2025-2026学年上海二中高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年上海二中高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共有4题，满分14分，第1、2题每题3分，第3、4题每题4分。1.在以下调查中，适合用普查的是(

)A.调查某批次汽车的抗撞击能力 B.调查一批LED灯的寿命

C.调查某城市居民的食品消费结构 D.调查一个班级学生的身高情况2.已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则“kA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM2.5的日均值(单位为μg/m3)，依次为36，26，17，23，33，106，42，31，30，33，则下列四个结论中正确的个数为(

)

①前4天的极差大于后4天的极差；

②前4天的方差小于后4天的方差；

③这组数据的中位数为31或33；

④A.0 B.1 C.2 D.34.对于一个四棱锥P−ABCD，已知二面角A−PB−C、B−PC−D、C−PD−A、D−PA−B大小都相等，有下列两个命题：①底面ABCD可以是等腰梯形；②若底面ABCD是平行四边形，则ABCD是矩形.下列说法正确的是(

)A.①②都是真命题 B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题 D.①②都是假命题二、填空题：本题共12题，第5-10题每题4分,第11-16题，每题5分，共54分。5.半径为3的球的表面积为

．6.已知事件A与事件B相互独立，如果P(A)=0.5，P(AB)=0.4，那么P(B)=

．7.直线2x−y−3=0与直线x−3y−5=0的夹角大小为______．8.现从编号为01，02，⋯，50的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第1个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为

(以下随机数表第7行)．

39832276 39918535 32591131 40469235 04982212 206712639.用“市”、“二”、“中”、“学”、“顶”、“呱”、“呱”这七个字可以组成多少种不同的七字短语

.(不考虑短语的含义)10.某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示(单位：分)，学校规定：成绩不低于130分的人到A班培训，低于130分的人到B班培训，如果用分层抽样的方法从到A班的人和到B班的人中共选取5人，则5人中到A班的有

人.11.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为

(结果用数值表示)．12.已知A(−5,2)，B两点关于直线x+y−10=0对称，则点B的坐标为

．13.当一个不均匀的骰子滚动的时候，出现偶数的概率是奇数的3倍.骰子滚动了两次则出现的数字之和为偶数的概率是

．14.一盒子里有编号1，2，3的红球和编号1，2，3的白球各一个，随机取出4个球排成一列，则相同颜色和相同编号均不相邻的排法有

种.15.如图，有一边长为2cm的正方形ABCO，D，E分别为AO、AB的中点.按图中的虚线翻折，使得A，B，O三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论：

①三棱锥的表面积为4；

②三棱锥的体积为13；

③三棱锥的外接球表面积为6π；

④三棱锥的内切球半径为1．

则以上结论中，正确结论是

.(请填写序号)

16.已知直线l1：mx−y+m=0，l2：x+my−m(m+1)=0，l3：(m+1)x−y+(m+1)=0，三条直线围成△ABC，则当△ABC面积取得最大时m的值为

三、解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题13分)

已知(1+2x)5=a0+a1x+a2x18.(本小题15分)

已知直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：x+(a−1)y+a2−1=0．

(Ⅰ)当l1//l2时，求a的值；

19.(本小题16分)

为了了解某校高二年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)若落在[50,60)学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在[60,70)学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求落在[50,70)的学生的成绩的平均数和方差.(结果精确到0.1)20.(本小题18分)

在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为12，收到0的概率为12；发送1时，收到0的概率为13，收到1的概率为23．

(Ⅰ)重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；

(Ⅱ)依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号；②事件B：至少收到两个21.(本小题20分)

如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点M，N分别是边BC，CD的中点，AC∩BD=O1，AC∩MN=G.沿MN将△CMN翻折到△PMN的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥P−ABMND．

(1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；

(2)当四棱锥P−MNDB体积最大时，求直线PB和平面MNDB所成角的正弦值；

(3)在(2)的条件下，在线段PA上是否存在一点Q，使得二面角Q−MN−P的平面角的余弦值为1010？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．参考答案1.D

2.D

3.C

4.A

5.36π

6.0.8

7.π48.32

9.2520

10.2

11.120

12.(8,15)

13.5814.12

15.①②③

16.1

17.18.解：(I)由a(a−1)−2=0，解得a=2或−1.经过验证a=2时两条直线重合，舍去．∴a=−1．

(II)a=1时，两条直线不垂直，舍去．

a≠1时，由l1⊥l2时，∴−19.20.解：(Ⅰ)重复发信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为：

(1,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，

∵信号的传输相互独立，

∴“至少收到两次1”的概率为P=23×23×23+23×13×23+23×23×13+13×23×23=2027．

(Ⅱ)事件A与事件B不互相独立，证明如下：

若依次发送1，1，0，则三次都没改到正确信号的概率为：

P=13×13×12=118，

∴至少收到一个正确信号的概率为P(A)=1−118=1721.(1)在翻折过程中总有平面PBD⊥平面PAG，

证明：∵点M，N分别是边BC，CD的中点，∴BD/​/MN，

又因为菱形ABCD中∠DAB=60°，∴△PMN是等边三角形，

∵G是MN的中点，∴MN⊥PG，

∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴MN⊥AC，

∵AC∩PG=G，AC⊂平面PAG，PG⊂平面PAG，

∴MN⊥平面PAG，∴BD⊥平面PAG，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAG．

(2)解：由题意知，四边形MNDB为等腰梯形，且DB=4，MN=2，O1G=3，

所以等腰梯形MNDB的面积S=(2+4)×32=33，

要使得四棱锥P−MNDB体积最大，只要点P到平面MNDB的距离最大即可，

∴当PG⊥平面MNDB时，点P到平面MNDB的距离的最大值为3，

此时四棱锥P−MNDB体积的最大值为V=13×33×3=3，

连接BG，则直线PB和平面MNDB所成角的为∠PBG，

在Rt△PBG中，PG=3，BG=7，由勾股定理得：PB=PG2+BG2=10．

∴sin∠PBG=PGP