统计期末试题题库(附答案)

统计期末试题题库(附答案)1.（单选）某市调查1000名居民的月网购支出，记录“0元”“1–500元”“501–1000元”“1000元以上”四档，该变量属于A.数值型连续变量B.数值型离散变量C.有序分类变量D.无序分类变量答案：C解析：虽然原始金额是数值，但调查时进行了分段并赋予顺序，因此属于有序分类变量。2.（单选）为估计某高校学生平均每日刷手机时间，随机抽取36人，得样本均值200min，标准差60min。若要求95%置信区间宽度不超过20min，至少应追加多少人？A.52B.139C.196D.554答案：B解析：宽度=2×z×s/√n≤20，z₀.₀₂₅=1.96，解得n≥(2×1.96×60/20)²≈138.3，向上取整139。3.（单选）下列关于p值的陈述正确的是A.p值是原假设为真的概率B.p值越小，样本量一定越大C.p值＜α时，拒绝原假设可能犯第一类错误D.p值与效应量大小成正比答案：C解析：p值是“在原假设成立下获得当前或更极端结果”的概率；拒绝时可能犯第一类错误，其概率被α控制。4.（单选）对同一批数据分别做线性回归y=β₀+β₁x与对数回归lny=β₀+β₁x，若两模型的R²分别为0.81与0.85，则A.可直接比较R²说明对数模型更好B.需将对数模型R²换算为y尺度后再比较C.线性模型一定解释力更高D.两个R²含义相同答案：B解析：因变量尺度不同，R²不可直接比较，需用“换算后的y尺度R²”或交叉验证误差。5.（单选）在单因素方差分析中，若F统计量=0，则A.组间平方和为0B.组内平方和为0C.各组样本均值相等D.各组总体均值相等答案：A解析：F=MSB/MSW，若F=0则MSB=0，即组间平方和为0，说明样本均值全相等。6.（单选）设X~N(μ,σ²)，σ未知，n=16，检验H₀:μ=μ₀，若采用t检验，显著性水平α=0.05，则拒绝域为A.|t|>1.753B.|t|>2.131C.|t|>2.602D.|t|>1.746答案：B解析：自由度15，双侧临界值t₀.₀₂₅,15=2.131。7.（单选）对某2×2列联表做卡方检验，得χ²=6.25，则Cramér’sV为A.0.25B.0.50C.0.177D.0.354答案：D解析：V=√(χ²/(n×min(r-1,c-1)))，此处min=1，若n=50，则V=√(6.25/50)=0.354。8.（单选）在时间序列加法模型Y=T+S+C+I中，若采用移动平均法估计T，则季节成分S一般用A.原始减TB.原始减T再平均C.原始减T再平均后做中心化处理D.原始除T答案：C解析：加法模型中S=Y−T−C−I，实际估计时先对Y−T按季节平均，再使各季节和为0。9.（单选）若随机变量X的期望存在，则A.其方差一定存在B.其中位数一定等于期望C.其所有阶矩都存在D.其方差不一定存在答案：D解析：期望存在仅要求一阶绝对矩有限，方差涉及二阶矩，可不存在，如柯西分布。10.（单选）Bootstrap置信区间的“百分位法”是指A.用正态近似求区间B.用bootstrap标准误乘t临界值C.直接用bootstrap抽样分布的α/2与1−α/2分位数D.对bootstrap均值做偏差校正答案：C解析：百分位法直接取bootstrap统计量的经验分位数，无需正态假设。11.（单选）在多元线性回归中，若某自变量xₖ的VIF=10，则A.该变量一定不显著B.该变量系数符号一定错误C.存在严重多重共线性D.应直接删除该变量答案：C解析：VIF=10说明1/(1−R²ₖ)=10，即该变量与其他变量复相关R²=0.9，共线严重，但未必需删除。12.（单选）对同一数据做K均值与层次聚类，若K均值SSE=120，层次聚类SSE=150，则A.K均值结果一定更优B.层次聚类结果一定更优C.仅说明K均值在SSE准则下更好D.SSE不可比较答案：C解析：SSE是K均值目标函数，层次聚类不直接最小化SSE，不能直接比“优劣”。13.（单选）设X₁,…,Xₙi.i.d.来自U(0,θ)，则θ的矩估计为A.2X̄B.max(Xᵢ)C.min(Xᵢ)D.X̄答案：A解析：E(X)=θ/2，令X̄=θ̂/2，得θ̂=2X̄。14.（单选）在贝叶斯框架中，若先验为Beta(2,2)，似然为二项分布Bin(n=10,x=3)，则后验均值为A.0.3B.0.333C.0.375D.0.4答案：C解析：后验Beta(2+3,2+7)=Beta(5,9)，均值5/(5+9)=0.357≈0.375（四舍五入）。15.（单选）若某指数平滑模型α=0.8，则A.对历史数据衰减较慢B.对最近观测权重高C.等价于简单移动平均D.平滑序列方差一定减小答案：B解析：α大则权重集中在最近，衰减快。16.（单选）在分类问题中，ROC曲线下面积AUC=0.85表示A.随机抽一个正类得分高于负类的概率0.85B.准确率85%C.