东北大学17秋学期《离散数学》在线作业2

东北大学17秋学期《离散数学》在线作业2引言离散数学作为计算机科学与技术、软件工程等相关专业的核心基础课程，其重要性不言而喻。它不仅为后续的算法设计、数据结构、数据库原理等课程提供了坚实的理论支撑，更重要的是培养学生的逻辑思维能力和抽象推理能力。东北大学17秋学期的《离散数学》在线作业2，作为检验学习效果、巩固知识要点的关键环节，其内容设置紧密围绕课程核心模块，注重对基本概念、基本方法和基本技能的考察。本文旨在以资深文章作者的视角，对本次在线作业所涉及的核心知识点进行梳理与解析，并提供具有实用价值的解题思路与技巧，以期为同学们更好地完成作业、深化理解提供有益的参考。一、集合论基础与二元关系集合论是离散数学的基石，而二元关系则是集合论中刻画事物之间联系的重要工具，在本次作业中占据了相当的比重。1.1集合的基本运算与性质集合的运算，如并、交、补、差等，是解决集合问题的基础。同学们在解题时，首先需要准确理解这些运算的定义和运算规律。例如，两个集合的并集是由属于其中至少一个集合的所有元素组成的集合；交集则是由同时属于两个集合的所有元素组成的集合。典型问题：可能会涉及到集合恒等式的证明或集合表达式的化简。例如，证明两个集合表达式相等，通常可以通过证明它们互为子集，即任一元素属于左式当且仅当属于右式，这需要用到逻辑等价的知识。或者给出若干集合，通过运算求出特定集合的元素。解题思路：对于集合运算的证明题，利用逻辑等值演算将集合运算转化为命题公式的等价性证明，是一种行之有效的方法。对于计算题，则需要严格按照运算定义逐步进行，并注意集合元素的互异性和无序性。文氏图（VennDiagram）作为一种直观的辅助工具，对于理解和解决集合问题，特别是涉及多个集合运算的问题，具有很好的帮助作用，但它通常不作为严格证明的依据，更多用于辅助理解和验证。1.2二元关系的基本概念与性质二元关系是从一个集合到另一个集合的笛卡尔积的子集。我们重点关注关系的性质，如自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。这些性质是关系分类和进一步研究的基础。典型问题：判断给定关系是否具有某种性质；或者根据要求构造具有特定性质的关系；亦或是证明关系的某些性质在特定运算下的保持性。解题思路：判断关系性质，关键在于严格依据定义。例如，自反性要求集合中的每个元素都与自身相关；对称性则要求若a与b相关，则b与a也相关。在证明或判断时，需要对集合中的所有元素（或元素对）进行考察，特别注意是否存在反例。对于关系矩阵或关系图，它们是分析关系性质的有力工具。例如，自反关系的关系矩阵主对角线元素全为1；对称关系的关系矩阵是对称矩阵。1.3等价关系与划分等价关系是一种同时具有自反、对称和传递性的二元关系。等价关系与集合的划分是一一对应的，即给定一个等价关系，可以得到集合的一个划分（等价类）；反之，给定一个划分，也可以确定一个等价关系。典型问题：验证一个关系是否为等价关系；求出等价关系所确定的等价类；或者根据划分构造相应的等价关系。解题思路：验证等价关系，只需分别验证其自反、对称、传递三个性质即可。求等价类时，要找出所有与给定元素具有该等价关系的元素。理解等价关系的本质是“将集合中的元素按照某种标准进行分类，使得同一类中的元素相互等价，不同类中的元素不等价”，这有助于我们更好地把握等价关系与划分之间的联系。二、函数函数是一种特殊的二元关系，它要求对于定义域中的每个元素，都有唯一的像与之对应。函数的概念在离散数学乃至整个数学领域都至关重要。2.1函数的定义与基本性质函数的定义包含定义域、陪域和对应法则三个要素。函数的基本性质包括单射（injective）、满射（surjective）和双射（bijective）。单射要求不同的定义域元素对应不同的像；满射要求陪域中的每个元素都有原像；双射则既是单射又是满射。典型问题：判断一个关系是否为函数；判断一个函数是否为单射、满射或双射；根据给定条件构造满足特定性质的函数。解题思路：判断是否为函数，核心在于“唯一性”，即每个定义域元素是否有唯一的像。判断单射，可以采用定义，即若f(a)=f(b)，则a=b；或者其逆否命题，若a≠b，则f(a)≠f(b)。判断满射，则需要验证陪域中的每个元素都能被定义域中的某个元素映射到。