刘蒋巍：高考数学典型题讲析

高考数学典型题讲析

文/刘蒋巍

分析高考教学难点，把握高考教学热点，了解试题来源，理解命题背景，对高三

数学复习大有裨益！

1、培养学生代数式的变形与转化能力

2012年江苏卷笫14题，该题考查不等式、函数的导数等基本知识，考查代数式

的变形和转化能力，考查灵活运用有关知识解决问题的能力。问题如下：

2012江苏.14.已知正数满足：5c-3。WbW4c-a,cln〃2a+clnc,则—的取

值范围是▲.

命制思路简析：

x

已知正数满足：5-3x<y<4-xty>e,求上的范围。

x

（令q=-=y,则问题衍变为：已知正数x,y,z满足：5-3-<-<4--,

CCCCC

ln->-,求2的范围。）

cca

类似的，考查代数式的变形和转化能力的试题还有2016年江苏卷第14题。问题

如下：

2016江苏14.在锐角三角形ABC中,sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值

是.

【试题命制】

（苏教版必修4第117页感受理解第4题）

在锐角三角形ABC中,ADVBC,垂足为。，BD:DC:AD=2:3:6f求NB4c的

度数.

（改编1）在锐角三角形A8C中，ADLBC,垂足为。，BC:AD=2A,则

tanAtanBtanC的最小值是

由于BC=a,AD=bs\nCf所以“八。_L8C,垂足为。，4C：AO=2：1”还可表述

为"a=2hsinC’'，由正弦定理得:sinA=2sinZ?sinC,形成2稿

（2稿）在锐角三角形人8。中，sin/l=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值

是______

【解法探究】

解法1以形助数

过A点作A3_L3C于点。，令BD=/n,

CD=n,AD=h:Mm-\-n=a;由sinA=2sinBsinC,得:a=2/7sinC

Anh

而Z?sinC=〃，则。=2力；〃z+〃=2〃；>LtanB=-——=一

BDin

mn

---1---

厂ADh.//力5/in、tanZ.BAD+tanZ.CAD〃〃

tanC=——=-,tanA=tan(ZBAD+ACAD)=-------------------------------=」—以

CDn1-tanZBAD-tanZ.CAD.Im一一・n-^―

hh

------；所以tanAtanBtanC=——-----------

1ninmnmn

不一庐

不妨令x=—e(0,1);则tanAtan8tanC=---=——>———二-----=8

2

h(l-x)x(17+X)2

解法2运用基本不等式

因为sinA=2sinBsinC,sinA=sin(/r-A)=sin(B+C),

所以sin(8+C)=2sin8sinC,sinBcosC+cosBsinC=2sin25sinC:

两边同除以cos3cosc得：tanB+tanC=2tanBtanC

「.A、/ntanB+tanC2tanBtanC

而lanA=_lan(乃-A)=-tan(B+C)=-------------------=--------------------

1-tanBtanC1-tanBtanC

八八「2(tanBtanC)2

所以tanAtanBtanC=---------------------,

1-tanBtanC

--,.1nl.八2(1—x)~_I-2,x+x~

不4万z殳JV=l—lan8lanCvI,则tanAtanBtanC=------------=-2--------------

xx

=-2(-+A:-2)>8,当且仅当x=—l时，即tanBtanC=2时取等号

x

思考：还有其他解法么？

2、引导学生关注教材中的基本模型

江苏高考考试说明样卷中第18题选用的2014年江苏高考的应用题。本题考

查直线、圆、解三角形等基础知识，考查抽象概括能力和运算求解能力，以及学

生的数学应用意识。

源于教材：“多题合一”+“改造”

2014江苏18.（本小题满分16分）

如图，为了保护河上古桥04,规划建一座新桥8c，同时设立一个圆形保护区.规

划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与

相切的圆.且古格两端O和4到该圆上任意一点的距离均不少于8（）m.经

测量，点A位于点0正北方向60m处，点C位于点。正东方向170m处（OC

为河岸）,tanN4c

3

（。求新桥8c的长；

（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

（第18题）

命题背景解析

背景1苏教版教材必修2第92页例5

在路边安装路灯，路宽23m,灯杆长2.5m,且与灯柱成120.角，路灯采用锥

形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直.当灯柱高h为多少米时，灯罩轴线正好通迂道

路路面的中线？（精确到0.01m）

因为T，所以心生%,又因为女抬=&；则8二一2

明m

(令椭圆方程为：y4-^-=l,则心八•左股二-1，PA1PB)

思考：除命制思路外，还有其他解题思路吗？

2012江苏19.如图，在平面直角坐标系直为中，椭圆「+4=13＞方＞0)的左、右焦

a-lr

点分别为£(-c,0),F2(C,0).已知(1,e)和e,且都在椭圆上，其中e为椭圆的

离心率.

(1)求椭圆的离心率；

(2)设A,8是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线

y

与直线8F2平行，Ag与交于点P.

