辽宁省县级重点高中协作体2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

高一期末质量监测数学本卷满分分，考试时间分钟.答题卡的指定位置考试结束后，将答题卡交回.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.85分在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.样本数据210，224，201，244的第50百分位数为（）A.210B.217C.222D.224【答案】B【解析】【分析】由百分位数的计算可得.【详解】由题意可知第50百分位数即中位数，将样本数据从小到大排序为201，210，224，244，则样本数据的中位数为.故选：B.2.已知平面向量，，设甲：；乙：，则（）A.甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件B.甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】A【解析】【分析】根据向量平行坐标运算可得或，再由充分条件和必要条件定义判断即可.【详解】若，则，解得或，因为能推出，但不一定能得，第1页/共15页所以甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件.故选：A.3.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由分式不等式的运算和二次根式的取值再结合集合的运算可得.【详解】不等式即，即，由知，而，故.故选：C.4.设正数a，b满足，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用1的代换及基本不等式计算即可.【详解】由题意可得，当且仅当时，等号成立.故选：D.5.已知函数的定义域为，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】第2页/共15页的定义域可知不等式在解出的范围即可.【详解】因为函数的定义域为，所以不等式在上恒成立，所以，解得，故选：A6.定义在上的函数满足，若，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题设条件，将选项中涉及的自变量值代入分析即可.【详解】对于A，B选项：将10和0分别代入和得：，即，因为，所以，故A，B错误.对于C，D选项：将20和0分别代入和得：，即，因为，所以，故C错误，D正确.故选：D.7.某地开展志愿服务，小蓝，小黄等人充当志愿者，现将他们均分成三组，则小蓝和小黄不在同一组的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用排列组合的方法求出事件发生的个数，然后根据古典概型概率公式直接求解即可.【详解】将他们人均分成三组的方法种数有，第3页/共15页小蓝和小黄不在同一组的方法种数有，故小蓝和小黄不在同一组的概率.故选：D8.已知函数，当时，，当时，，，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】通过对分段函数的讨论，求解不等式即可.【详解】由题可知：当时，，故在时单调递减；当时，，，则函数在时只可能为常函数，且常数等于，所以分段函数：，解不等式：需分类讨论：（1）且，即，此时：，，不等式变为：两边都是指数函数，底数，单调递增，故可比较指数：，所以；（2）且，即无解；（3）且，即,,,第4页/共15页不等式：，即，所以；（4）且，即，此时，，函数值相等不符合题意；综上可得：解集为.故选：D.36分在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（）A.和B.和C.和D.和【答案】BC【解析】【分析】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，假设，则使得，因为不共线得且，则无解，故，不共线可作为一组基底；对于B，因为，所以，不能作为基底；对于C，因为，所以，不能作为基底；对于D使得不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底.故选:BC.10.设函数，则（）第5页/共15页A.函数为奇函数B.，C.，，D.区间上存在的零点【答案】BD【解析】【分析】选项A判断函数是否为奇函数，只需判断是否成立；选项B判断函数的C当，，所以函数无下界，故不存在；选项D根据零点存在性定理判断即可.【详解】已知，则，所以为偶函数，故A错误；当时，，在单调递减，在单调递增，所以单调递减，故，故B正确；可得在上单调递减，当，，，故，则函数无下界，故不存在，使得对任意的，都满足，故C错误；因为，，所以，由零点存在定理可知，区间上存在的零点，故D正确.故选：BD.已知样本数据，，的方差为6，则（）第6页/共15页A.该组样本数据的平均数无最值B.数据，，的方差为9C.该组样本数据极差的最大值为6D.该组样本数据极差的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】由方差的性质可得A；举反例可得B；由基本不等式可得CD.【详解】设样本的平均数为，方差为，选项A：由方差的性质可得数据，，的方差和的方差相同，由具有任意性可知该组样本数据的平均数无最值，故A正确；选项B：特值验证：取（方差为新数据为，新数据方差.