专题04 数列求通项（隔项等差（等比）数列）(典型例题+题型归类练)（解析版）

专题04数列求通项（隔项等差（等比）数列）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍1、隔项等差数列已知数列，满足，则；（其中为常数）；或则称数列为隔项等差数列，其中：①构成以为首项的等差数列，公差为；②构成以为首项的等差数列，公差为；2、隔项等比数列已知数列，满足，则；（其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中：①构成以为首项的等比数列，公比为；②构成以为首项的等比数列，公比为；二、典型例题角度1：隔项等差数列例题1．（2022·四川眉山·三模（文））已知数列，，，求的通项公式；思路点拨：根据题意：思路点拨：根据题意：，可推出，两式作差，判断为隔项等差数列解答过程：由，可推出，两式作差（）所以是隔项等差数列：①构成以为首项的等差数列，公差为；②构成以为首项的等差数列，公差为；下结论求通项当为奇数：为第项：求通项当为偶数：为第项：综上：无论为奇数还是偶数：.核心秘籍核心秘籍对于本例中作为一个模型直接记忆，考试遇到判断为隔项等差数列.便于快速求解特别注意分奇偶时，判断是第几项【答案】(1)因为所以，两式相减得，所以是隔项等差数列，且，所以为奇数，为偶数，所以.例题2．（2022·安徽·淮南第二中学高二开学考试）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，.求数列的通项公式；思路点拨：根据题意：思路点拨：根据题意：，可推出，两式作差，判断为隔项等差数列解答过程：由，可推出，及两式作差∵，∴.所以是隔项等差数列：①构成以为首项的等差数列，公差为；②构成以为首项的等差数列，公差为；下结论求通项当为奇数：为第项：求通项当为偶数：为第项：综上：无论为奇数还是偶数：.【答案】由题意得，，则，两式相减得，∵，∴.∵，∴当，，又，∴，∴当时，.综上，.角度2：隔项等比数列例题3．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知数列满足，，.求数列的通项公式；思路点拨：根据题意：思路点拨：根据题意：，可推出，两式作商，判断为隔项等比数列解答过程：由，可推出，两式作商所以是隔项等比数列：①构成以为首项的等比数列，公比为；②构成以为首项的等比数列，公比为；下结论求通项当为奇数：为第项：求通项当为偶数：为第项：综上：.核心秘籍核心秘籍对于本例中作为一个模型直接记忆，考试遇到判断为隔项等比数列.便于快速求解特别注意分奇偶时，判断是第几项【答案】(1)解：由题意，当时，，可得，因为，可得，所以，，所以数列的奇数项和偶数项都是公比为的等比数列.所以当为奇数时，设，则，当为偶数时，设，则.因此，.三、题型归类练1．在数列{an}中，若，则数列{an}的前12项和等于_________.【答案】78因为，所以，，，，，，，，，，.从第一个式子开始，相邻的两个式子作差得：.从第二个式子开始，相邻的两个式子相加得：把以上的式子依次相加可得：=78.故答案为：78.2．秋末冬初，流感盛行，某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列，已知，，且，则该医院第5天入院治疗流感的人数有________人；则该医院30天内入院治疗流感的人数共有________人.【答案】

1

255，，且时，，时，，时，，观察可知奇数项是1的常数列，偶数项是首项为2，公差为2的等差数列.故答案为:1；2553．（2022·广东·三模）已知数列{}的前n项和，，，.计算的值，求{}的通项公式；【答案】，当时，，解得由题知

①

②由②①得，因为，所以所以数列的奇数项是以为首项，以4为公差的等差数列；偶数项是以为首项，以4为公差的等差数列；当n为奇数时，当n为偶数时，所以的通项公式.4．（2022·新疆·一模（理））已知数列满足，．求数列的通项公式；【答案】；依题意，，由得：，则当n为奇数，时，，满足上式，当n为偶数，时，，满足上式，即当n为奇数时，，当n为偶数时，，所以．5．（2022·福建泉州·模拟预测）记数列{}的前n项和为.已知，___________.从①；②；③中选出一个能确定{}的条件，补充到上面横线处，并解答下面的问题.求{}的通项公式：【答案】(1)选①：，只能说明数列的奇数项和偶数项分别构成等差数列，已知，数列的奇数项可以确定，但未知，故数列的偶数项不确定，因此数列不确定，题设的两个条件均无法求解，选②：，由得：，因为，所以故，即；选③：由得：，故当时，，两式相减得：，又因为满足，综上：对所有的，均有，所以为首项为1，公差为2的等差数列，故6.若数列，，，求数列的通项公式.答案当是奇数时：，整理得；当是偶数时：，整理得解：因为，所以，两式相除：，所以是隔项等比数列；构成以为首项的等比数列，公比为；构成以为首项的等比数列，公比为；当是奇数时：，整理