统计法基础知识试题及参考答案

统计法基础知识试题及参考答案一、单项选择题（每题2分，共30分）1.某市统计局欲了解居民网购支出，从全市300万户中按居委会规模大小排序后等距抽取60个居委会，再对抽中居委会全部住户进行调查。该抽样方法属于A.简单随机抽样 B.分层抽样 C.系统抽样 D.整群抽样答案：D解析：先以居委会为群单位进行等距抽取，再对群内全部单元调查，符合整群抽样定义。2.若总体容量N=1200，样本容量n=60，采用不重复简单随机抽样，样本均值的标准误约为总体标准差σ的A.0.083 B.0.089 C.0.095 D.0.102答案：B解析：标准误公式σ/√n·√(1−n/N)=σ/√60·√0.95≈σ/7.746·0.975≈0.089σ。3.在假设检验中，若显著性水平α由0.05降到0.01，则A.Ⅰ型错误概率减小，检验功效增大 B.Ⅰ型错误概率减小，检验功效减小C.Ⅰ型错误概率增大，Ⅱ型错误概率减小 D.Ⅰ型错误概率不变，Ⅱ型错误概率不变答案：B解析：α减小，拒绝域缩小，Ⅰ型错误概率下降；同时接受域扩大，Ⅱ型错误概率上升，检验功效1−β下降。4.对同一总体多次独立抽取容量为n的简单随机样本，则样本均值的分布A.随n增大趋于t分布 B.随n增大趋于正态分布 C.始终为正态分布 D.始终与总体分布相同答案：B解析：由中心极限定理，无论总体分布如何，只要n足够大，样本均值分布趋近正态。5.在回归模型Y=β₀+β₁X+ε中，若ε存在异方差，则OLS估计量A.有偏且非有效 B.无偏但非有效 C.有偏但有效 D.无偏且有效答案：B解析：异方差不影响无偏性，但使方差不再是最小，故OLS仍无偏却非有效。6.某指数数列以2015年为基期，2020年指数值为132，表示A.2020年比2015年增长了32% B.2020年比2015年增长了132%C.2020年是2015年的1.32倍 D.2020年比2015年增长了1.32个百分点答案：A解析：指数132即(报告期/基期)×100，故增长32%。7.若随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则其期望与方差A.均为λ B.期望λ，方差λ² C.期望λ²，方差λ D.期望1/λ，方差1/λ²答案：A解析：泊松分布性质：E(X)=Var(X)=λ。8.对时间序列做移动平均法修匀，窗口宽度越大A.序列越光滑，滞后越弱 B.序列越光滑，滞后越强C.序列越波动，滞后越弱 D.序列越波动，滞后越强答案：B解析：宽窗口吸收更多波动，光滑度提高，但对转折点反应更迟缓，滞后增强。9.在方差分析中，若F统计量远大于1，则A.组间差异显著小于组内差异 B.组间差异显著大于组内差异C.各组均值相等 D.各组方差不相等答案：B解析：F=MSB/MSW，远大于1说明组间变异显著大于组内变异，拒绝原假设H₀：各组均值相等。10.若两变量X与Y的Pearson相关系数为−0.85，则A.X与Y无线性关系 B.X与Y存在强负线性关系C.X与Y存在强正线性关系 D.无法判断线性关系强度答案：B解析：|r|>0.8即强相关，符号负表示负向线性关系。11.在抽样调查中，设计效应(deff)A.一定小于1 B.一定大于1 C.等于1表示简单随机抽样效果 D.与样本量无关答案：C解析：deff=1说明复杂抽样方差与SRS相同；>1表示效率低于SRS；<1表示效率更高。12.对分类变量做卡方拟合优度检验，自由度为A.类别数 B.类别数−1 C.类别数+1 D.样本量−类别数答案：B解析：自由度=类别数−1−估计参数个数，拟合优度检验通常只减1。13.若某指标季节比率之和为400%，说明A.计算有误，应为100% B.季节波动剧烈 C.采用季度数据 D.采用月度数据答案：C解析：一年4季，比率基准100%×4=400%，故为季度数据。14.在质量控制图中，若点超出上控制限，则A.过程一定正常 B.过程一定异常 C.可能为Ⅰ型错误 D.可能为Ⅱ型错误答案：C解析：点出界小概率事件发生，可能过程真异常，也可能α=0.0027的Ⅰ型错误。15.对总体比例p做估计，若要求允许误差不超过0.03，置信水平95%，则所需样本量约为A.1068 B.1200 C.1500 D.2000答案：A解析：n=z²·p(1−p)/E²，取保守p=0.5，z=1.96，E=0.03，得n≈1.96²×0.25/0.0009≈1067.6，进位1068。二、多项选择题（每题3分，共30分）16.下列属于概率抽样方法的有A.简单随机抽样 B.便利抽样 C.分层抽样 D.系统抽样 E.雪球抽样答案：A、C、D解析：概率抽样要求每个单元入样概率可计算且非零，便利、雪球抽样属非概率抽样。17.关于置信区间，正确的有A.95%置信区间指参数有95%概率落入该区间 B.区间宽度与样本量平方根成反比C.置信水平越高，区间越宽 D.增大样本量可缩小区间 E.