所以B错误；选项C：不妨设，所以极差为，由不等式可得，，则，即，当且仅当时取等号，故C正确；选项D：又时，有，由可得，所以，即，当或时取等号，故D正确.故选：ACD.第7页/共15页三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共分）12.设A，B为平面直角坐标系xOy内两点，若，，则________.【答案】【解析】【分析】本题首先运用向量的加法求出向量的坐标，根据向量模的公式求解.【详解】由题意可得，故.故答案：.13.已知函数，则的定义域为________.【答案】【解析】【分析】先确定自身的定义域，再确定外层函数对的要求，联立两个条件，解出的最终取值范围.【详解】的定义域为，对于函数，其外层，内层函数均需符合定义域，故，且，解得的定义域为.故答案为：.14.梯形的两顶点是直线与曲线的交点，顶点在曲线上，是一条垂直于轴的梯形底边，轴，则梯形的面积为________.【答案】【解析】【分析】通过对数性质建立等式求出交点坐标，再确定各点坐标，最后利用梯形面积公式求解.【详解】因为，轴，设，，，，第8页/共15页因为，在直线上，所以，因为轴，所以，解得，，故，，，，所以梯形的面积为.故答案为：.5分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.12月2日是全国交通安全日.为了增强学生交通安全意识，某中学有600名学生参加了交通安全知识测评.根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了200名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图.（1）从总体的600名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率；（2）若样本中有一半男生的分数不小于6060的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.【答案】（1）0.4（2）【解析】1）根据频率分布直方图确定样本中分数小于60的频率，从而得分数小于60的概率；（2）根据频率分布直方图确定样本中分数不小于60的学生人数，结合分层抽样与样本估计总体，从而可得总体中男生和女生人数的比例.【小问1详解】根据频率分布直方图可知，第9页/共15页样本中分数小于60的频率为，所以从总体的600名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为0.4.【小问2详解】由题意可知，样本中分数不小于60的学生人数为，所以样本中分数不小于60的男生人数为，因为样本中有一半男生的分数不小于60，所以样本中男生为120人，女生为，所以样本中男生和女生人数的比例为，所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数比例为.16.已知幂函数的定义域为.（1）求；（2）解不等式.【答案】（1）（2）【解析】1）利用幂函数的定义求解即可；（2）利用函数的单调性解不等式即可.【小问1详解】因为函数是幂函数，所以，解得或，当时，定义域为，符合题意，当时，定义域为，不符合题意，故.【小问2详解】由（1）得，所以在上单调递增，第10页/共15页所以由可得，所以，所以，解得.17.设函数.（1）证明：曲线为中心对称图形；（2）若当且仅当，求a的值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1）设，先证明为奇函数，再由得证；（2）根据函数的连续性可得，求解后检验即可.【小问1详解】令，则，，则，奇函数.即，故曲线为关于点对称的中心对称图形.【小问2详解】由题意及函数的连续性可知，，即，检验，当时，，满足当且仅当，故.第11页/共15页18.如图所示，在平面直角坐标系中，从原点出发，按或这两个方向进行，且每次只能走一步，若某点可以表示为（、为鸿蒙点（1）通过鸿蒙点中、满足的关系，判断是否为鸿蒙点，并说明理由；（2）证明：若是鸿蒙点，则也是鸿蒙点；（3）若某些鸿蒙点满足，求在所有满足条件的鸿蒙点中，最小的点及此时的值.【答案】（1）不是，理由见解析（2）证明见解析（3），的最小值为50.【解析】1可以被5（2）构造，计算可得，即可证明结论；（3）利用向量的坐标运算可得，设，可得，计算即可求解.【小问1详解】不是鸿蒙点，理由如下：由，得，即，.即，所有鸿蒙点满足可以被5整除，代入点，有不能被5整除，故不是鸿蒙点；【小问2详解】由为鸿蒙点可知，，构造：，第12页/共15页将表达为的形式，有，解得，故，即仍为鸿蒙点；【小问3详解】由（1）可知，故，令，即，由是整数可知，可以被3整除，即被3整除余2，不妨设，，则有，即，为使尽可能小，即要求尽可能大，且，解不等式有，时，，.此时点坐标为，的最小值为.19.已知函数，.（1）当时；（i）求的单调区间；（ii）正数m，n满足，，证明：.（2）若有2个零点，证明：.【答案】（1i）的单调递增区间为，的单调递减区间为ii）证明见解析（2）证明见解析【解析】1i）根据对数运算化简，再由函数单调的定义求函数单调区间（ii）利用基本不等式及函数单调性证明即可；（2）有2个零点转化为第13页/共15页由基本不等式证明即可.【小问1详解】（i）此时，显然其单调性与