2026年高考数学二轮复习：专题04 函数与方程（热点专练）（全国适用）（原卷版）

12/12专题04函数与方程内容导航热点聚焦方法精讲能力突破热点聚焦·析考情锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。题型引领·讲方法系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。能力突破·限时练实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：函数与方程是近3年的高考命题热点，以选择题填空题为主，考查内容、频率、题型、难度较为稳定，重点是函数的零点的个数和由零点求参数问题，以及函数零点与导数相结合．预测2026年：函数内容可能还会以考察函数零点求参数问题为主，同时还需重点关注函数方程零点与导数相结合问题．热点题型：题型01函数零点存在定理及应用题型02函数零点二分法及应用题型03判断函数零点个数问题题型04由函数零点个数求参数问题题型05函数的等高问题题型06二次可分解因式型零点问题题型07二次不可分解因式型零点问题题型08镶嵌函数型零点问题题型01函数零点存在定理及应用解｜题｜策｜略零点存在定理：连续函数在满足，则在一定存在零点【精选例题】【例1】函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．【例2】函数零点所在的大致区间为，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【例3】方程的实数根所在的区间是（

）A． B． C． D．【例4】已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（

）A． B．C． D．【例5】已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【例6】已知、、是的三条边且.设函数，则下列结论中正确的是（

）A．对任意正数，、、能作为一个三角形的三条边B．对任意，、、都不能作为一个直角三角形的三条边C．当是钝角三角形时，有零点D．存在，使得【例7】设函数，若函数在上存在零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【例8】函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【例9】（多选题）已知函数的定义域为，若存在实数，使得，则称为函数的不动点，则下列函数一定存在不动点的是（）A．B．（a为常数）C．D．【变式训练】1．(25-26高一上·辽宁大连滨城高中联盟·期中)函数在下列哪个区间内一定有零点（

）A． B． C． D．2．已知点在幂函数的图象上，则函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．3．(25-26高三上·江苏镇江第一中学、镇江中学·)已知函数，若函数的零点均在区间[a，b]内，，则的最小值为（

）A．11 B．9 C．7 D．54．(25-26高三上·黑龙江哈尔滨第六中学校·月考)已知函数是定义在上的奇函数，若函数的零点在区间内，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．5．(25-26高三上·北京第一零一中学·)设函数，则满足（

）A．在区间内均有零点B．在区间内有零点，在区间内无零点C．在区间内无零点，在区间内有零点D．在区间内均无零点6．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．(22-23高二下·河南济源英才学校·月考)函数在内存在一个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C．或 D．或8．(25-26高三上·江西赣州兴国县兴国中学·期中)已知函数的所有零点都在区间上.若，则实数的取值范围为.题型02函数零点的二分法及其应用解｜题｜策｜略①对于在区间上连续不断且的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.②对于给定精确度，利用二分法求函数零点近似值的步骤如下:①确定区间，验证，给定精确度;②求区间的中点;③计算;a.若，则就是函数的零点;b.若，则令(此时零点);c.若，则令(此时零点).④判断是否达到精确度，即:若，则得到零点近似值(或);否则重复②③④.【精选例题】【例1】已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（

）A． B． C． D．【例2】已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（

）A． B． C． D．【例3】在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（

）A． B． C． D．【例4】设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下：0.1250.43750.7520.493.58依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（

）A． B．C． D．【例5】（多选题）下列函数中，能用二分法求零点的近似值的有（

）A． B．C． D．【变式训练】1．用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（

）A． B． C． D．2．(24-25高一下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·期中)在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（

）A． B． C． D．3．用二分法求函数在区间内的零点，若要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（

）A．5 B．6 C．7 D．84．(24-25高一上·河南濮阳·期末)（多选题）下列所给函数中，不能使用二分法求解其零点所在区间的有（

）A． B．C． D．5．若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则．题型03判断函数的零点个数解｜题｜策｜略判断函数零点个数问题一般化为两个函数，判断两个函数的交点个数【精选例题】【例1】设函数则方程的实数根的个数可能为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【例2】若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（）A．10 B．11 C．12 D．13【例3】若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【例4】已知函数则的图象上关于原点对称的点有（

）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【例5】已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则函数的零点个数为（

