江苏省南京市七校联合体2025-2026学年第一学期期末调研高二数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页江苏省南京市七校联合体2025-2026学年第一学期期末调研试题高二数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.椭圆x216+yA.10 B.5 C.7 D.2.直线l:x+3y−3=0的倾斜角α为A.π6 B.2π3 C.π33.已知f(x)=f′(2026)lnx−12xA.0 B.−2026 C.1 D.20264.若等比数列an的公比不为1，且a4a5a6=18，aA.8 B.14 C.−8 D.5.若圆C1：x2+y2−4x+3=0与圆CA.32 B.64 C.36 D.166.已知fx=ex−e−x−2x，a=fA.c>a>b B.c>b>a C.b>a>c D.b>c>a7.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，直线y=kxk≠0与C的左、右两支分别交于点A，BA.y=±76x B.y=±218.已知数列an是首项为1，公差为2的等差数列，数列bn是首项为1，公比为2的等比数列，设cn=abn，在数列cn的相邻两项ck,ck+1之间插入2k个3k∈N∗A.346 B.347 C.515 D.516二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.点−1,−2一定在直线2+λx+1−2λy+4−3λ=0λ∈R上

B.存在实数a，使得直线3x+ay=2与直线ax+2y=0垂直

C.过点2,1且横纵截距相等的直线方程为x+y−3=0

D.经过平面内任意相异两点x110.已知椭圆C：x24+y23=1的左右焦点分别为FA.存在点P，使得∠F1PF2=5π12

B.过点Q的直线与椭圆相交于A、B两点，若Q为弦AB的中点，则直线AB的斜率为−311.设数列an的前n项和为Snn∈N∗，a1=4，a2A.数列ann是等比数列

B.数列an2n−1是等差数列

C.数列an3n的最大项为43

D.设三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.数列an满足，a1=2,an+1+an=2n−313.已知函数fx=mx−2lnx在区间1,+∞上为增函数，则实数m的取值范围为14.已知双曲线C：x2−y24=1，左、右顶点分别为A，B，过T4,0作直线l与双曲线左右两支分别交于P，Q两点(异于A，B)，设直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知数列an满足a1=2(1)求证：数列an(2)设bn=n(an+1)，求数列bn16.(本小题15分)已知圆C经过A3,0，B1,2两点，且圆心在(1)求圆C的标准方程；(2)过点P−1,−1作圆C的两条切线，切点分别为M，N，求MN的值．17.(本小题15分)已知函数f(1)当a=2时，求函数fx在1,e(2)讨论fx的单调性．18.(本小题17分)已知动点P到定点F1,0与到定直线x=−1(1)求动点P的轨迹方程；(2)过F作两条斜率乘积为−12的直线l1,l2，分别交P的轨迹于A、B和C、D两点，且线段AB，①证明：直线MN恒过定点；②求AB⋅CD19.(本小题17分)已知函数f(1)若a=−1，求函数fx的图象在点1,0(2)若a=1，求证：当x∈−π,π时，sin(3)若2f(x2)<sinx在x∈参考答案1.D

2.D

3.B

4.A

5.C

6.B

7.B

8.D

9.ABD

10.BC

11.ABD

12.30

13.2,+∞

14.−315.解：(1)证明：因为an+1=3a又a1所以an+1故数列an+1是首项为3，公比为(2)由(1)知，数列an+1是首项为3，公比为所以an+1=3⋅3所以bnSn则3S两式相减得−2=3所以Sn

16.解：(1)法一：因为圆C的圆心在x轴上，所以设圆C的标准方程为x−a2因为圆C经过A3,0，B所以3−a2+所以圆C的方程为x−12法二：AB的中点坐标为2,1，直线AB的斜率k=2−0所以线段AB的垂直平分线的斜率k=1，所以线段AB的垂直平分线的方程为y−1=x−2，即y=x−1，又因为圆C的圆心在x轴上，所以联立方程y=x−1y=0，得x=1y=0，即圆心C1,0，圆C所以圆C的方程为x−12(2)法一：因为P−1,−1，C所以PC=所以PM=则四边形PMCN的面积S=PM因为过点P−1,−1作圆C的两条切线，切点为M、N，所以所以四边形PMCN的面积S=12PC法二：由题意PM⊥CM且PN⊥CN，所以M、N在以PC为直径的圆上，圆的方程为x+1x−1+y+1又圆C的方程为x2所以两圆的公共弦MN的方程为：2x+y+2=0，圆心C到MN的距离d=2×1+0+2所以MN=2

17.解：(1)当a=2时，fx=−xf′x令f′x=0，解得x1=2，所以当x∈1,2，f′x>0x∈2,e，f′x<0又因为f1=1，fe且fe−f1所以fx的值域为1,4(2)f′x令f′x=0，x1若a=0，f′x=−2x<0，fx若a>0，−a2<0<a，所以当x∈0,a，当x∈a,+∞，f′x<0若a<0，a<0<−a2，所以当x∈0,−a2当x∈−a2,+∞，综上，当a=0时，fx在0,+∞当a>0时，函数fx在0,a上单调递增，在a,+∞当a<0时，函数fx在0,−a2

18.解：(1)设Px,y，则解得y2(2)①设直线l1的方程为x=my+1(m≠0)，由l1与l2的斜率乘积为−12联立x=my+1y2=4x，消去x则Δ=16m2+16>0，设A∵M为线段AB的中点，∴yM=y1+y联立x=−2my+1y2设Cx3,则直线MN的斜率kMN∴直线MN的方程为y−2m=−m即mx+2−m2令x−my−5=02y=0，解得x=5,y=0，故直线MN恒过定点5,0②直线l1:x=my+1对应的弦长直线l2:x=−2∴AB⋅CD由基本不等式得m2+4∴AB∴AB⋅CD

19.解：(1)当a=−1时，fx=−∴切线的斜率为k=f′1∴切线方程为y−0=−2x−1，即2x+y−2=0(2)当a=1时，构造函数F(x)=x3+x∵F(−x)=−∴F(x)为偶函数，先考虑F(x)=x3+x当x∈π2,π时，因为cos当x∈0,π令hx=x2+1所以hx在0,π2所以x∈0,π2综上，当x∈0,π时，F(x)≥0，由偶函数的对称性，当x∈−π,π时即x∈−π,π时，sin(3)由2fx2<令Gx=a4x令Ax=G′x令Bx=A′x因为G0=0，A0