召回率85%D.F1值0.85答案：A解析：AUC定义即为该概率。17.（单选）对泊松过程，单位时间事件数λ的MLE为A.样本中位数B.样本均值C.样本众数D.样本方差答案：B解析：泊松均值=λ，MLE=样本均值。18.（单选）若两变量秩相关系数ρₛ=0，则A.两变量独立B.两变量无线性相关C.两变量无单调关系D.两变量无斯皮尔曼单调关系答案：D解析：ρₛ=0仅说明无单调关系，不排除非单调关联。19.（单选）在正态总体方差已知时，关于均值μ的检验，若n增大，则A.第二类错误概率一定增大B.检验功效一定减小C.第一类错误概率不变D.置信区间宽度一定增大答案：C解析：α由研究者设定，不随n变；功效增大，区间变窄。20.（单选）对某数据集做主成分分析，第一主成分方差贡献率45%，第二主成分25%，则前两个主成分累计贡献率A.45%B.70%C.25%D.无法计算答案：B解析：45%+25%=70%。21.（多选）下列哪些方法可用于检验正态性A.Shapiro-Wilk检验B.Kolmogorov-Smirnov检验C.Q-Q图D.Anderson-Darling检验E.Levene检验答案：A,B,C,D解析：Levene检验用于方差齐性，不检验正态。22.（多选）关于多重比较校正，正确的有A.Bonferroni法控制族错误率B.FDR法比Bonferroni更宽松C.TukeyHSD适用于所有两两比较D.Scheffe法可用于任意线性对比E.不校正时第一类错误率膨胀答案：A,B,C,D,E解析：全对。23.（多选）下列属于非参数检验的有A.Mann-WhitneyUB.Kruskal-WallisC.Wilcoxon符号秩D.符号检验E.卡方独立性检验答案：A,B,C,D解析：卡方虽无分布假设，但通常归为列联表方法，非严格非参数。24.（多选）若随机变量X服从几何分布，则A.具有无记忆性B.期望为1/pC.方差为(1−p)/p²D.属于指数族E.其和服从负二项答案：A,B,C,D,E解析：几何分布是负二项r=1特例，和即负二项；属指数族；无记忆；期望方差如上。25.（多选）在线性回归中，若残差呈现“漏斗形”，则A.存在异方差B.可用加权最小二乘C.可用对数变换D.标准误估计有偏E.系数估计有偏答案：A,B,C,D解析：系数仍无偏，但标准误错，t检验失效。26.（填空）设X~N(0,1)，则E(|X|)=____。答案：√(2/π)解析：利用积分∫₀^∞xφ(x)dx=1/√(2π)。27.（填空）若样本偏度为0，峰度为3，则该分布最接近____分布。答案：正态解析：正态偏度0峰度3。28.（填空）对某AR(1)模型Xₜ=0.7Xₜ₋₁+εₜ，其平稳方差为____（εₜ~iidN(0,1)）。答案：1/(1−0.7²)=1/0.51≈1.9608解析：Var(X)=σ²/(1−φ²)。29.（填空）若Logistic回归系数β₁=0.8，则x每增加1单位，优势比变为原____倍。答案：e^0.8≈2.2255解析：OR=e^β。30.（填空）对某样本n=100，样本比例p̂=0.15，则其99%置信区间半宽为____（保留三位小数）。答案：2.576×√(0.15×0.85/100)=0.092解析：z₀.₀₀₅=2.576。31.（计算）某工厂两台机器生产同型号零件，分别抽取n₁=50，n₂=60，测得平均长度120mm与122mm，样本标准差分别为4mm与5mm。假定方差不相等，试在α=0.05下检验两台机器是否显著差异，并求均值差的95%置信区间。答案：t=(120−122)/√(4²/50+5²/60)=−2.309，df≈103.9，|t|>1.983，拒绝H₀。差值−2±1.983×√(16/50+25/60)=−2±1.983×0.896=−2±1.777→(−3.777,−0.223)mm。32.（计算）对某完全随机设计，四组样本量均为8，组均值分别为10,12,15,18，组内平方和480，试完成方差分析表并给出结论（α=0.01）。答案：SSB=8×[(10−13.75)²+(12−13.75)²+(15−13.75)²+(18−13.75)²]=8×24.75=198，SST=198+480=678，dfB=3，dfW=28，MSB=66，MSW=17.14，F=3.85，F₀.₀₁,3,28≈4.57，3.85<4.57，不拒绝，尚不能认为四组均值不同。33.（计算）某连锁超市记录10家门店促销前后一周销售额（万元）如下：门店：12345678910前：30283540293231333436后：33303842313534363739试用非参数方法检验促销是否有效（α=0.05）。答案：取差值：3,2,3,2,2,3,3,3,3,3，符号检验正符号10/10，p=2×(0.5)^10=0.00195<0.05，拒绝，促销显著有效。34.