）A．5 B．6 C．16 D．8【例6】将的图象向右平移个单位长度得到的图象，则函数的零点的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【例7】（多选题）已知函数的定义域为，为偶函数，当时，，则下列说法正确的是（

）A．若函数有四个零点，，，，则的取值范围为B．若函数有四个零点，，，，则的取值范围为C．函数的零点个数为5个D．函数的零点个数为6个【变式训练】1．(25-26高三上·福建漳州第一中学·)已知函数则方程的解的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．62．(25-26高三上·重庆西南大学附属中学校·月考)定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．33．(25-26高三上·重庆第八中学校·月考)（多选题）记函数，则下列说法正确的有（

）A．的图象过定点B．存在，使得恰有1个零点C．若有3个零点，存在，使得成等比数列D．若有3个零点，则为定值4．(25-26高三上·上海中学·期中)设函数的定义域为，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有个零点.5.（多选题）已知函数、的定义域均为，其图象如图所示，则（

）A．为奇函数 B．在单调递增C．在单调递减 D．关于的方程在有三个解题型04根据函数零点的存在情况求参数解｜题｜策｜略①若题目中出现唯一零点，求参数，要想到偶函数的性质，结合零点的唯一性求解②若题目给出零点的个数，求参数，一般通过画出函数的图象，转化为交点个数问题解决【精选例题】【例1】已知函数（且）为奇函数，若方程有两个不同的实数解，则m的取值范围为（

）A． B．C． D．【例2】若函数有个零点，则正数的取值范围是（

）A． B． C． D．【例3】已知函数且恰有2个零点，则a的值为（

）A． B．3 C． D．4【例4】符号表示不超过的最大整数，若函数（）有且仅有2个零点，则的取值范围是.【例5】已知函数，若方程有2个根，则的范围是．【例6】若函数且函数在区间内恰有4个零点，则的取值范围为.【例7】已知函数，若关于x的方程有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围为.【变式训练】1．(25-26高三上·安徽华师联盟·期中)若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．(25-26高三上·湖北鄂北六校·期中)已知函数，若的图象在长度为的任意闭区间上与直线最少有3个交点，最多有4个交点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．3．已知函数，若函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是.4．(25-26高三上·山东聊城颐中外国语学校·期中)若函数有且仅有两个零点，则实数a的取值范围为．5．(25-26高三·上海静安区·一模)设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，.设，若函数在左开右闭区间上恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是．题型05函数的等高问题解｜题｜策｜略①根据分段函数,分析函数性质及图象变换,画出图象;②找出满足题意的等式,进行化简;③代入所求式子中,变为关于一个变量的式子,求出该式子的范围即可.【精选例题】【例1】已知函数，若，，则的最小值是（

）A． B． C． D．【例2】已知定义在正实数集上的函数，设、、是互不相同的实数，满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【例3】已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【例4】已知函数若函数恰有三个零点，，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【例5】（多选题）已知函数，若关于的方程恰有4个不同的实数根，且，则下列说法正确的是（

）A．的单调递增区间为B．的取值范围是C．D．的取值范围是【例6】（多选题）已知函数，若存在四个实数，使得，则（

）A．t的范围为 B．的取值范围为C．的取值范围为 D．的取值范围为【例7】已知函数，若有四个不同的解，且，则的最小值为.【变式训练】1．(25-26高三上·河南商丘青桐鸣大联考·月考)已知函数，若存在实数，使得，则的取值范围为（）A． B． C． D．2．(25-26高三上·四川成都成华区某校·期中)（多选题）已知函数，则下列说法正确的有（

）A．B．有3个实数根C．若有8个实数根，则D．若有4个实数根，从小到大分别为，，，，则3．(25-26高三上·山东菏泽单县苏教高级中学·月考)（多选题）已知函数，若有四个不同的解，，，且，则有（

）A． B．C． D．的最小值为4．(25-26高三上·天津河东区·期中)已知方程有4个不同解，，，，则实数的取值范围为；的取值范围为．5．(25-26高三上·辽宁大连滨城高中联盟·期中)已知函数，若有四个不同的解，，，，且，则的最小值为.题型06二次可分解因式型零点问题解｜题｜策｜略遇到二次可分解因式，我们一定要分解因式之后，再解决两个函数交点问题【精选例题】【例1】已知函数，若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【例2】设函数则方程的实数根的个数可能为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【例3】（多选题）已知函数，若方程有四个实数根，且，则（

