用20．（2025·河北秦皇岛·一模）若函数在上满足：.当时，，且当时，.对，都有，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，则函数关于直线对称，当时，，且时，，则时，，则，即；时，，则，即，且；作出函数的大致图象，如图，

由图可知，，则，即的最大值为.故选：B21．（2025·吉林吉林·一模）设函数的定义域为，满足，且当时，，若对，都有，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：，，，时，，，，时，，，，；，时，，，，；，时，，，，．当，时，由，解得或．若对任意，，都有，则，即．故选：．【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．22．（2025·湖南湘潭·三模）设函数的定义域为，且满足，当时，.若时，的最大值为1，则实数的取值范围是A． B．C． D．【答案】A【详解】当时，.；当时，.；当时，.；当时，.；所以当时，解得因为的最大值为1，结合图像知故选A.【点睛】本题考查已知函数最值，求定义域，这类题一般画出图形，通过数形结合，解题．属于中档题．23．（2025·浙江宁波·二模）定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是A． B．C． D．【答案】C【详解】当时，.因为，所以，即.在直角坐标系内，画出时，的图象（如图所示）.由于时，的最小值为，所以时，当时，的最小值为，因此，为使时，恒成立，需，即，解得或，故选C【点睛】解答本题的关键，是弄清在不同区间上，函数解析式之间的关系，由于，说明时函数的图象，是时函数的图象，沿轴向左平移个单位，然后纵坐标缩短到原来的，因此函数的最小值得以确定.本题较好地考查考生的转化与化归思想、数形结合思想、基本运算能力.24．（2024·广东湛江·三模）定义域为的函数满足，当时，.若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是.【答案】【详解】因为，所以当时，，则，当时，,当时，,所以当时，的最小值是，又因为存在，使得不等式成立，等价于，则,则实数的取值范围是.考向5原函数与导函数的奇偶性、对称性25．（2025·福建龙岩·二模）已知函数及其导函数的定义域均为，记，已知和都是偶函数，且，则的值为（

）A．1 B．－1 C．2025 D．－2025【答案】B【详解】因为为偶函数，所以，即，所以关于直线对称，求导得关于点对称，即，又为偶函数，则，所以关于直线对称，推导周期：及，得，得，得，得函数的周期为4，由，得，得，共项和，因为，所以，故选：B.26．（2024·河南周口·一模）已知定义在上的函数