(i)若AF「BF2=专,求直线A大的斜率;

(ii)求证：尸”十。乃是定值.

(第19题)

思考：如何求解？通性通法怎么巧算？除通性通法外，可否使用参数方程、极

坐标等方法求解？

2015江苏18.在平面直角坐标,系xOy中，已知椭圆—―+=1(Q>b>0)的离心率

为巫，且右焦点/到左准线/的距离为3.

2

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过户的直线与椭圆交于A,8两点，线段A3的垂直平分线分别交直线/

和A8于点P,C,若PG2AB,求直线的方程.

思考：如何求解？通性通法怎么巧算？除通性通法外，可否使用参数方程、极

坐标等方法求解？

4、掌握通性通法的同时，了解试题的高等数学背景

江苏高考考试说明样卷中第19题选用的2013年江苏高考第20题。该题考

查函数的单调性、最值、零点等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论等

数学思想方法。

2013江苏20.(本小题满分16分)设函数，(x)=lnx-aag(x)=e'-or,其中。

为实数。

(1)若/(X)在(1,+8)上是单调减函数，且g(x)在(L+00)上有最小值，求〃的取

值范围；(2)若膜用在(-1,+00)上是单调增函数，试求/(大)的零点个数，并证明

你的结论。

命制思路简析：

函数力(工)二曲3的图像在(o,e)单调递增，在(e,+8)单调递减,最大值为h(e)=e~l,

limh(x)=一8,limh(x)=lim'匹=lim-=0(此处极限值用洛必达法则求得)

A->0+X->400X->-KOXXT+00/

(若c/We，则当QWO或4=小时，方程〃=皿的根个数为1,当0<。<八时,

方程。2的根个数为2)

x

思考：除命制思路外，还有其他解题思路吗？用通性通法如何求解？

2012江苏20.(本小题满分16分)

已知各项均为正数的两个数列他"和｛2｝满足：j〃eN*.

(1)设%=1+飨，〃wN"求证：数列11%]是等差数列：

d”J

(2)设%+]=忘・%,〃eN*,且｛4｝是等比数列，求4和4的值.

ar.

命制思路简析：

①正项数列伍“｝为大于1的有界数列，且｛q｝为等比数列，求证：｛可｝为常数列.

a+b

②。>0力>0,求证：1<t<72

22

yla+b

思考：如何证明｛《,｝为常数列？正难则反？

还有哪一年高考题考查反证法？2015年？2016年？如何书写证明过程？

2016江苏卷19题命制思路简析：

2016年江苏高考第19题是以苏教版必修5教材第98页练习2(3)为原型生长

而成的O

试题原型设X是实数，求证：2v+2-x>2

分析可知2'+27-220当且仅当x=。时取等号，即函数g(x)=2'+2f-2有且只

有1个零点。从“语言互译”⑴的角度命制“邻近问题”,形成1稿。

1稿设xcR,求证：函数g(x)=2、+27-2有且只有1个零点.分析可知：若记

2,则g*)=a+b-2有且只有i个零点，此时(必=1.将“2”推

广到/>1",若g(x)=a'+”'—2有且只有1个零点，则他值依然为1。

从“命题推广”与“条件与结论互换”⑵的角度命制“一般性问题”，形成2稿。

2稿已知/(幻="'+〃，其中函数鼠幻二/(幻一2有且只有］个零

点，求面的值

思考：2015年第几题考查反证法？如何书写证明过程？

r22

(2010江苏18)在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆二+==1的左、

5

右顶点为A、B,右焦点为F.设过点r(f,〃7)的直线窗、73与椭圆分别交于

点M($,y)、N(x2,y2),其中"?>0,y>0,乃

(1)设动点、P满足PF2-PB?=4,求点尸的轨迹；

(2)谩占=2,/=§，求点了的坐标；

(3)设1=9,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与〃？无关).

命制思路简析：

前两间比较简单，这里从略。对于第(3)问，由高等几何知识知：点7Q,〃?)

关于椭圆《+」=1的极线方程为：三+”=1,此直线恒过x轴上一定点

cTb~a~h-

2222

(y,0),从而直线MN必过定点(Y，0)。(令椭圆方程为:§x+》v「=9,

则直线MN必过定点(1,0))

第(3)问标准解答:

(3)点T的坐标为(9,m)

直线MTA方程为：-^=—,Fpy=—（x+3）,

m-09+312

直线NTB方程为：上二°二上0，即）=?*一3）。

/n-09-36

22

分别与椭圆三+'=1联立方程组，同时考虑到玉工-3,%H3,

解得：-3(80-介40/〃3（/M2-20）20〃，、

-T）°

山'80+/?80+m27'20+m20+//Z2

(方法一)当％w七时，直线MN方程为：

2（）匕3（疗-20）

)'+：

20+疗20+/H2

40”?।20，〃-3（80—〃「）3（〃『一20）

80+>20+m280+亡20+>

令)，=(),解得：x=\o此时必过点D(1,0);

当内时，直线MN方程为：x=],与x轴交点为D(1,0)。

所以直线MN必过x轴上的一定点D(1,0)o

(方法二)若x=々，则由—-—=——处及/??>0,得in=2A/10,

1-80+/20+/W2

此时直线MN的方程为x=l,过点D(1,0)。

40/7?