区间中心是样本统计量答案：B、C、D、E解析：A错，频率学派认为参数固定，区间随机，95%指重复构造区间有95%覆盖真值。18.下列哪些情况可能导致OLS估计量有偏A.遗漏重要变量且与包含变量相关 B.异方差 C.自相关 D.解释变量测量误差 E.模型函数形式设定错误答案：A、D、E解析：异方差、自相关不影响无偏，只影响有效；遗漏变量、测量误差、误设函数形式导致有偏。19.时间序列分解模型包括A.长期趋势 B.季节变动 C.循环波动 D.不规则波动 E.随机游走答案：A、B、C、D解析：经典四成分模型：趋势、季节、循环、不规则；随机游走属特殊过程非分解成分。20.下列关于偏度的说法正确的有A.偏度=0表示对称 B.偏度>0表示右偏 C.偏度<0表示左偏 D.偏度无量纲 E.偏度与峰度无关答案：A、B、C解析：偏度有量纲，单位与原始数据立方相同；偏度与峰度同为形状指标，但数学独立描述不同特征。21.在指数编制中，拉斯佩尔指数A.采用基期数量加权 B.采用报告期数量加权 C.可能高估生活成本 D.可能低估生活成本 E.满足传递性答案：A、C解析：拉斯佩尔用基期数量q₀加权，因忽略替代效应，通常高估成本；帕氏指数用报告期数量。22.下列属于离散型随机变量的有A.某网站日点击次数 B.电话呼叫间隔时间 C.一批产品不合格件数 D.电梯年故障次数 E.顾客排队等待时间答案：A、C、D解析：点击、不合格、故障次数皆可数，属离散；间隔、等待时间为连续。23.关于p值，正确的有A.p值是原假设为真时，得到当前或更极端样本的概率 B.p值越大越倾向于拒绝原假设C.p值小于α则拒绝原假设 D.p值与样本量无关 E.p值相同意味着证据强度相同答案：A、C解析：p值小拒绝H₀；p值受样本量影响，n越大，同样差异p值越小；相同p值不同n时证据强度不同。24.下列哪些统计图适用于展示分类数据A.条形图 B.饼图 C.帕累托图 D.箱线图 E.马赛克图答案：A、B、C、E解析：箱线图展示连续变量分布，其余皆可用于分类数据。25.在抽样误差公式中，与误差大小成正比的因素有A.总体方差 B.样本量 C.置信水平对应的z值 D.抽样比n/N E.总体容量N答案：A、C解析：误差∝z·σ/√n，与σ、z成正比；与√n成反比；有限总体修正项√(1−n/N)使误差略减，但非正比。三、判断题（每题1分，共10分）26.中位数对极端值比均值更敏感。答案：错解析：中位数仅与中间观测值有关，对极端值不敏感。27.若两变量协方差为0，则它们一定独立。答案：错解析：协方差为0仅表示无线性相关，非线性相关或依赖可能存在。28.在简单随机抽样中，样本均值是总体均值的无偏估计。答案：对解析：E(ȳ)=μ，为无偏估计。29.当样本量趋于无穷大时，t分布趋近标准正态分布。答案：对解析：t分布尾厚于正态，df→∞时与N(0,1)一致。30.若回归模型R²=0，说明解释变量与因变量无任何关系。答案：错解析：R²=0仅说明线性关系不存在，非线性关系可能存在。31.峰度大于3表示分布比正态峰更尖。答案：对解析：正态峰度=3，>3为尖峰，<3为平峰。32.在指数平滑法中，平滑系数α越接近1，历史数据权重下降越慢。答案：错解析：α→1时最新观测权重最大，历史权重下降最快。33.若置信区间不包含0，则对应假设检验在相同α下必拒绝H₀：μ=0。答案：对解析：区间与检验对偶，区间不含0即|t|>tα/2。34.非抽样误差可以通过增大样本量消除。答案：错解析：非抽样误差如测量、覆盖、无回答误差与n无关，需改进调查设计。35.卡方检验要求期望频数不小于5，否则需用Fisher精确检验。答案：对解析：期望频数<5时卡方近似不佳，宜用精确方法。四、计算与综合题（共80分）36.（15分）某厂生产袋装糖果，标准重量μ₀=500g。质检部门随机抽取25袋，测得平均重量ȳ=495g，样本标准差s=10g。假定重量服从正态分布。（1）在α=0.05下检验是否显著低于标准。（2）计算检验的p值并解释。（3）若要求检验功效在μ₁=490g时达到0.90，求所需样本量。解：（1）H₀：μ=500，H₁：μ<500，单尾t检验t=(ȳ−μ₀)/(s/√n)=(495−500)/(10/5)=−2.5df=24，t₀.₀₅=−1.711，t=−2.5<−1.711，拒绝H₀，显著低于标准。（2）p值=P(T₂₄≤−2.5)，查t分布表得0.0096，p≈0.01，表明若H₀真，出现当前或更小样本均值的概率约1%，证据充分。（3）功效1−β=0.90，δ=|μ₁−μ₀|=10，σ≈s=10单尾公式n=[(zα+zβ)σ/δ]²，zα=1.645，zβ=1.28n=(1.645+1.28)²×100/100≈8.6²≈74，取75袋。37.（15分）某电商平台记录日访问量（万次）与促销费用（万元）数据如下：X：2 3 5 7 8 10Y：18 22 27 32 35 40（1）建立一元线性回归方程。（2）检验β₁是否显著（α=0.05）。（3）当X=12万元时，给出日均访问量的95%置信预测区间。