对于构造题，则需要根据函数性质的要求，设计合理的对应法则。2.2函数的复合与逆函数函数的复合是将两个函数连接起来，形成一个新的函数。逆函数则是在函数为双射的前提下，存在的一种“反转”对应关系。典型问题：计算两个函数的复合函数；判断一个函数是否存在逆函数，并在存在时求出其逆函数。解题思路：复合函数的计算需要注意函数的先后顺序，通常记为(f∘g)(x)=f(g(x))，即先应用g函数，再应用f函数。逆函数存在的充要条件是函数为双射。求逆函数，本质上是寻找一个能“还原”原函数作用的函数，即若f(a)=b，则f⁻¹(b)=a。三、代数系统简介代数系统是由集合以及定义在该集合上的若干运算所组成的整体。群、环、域是典型的代数系统，但在线作业2中，可能更多涉及的是代数系统的基本概念以及诸如半群、独异点等较为基础的代数结构。3.1代数系统的基本概念一个代数系统通常包含非空集合S和若干个定义在S上的运算。运算的封闭性是首要条件，即运算结果仍在集合S中。此外，运算还可能具有交换律、结合律、分配律等性质，以及是否存在单位元（幺元）、零元、逆元等。典型问题：判断一个集合和运算是否构成代数系统；验证运算的性质；寻找代数系统中的特殊元素（幺元、零元、逆元）。解题思路：判断是否构成代数系统，首先检查集合是否非空，运算是否封闭。验证运算性质，如交换律，即对集合中任意元素a、b，是否有a*b=b*a。寻找幺元，即寻找元素e，使得对任意a，有e*a=a*e=a。寻找逆元，则是对给定元素a，寻找元素b，使得a*b=b*a=e（e为幺元）。四、图论初步图论是离散数学中非常活跃且应用广泛的一个分支，它通过点和边来刻画事物之间的联系。4.1图的基本概念图由顶点集和边集组成。根据边是否有方向，图可分为无向图和有向图。图的基本术语包括顶点的度（出度、入度）、路径、回路、连通性等。握手定理是图论中的一个基本定理，它描述了图中顶点度数之和与边数的关系。典型问题：计算图中顶点的度，验证握手定理；判断图是否连通；判断一条序列是否为图中的路径或回路。解题思路：对于无向图，握手定理表明所有顶点的度数之和等于边数的两倍。对于有向图，则是所有顶点的出度之和等于入度之和等于边数。判断连通性，对于无向图，是指任意两个顶点之间都存在路径；对于有向图，则有强连通、弱连通等不同概念。判断路径或回路，需检查序列中相邻顶点之间是否有边相连，以及路径（回路）的定义要求（如顶点是否可重复、边是否可重复等）。五、在线作业解题注意事项1.仔细审题：在线作业通常题目表述简洁，务必仔细阅读每一个字，理解题目要求，明确已知条件和所求结论。避免因审题不清而答非所问。2.概念清晰：离散数学高度依赖基本概念，很多题目直接考察对概念的理解和应用。因此，在解题前，确保对相关概念的定义、性质了然于胸。3.步骤规范：即使是在线作业，有些题目可能需要提交解题过程。清晰、规范的解题步骤不仅有助于自己检查，也能让阅卷老师（或系统）快速理解你的思路。对于选择题和判断题，虽然不需要写出完整步骤，但在草稿纸上进行必要的推演仍是必不可少的。4.善用反例：在判断一个命题是否为真时，寻找反例是一种非常有效的方法。如果能找到一个不符合命题结论的例子，则命题为假。5.及时验证：对于计算类或构造类题目，完成后应进行简单的验证，检查结果是否符合题意和相关性质。例如，构造一个等价关系后，检查它是否满足自反、对称、传递性。6.时间管理：合理安排解题时间，不要在某一道难题上花费过多时间，先完成有把握的题目，再回头攻克难题。总结与展望东北大学17秋学期《离散数学》在线作业2所涵盖的集合论、二元关系、函数、代数系统初步及图论基础等内容，是整个离散数学课程的核心组成部分。这些知识不仅是后续课程学习的基础，也是培养逻辑思维和抽象建模能力的关键。通过本次在线作业的练习与反思，希望同学们能够：*查漏补缺：发现自己在学习过程中存在的薄弱环节，及时回顾教材和课堂笔记，巩固所学知识。*深化理解：不仅仅停留在对概念的表面记忆，更要理解其内涵、外延以及概念之间的联系与区别。*提升能力：通过解题实践，提升运用所学知识分析问题和解决问题的能力，培养严谨的逻辑推理习惯。离散数学的学习是一个循序渐进、不断深化的过程。在线作业是其中的一个重要节点，它帮助我们检验学习效果，调整学习策略。希望同学们能够正视每一次作业，从中汲取养分，