若用力工2，贝|〕〃?/2廊，直线MD的斜率尤〃)=—8。+①：—二1。J,

12MD240-3〃/[40-w2

80+病_一

-20/n

直线ND的斜率脑/4一=不警方,得kMD=k.,所以直线MN过D

3m-6040-m

-"T----5—1

20+1

点。

因此，直线MN必过x轴上的点（1,0）o

运用向量法打开运算“死结”：

解第(3)问：设0M=(-3+,ON=(3-6",小夕)(尸v0va),MNmx

轴交于。(x,0),DM=2DA^(ZGR)=>mj3(l2a-3-x)=ma(3+6p-x)

9(4(7-I)2nra1

=>(a—〃)x+6明—3(a+0=O(*),由M,N在棚圆上，六<

9(24+1打।〃朝

消去加2,得63=22+4£,代入（*）=（a-/）（五-1）=0,二一£工（），：.x=\.

运用合分比性质打开运算"死结”：

解第（3）问：分析：从“标解”可以看出，命题意图着力考查因式分解及整体消

元的基本技能.这里本人给出运用合分比性质打开运算"死结”，盘活思路的解题

方案.（为了更能说明问题，考虑一般情形）

22

解：设椭圆二■+==1（*）,直线MN:x=?+s代入（*）,

2222222

得(br+a)y+2b2rsy+b(s-a)=0N(%,y),M(/,月)，7"，w)(y2>0>y)

m_%

x2+a消去机a二.2(/*二)乂。1+5-〃)

)1''f+Gy](x2+a)"F+S+O)

t-ax}-a

由令分丝性质，

t_2ryy+s(y+y)^a(y-y)_2rb2(s2-a2)-2b2rs2+a(y-y)(b2r2+a2)

------x--2------x----2-------t---2----------------------------1----2----------

as(y-为)+〃(X+%)s(X—%/+cr)-2cMrs

M(X-％)(从户+a?)-2"2rl

=—=>st=a2(对干本题，s

s[(Y-)'2)("2,+/)-2加r|

定点为D（1,0））

注：作为住附芟投的典型示例：上述结论=也适用于双曲线.

5、抓住基本概念，破解新定义题

2017江苏19.(本小题满分16分)

对于给定的正整数h若数列｛。/满足

+i+…++…+…=2ka”对任意正整数n(n>k)总成立，

则称数列%｝是“P(k)数列

(1)证明：等差数列｛%｝是“P⑶数列''；

(2)若数列｛册｝既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：｛%｝是等差数列.

解析：(1)因为｛q｝是等差数列，

所以，〃之4时，a,—+q+3=2a“(*),an_2+an+2=2an(**),%+=X(***)：

(*)、(**)、(***)三式相加，得:an_3+an_2+an_t+an+i+a„+2+an+3=6an

故，等差数列｛an｝是“P(3)数列“

(2)当〃24时，因为数列｛%｝是“P⑶数列”，

所以满足：。“_3+an-2++4+1+4+2+4+3=6^n①

又因为数列｛%｝是“P⑵数列"，所以，I5+。,1+。”+2=4可(****)

还可写成:an_3+an_2+a„+an+[=4*②;an_x+an+an+2+an+3=4an+[③

由②+③-①式，得：2q=4(%+1)-6。",即：%_]+1=29(«>4)

故，｛氏｝从第三项起为等差数列。

又因为数列｛〃“｝是“P(2)数列“，(****)式中，令〃=4,得：4+/+《+4,=4处

所以，a2=a2=46一(％+%+延)=4(%+d)-(a3+/+2d+/+3d)=%-d

(****)式中，令〃=3,得：q+。2+。4+%=4%，

故，6=4%-(%+/-%)=4(%+")-(％+%+2d+%+3d)=a2-d

综上，｛4｝是等差数列.

题源分析：本题解法与2011年江苏高考数学第20题第(2)问方法一致。可见,

“一事习得三遍熟”，熟悉往年试题很重要。

2014江苏20.(本小题满分16分)

设数列他“)的前〃项和为S”.若对任意正整数〃，总存在正整数/〃，使得

S”=a,“,则称｛%｝是“H数列

(1)若数列｛册｝的前“项和S.=2"(〃eN•),证明：｛册｝是“H数列”；

(2)设｛%｝是等差数列，其首项为=1,公差dvO.若｛册｝是““数列''，求d的值；

(3)证明：对任意的等差数列｛%｝,总存在两个“H数列”｛d｝和&｝,使得

二2+c“

(〃cN')成立.

思考：数列的分拆？如何分拆？

2010江