）A． B．C． D．【例4】已知函数，若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为.【变式训练】1．(25-26高二上·贵州毕节威宁县六校·)已知函数若关于的方程有7个不相等的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．(25-26高三上·四川仁寿县高中·)（多选题）已知函数函数，则下列结论正确的是（

）A．若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围是B．若关于的方程恰有2个不同的实数根，则的取值范围是C．若有5个零点，则的取值范围是D．可能有6个零点3．(25-26高三上·江西赣州大余县部分高中·期中)已知函数．若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是．4．已知函数，若关于x的方程有2个不同的实根，则实数a的取值范围为；若关于x的方程有4个不同的实根，则实数a的取值范围为．题型07二次不可分解因式型零点问题解｜题｜策｜略遇到二次不可分解因式，一般要判断零点所在区间，再利用实根分布解决问题【精选例题】【例1】已知函数，若有另一函数有且仅有3个不同零点，则常数的取值范围为（

）A． B． C． D．【例2】已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【例3】（多选题）已知函数，则下列说法正确的有（

）A．B．有3个实数根C．若有4个实数根，从小到大分别为，则D．若有8个实数根，则【例4】设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是．【变式训练】1．(25-26高三上·山东菏泽·期中)已知函数，若方程有4个不相等的实数根，则实数取值范围是（

）A． B． C． D．2．(25-26高三上·四川泸州高级中学校·开学考)设函数，则方程（）的实数根的个数可能为（

）A．1 B．3C．1或3 D．3或53．已知函数，若函数有6个零点，则的值可以为（

）A． B． C． D．4．(25-26高三上·四川绵阳外国语学校·)已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是题型08镶嵌函数零点问题解｜题｜策｜略镶嵌函数零点问题，我们要设，然后再解决问题【精选例题】【例1】已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则函数的零点个数为（

）A．5 B．6 C．16 D．8【例2】已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（

）A． B． C． D．【例3】函数，则函数的零点个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【例4】（多选题）已知函数，函数，则下列结论正确的是（

）A．若，则有1个零点B．若，则有6个零点C．若有5个零点，则的取值范围为D．一定有零点【例5】已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为.【例6】已知函数则有个零点；若函数有两个零点，则实数的取值范围是．【例7】已知函数，若函数恰有6个零点，则m的取值范围为．【变式训练】1．(25-26高三上·陕西西安西北工业大学附属中学·三模)设函数.若函数与都没有零点，则函数与（

）A．都没有零点 B．都有零点C．至少有一个没有零点 D．至少有一个有零点2．(25-26高三上·重庆鲁能巴蜀中学校·)已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（多选题）已知函数，方程有三个不同的实根，，，则（

）A．方程有两个不同的实根B．C．是方程的一个根D．4．已知函数（），其图象与直线有两个交点，若关于的方程有三个不等的实根，且（），则的值为.5．设函数，则关于的方程根的个数为，其所有根之和的取值范围为．（建议用时：60分钟）一、单选题1．(25-26高三上·北京朝阳区·期中)若方程在区间上有解，则（

）A．4 B．5 C．6 D．72．(25-26高三上·福建福州第三中学·)已知函数，，的零点分别为，则（

）A． B． C． D．3．(25-26高三上·福建泉州一中、厦外石狮分校、泉港一中、德化一中四校联盟·期中)函数，若恰有6个不同实数解，则正实数的范围为（

）A． B． C． D．4．定义在上的函数满足：，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．已知定义在上的函数满足，且，则（）A． B．为奇函数C．有零点 D．6．(25-26高三上·北京第十一中学·月考)若函数恰有2个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．7．(25-26高三上·陕西渭南瑞泉中学·月考)已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围（

）A． B． C． D．8．(25-26高三上·山西大同第一中学校·)已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数的取值不可能是（

）A． B． C． D．9．已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（

）A．9 B．10 C．11 D．1810．(25-26高三上·辽宁丹东第一中学等校·)已知函数，若关于的方程有且仅有4个不同