（计算）设X₁,…,Xₙ来自密度f(x)=θx^{θ−1},0<x<1,θ>0，求θ的MLE及其渐近方差。答案：L=θⁿ∏xᵢ^{θ−1}，lnL=nlnθ+(θ−1)∑lnxᵢ，令导数得θ̂=−n/∑lnxᵢ，I(θ)=n/θ²，渐近方差θ²/n。35.（计算）对某2×3列联表，卡方独立性检验得χ²=12.5，n=200，求列联系数C与Cramér’sV，并解释。答案：C=√(χ²/(n+χ²))=√(12.5/212.5)=0.242，V=√(12.5/(200×1))=0.25，二者均显示中等强度关联。36.（综合）某电商想预测日销量Y，收集30天数据，变量：x₁=广告费(万元)，x₂=周末虚拟(0/1)，x₃=促销强度(1–5)。用最小二乘得：Ŷ=50+12x₁+30x₂+8x₃，R²=0.75，残差诊断：DW=1.8，残差Q-Q图基本直线，但x₁与x₃相关系数0.85。（1）解释系数12；（2）是否存在多重共线？如何改进？（3）若广告费增加1万元，周末且促销强度为4，销量变化？（4）给出DW=1.8的结论。答案：（1）控制其他变量，广告费每增1万元，日销量平均增12件。（2）x₁与x₃高相关，VIF可能高，存在共线；可中心化交互、主成分、岭回归或剔除一个。（3）ΔY=12×1+30×0+8×0=12件（仅广告效应）。（4）DW≈2无自相关，1.8接近2，尚不能认为存在显著自相关。37.（综合）某医学试验测量20名患者治疗前后血压，得平均差值−8mmHg，差值标准差10mmHg。（1）给出差值均值μd的95%置信区间；（2）若临床认为降低5mmHg才有效，请检验；（3）若n增至80，区间宽度如何变化？答案：（1）−8±2.093×10/√20=−8±4.68→(−12.68,−3.32)；（2）H₀:μd=−5，t=(−8+5)/(10/√20)=−1.34，|t|<2.093，不拒绝，尚不能认为达到临床有效；（3）宽度与√n成反比，n×4，宽度/2，新宽≈2.34。38.（综合）设X~Exp(λ)，Y~Exp(μ)独立，求P(X<Y)。答案：P(X<Y)=∫₀^∞∫x^∞λe^{−λx}μe^{−μy}dydx=λ/(λ+μ)。39.（综合）对某数据集做K均值聚类，K从2到8，绘制“肘部图”发现SSE下降缓慢，且silhouette均值在K=3时最大0.55，K=4时0.54，K=5时0.52，请给出建议并说明理由。答案：选K=3；silhouette最高且肘部图无显著下降，兼顾解释性与聚类质量。40.（综合）某质量控制图设置X̄图，中心线50，标准差2，n=5，试计算3σ上下控制限，并说明若连续7点同侧是否报警。答案：UCL=50+3×2/√5=52.68，LCL=47.32；连续7点同侧为典型“游程”准则，应报警，提示过程可能偏移。41.（证明）设X₁,…,Xₙi.i.d.N(μ,σ²)，证明样本方差S²是σ²的无偏估计。答案：E(S²)=E(1/(n−1)∑(Xᵢ−X̄)²)=σ²，经典结论，利用E(∑(Xᵢ−X̄)²)=(n−1)σ²。42.（证明）对简单线性回归yᵢ=β₀+β₁xᵢ+εᵢ，证明β₁的OLS估计可写为β̂₁=∑(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)/∑(xᵢ−x̄)²。答案：最小化RSS，对β₁求导并令0即得。43.（软件应用）用R语言写一段代码：生成1000个服从N(3,4)的随机数，绘制直方图并叠加密度曲线，计算95%置信区间。答案：set.seed(123)x<-rnorm(1000,mean=3,sd=2)hist(x,freq=FALSE,col="skyblue",border="white")curve(dnorm(x,3,2),add=TRUE,col="red",lwd=2)t.test(x)$44.（软件应用）用Python完成：对iris数据做PCA，输出解释方差比，并绘制前两个主成分散点图，颜色按品种区分。答案：importseabornassnsfromsklearn.decompositionimportPCAimportmatplotlib.pyplotaspltiris=sns.load_dataset('iris')X=iris.drop('species',axis=1)pca=PCA(n_components=2)X2=pca.fit_transform(X)print(pca.explained_variance_ratio_)plt.scatter(X2[:,0],X2[:,1],c=iris.species.astype('category').cat.codes)plt.show()45.（案例）某市交通部门想评估限行政策对PM2.5的影响，收集政策前后各40天数据，已知前后平均浓度差−5μg/m³，标准差差值12μg/m³，但数据呈右偏。（1）应选t检验还是非参数？（