解：n=6，ΣX=35，ΣY=174，ΣX²=247，ΣY²=5542，ΣXY=1235x̄=5.833，ȳ=29，Sxx=247−35²/6=42.833，Sxy=1235−35×174/6=220β̂₁=Sxy/Sxx=5.138，β̂₀=ȳ−β̂₁x̄=29−5.138×5.833≈−0.99方程：Ŷ=−0.99+5.138X（2）SSE=Σ(Y−Ŷ)²=5542−(−0.99)×174−5.138×1235=5542+172.26−6345.43≈368.83s²=MSE=SSE/(n−2)=368.83/4=92.21，s=9.60se(β̂₁)=s/√Sxx=9.60/√42.833≈1.467t=5.138/1.467≈3.50，df=4，t₀.₀₂₅=2.776，|t|>2.776，拒绝H₀：β₁=0，显著。（3）X₀=12，Ŷ₀=−0.99+5.138×12≈60.67预测标准误s_pred=s√[1+1/n+(X₀−x̄)²/Sxx]=9.60√[1+1/6+(12−5.833)²/42.833]=9.60√1.1667+0.889≈9.60√2.0557≈9.60×1.434≈13.77t₀.₀₂₅,4=2.776，区间：60.67±2.776×13.77≈60.67±38.23即[22.4,98.9]万次。38.（15分）某市调查居民网购支出，采用分层抽样，分高、中、低收入三层，数据如下：层 Nh Sh nh高 4000 3000 80中 10000 1800 120低 16000 1200 200（1）估计全市人均网购支出Ȳ及抽样标准误。（2）与同等样本量的简单随机抽样比较，计算设计效应。（3）若总费用固定为4万元，每层调查费用ch分别为200、150、100元，求Neyman最优分配。解：（1）层权重Wh：高0.1333，中0.3333，低0.5333层均值用样本均值代替（题中未给，假设ȳh：高8000，中5000，低3000元）Ȳ=ΣWhȳh=0.1333×8000+0.3333×5000+0.5333×3000=1066.4+1666.5+1599.9≈4333元层方差用Sh²Var(Ȳ)=ΣWh²(1−fh)Sh²/nhfh：高0.02，中0.012，低0.0125Var=0.1333²×0.98×9000000/80+0.3333²×0.988×3240000/120+0.5333²×0.9875×1440000/200=0.0178×110250+0.1111×26676+0.2844×7110≈1962+2964+2023≈6949标准误SE=√6949≈83.4元（2）SRS方差公式：Var_SRS=(1−n/N)S²/n先估总体方差S²=ΣWh[Sh²+(ȳh−Ȳ)²]计算得S²≈4560000，n=400，N=30000Var_SRS≈0.9867×4560000/400≈11250deff=Var_str/Var_SRS=6949/11250≈0.62，分层效率更高。（3）Neyman分配nh∝NhSh/√ch计算NhSh/√ch：高4000×3000/14.14≈848000，中10000×1800/12.25≈1469000，低16000×1200/10=1920000总和≈4237000费用约束Σchnh=40000，设比例k，则k(848000×200+1469000×150+1920000×100)=40000k≈40000/(1.696×10⁸+2.203×10⁸+1.92×10⁸)=40000/5.819×10⁸≈6.87×10⁻⁵nh：高≈848000×6.87×10⁻⁵≈58，中≈101，低≈132，总291，费用40000元。39.（15分）某连锁超市记录2018—2022年各季度销售额（百万元）如下：年份 Q1 Q2 Q3 Q42018 48 62 58 722019 52 68 63 782020 55 71 66 822021 58 75 70 862022 61 79 73 90（1）用移动平均法计算季节指数（中心化12项移动平均）。（2）剔除季节后，建立线性趋势方程并预测2023年Q4销售额。（3）计算预测值的95%置信区间（假设s=2.1百万元）。解：（1）先计算12项移动平均，再中心化，得趋势值T，则SI=Y/T，同季平均得季节指数，调整使平均为100。经计算：Q1指数≈88.2，Q2≈107.5，Q3≈100.3，Q4≈104.0。（2）剔除季节：Y_adj=Y/SI×100，得20个观测，对t=1…20做回归Σt=210，Σt²=2870，ΣY_adj=1428，ΣtY_adj=15426β̂₁=(15426−210×1428/20)/(2870−210²/20)=1632/665≈2.455β̂₀=71.4−2.455×10.5≈45.62趋势方程：Ŷ=45.62+2.455t2023Q4对应t=24，Ŷ=45.62+2.455×24≈104.54百万元还原季节