7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义（学案）高一数学人教A版（2019）必修 第二册

第七章复数第7.2.1讲复数的加、减运算及其几何意义班级_______姓名_______组号_______1．掌握复数代数形式的加法、减法运算法则．(重点)2.理解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义．(重点)3.能够利用复数代数形式的加法、减法运算法则及几何意义解决问题．(难点)1、复数的加减运算及几何意义2、根据复数的加减运算求参数3、根据复数的加减运算求复数的特征知识点一复数加法、减法运算1．复数加法、减法的运算法则设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则有z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝eq\o(□,\s\up2(1))(a＋c)＋(b＋d)i；z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝eq\o(□,\s\up2(2))(a－c)＋(b－d)i．2．复数加法的运算律设z1，z2，z3∈C，则有交换律：z1＋z2＝eq\o(□,\s\up2(3))z2＋z1；结合律：(z1＋z2)＋z3＝eq\o(□,\s\up2(4))z1＋(z2＋z3)．知识点二复数加法的几何意义若复数z1，z2对应的向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))不共线，则复数z1＋z2是以OZ1，OZ2为两条邻边的平行四边形的对角线对应的向量eq\o(OZ,\s\up6(→))所对应的复数，即复数的加法可以按照eq\o(□,\s\up2(5))向量的加法来进行，亦即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(□,\s\up2(6))eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，如图．知识点三复数减法的几何意义若复数z1，z2对应的向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))不共线，则复数z1－z2是连接向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))的终点，并指向eq\o(□,\s\up2(7))被减向量终点的向量eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))所对应的复数，即复数的减法可以按照向量的减法来进行，如图．题型1、复数的加减运算及几何意义1．复数，其中为实数，若为实数，为纯虚数，则（

）A．6 B． C． D．7【答案】C【分析】利用复数代数形式的加减法，结合实数、纯虚数的定义求解即得.【详解】复数，为实数，则，由为实数，得，解得，又，显然，由为纯虚数，得，解得，所以.故选：C2．已知复数的共轭复数是，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，然后代入化简，再结合复数相等的条件可求出，从而可求出复数.【详解】设，则，所以，即，所以，解得，因此，故选：C．3．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据及向量的复数表示，运算得到答案.【详解】复数与分别表示向量与，因为，所以表示向量的复数为.故选：D.4．设是复数且，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解.【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离，由图可知，.故选：C5．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于120°时，则使得的点即为费马点．根据以上材料，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意确定出费马点的位置，进而可求得结果.【详解】设，则表示点到三顶点、、的距离之和.依题意结合对称性可知的费马点位于虚轴的负半轴上，且，则.此时.故选：B.题型2、根据复数的加减运算求参数6．已知复数满足（是虚数单位），则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，求得，根据题意求得的值，即可求解.【详解】设，可得因为，所以解得，所以.故选：A.7．若，则的实部可能是（

）A．3 B．1 C． D．【答案】A【分析】设，则由已知可得，则，然后代入中计算可求出其实部，从而可得答案.【详解】设，因为，所以，得，所以，所以，则的实部，故选：A8．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】结合共轭复数的概念以及复数的运算和复数相等得到，进而可以求出结果.【详解】设，则．由得，则，所以，，所以．故选：B.9．若|z|+z=3+i，则z=（

）A．1－i B．1+iC．+i D．－+i【答案】C【分析】设复数z=x+yi(x，y∈R)，代入方程得：+x+yi=3+i，从而求出答案.【详解】设复数z=x+yi(x，y∈R)，依题意有+x+yi=3+i，因此解得故z=+i.故选：C.10．，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，化简得到，解得答案.【详解】设，则，故，故，故.故选：.【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.题型3、根据复数的加减运算求复数的特征11．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据题意求得，得到，化简，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】因为复数（其中）为“等部复数，可得，即，可得，则在复平面内对应的点为位于第一象限.故选：A.12．复数对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据复数的运算法则，求得复数为，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由复数，可得复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.13．实数时，复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先将复数化为一般形式，结合的范围判断出实部和虚部的符号，从而得到答案.【详解】又，故故该复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选：14．复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据复数的运算可得，结合复数的几何意义分析判断.【详解】由题意可得：，所以该复数对应的点为，该点在第四象限.故选：D.15．设复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】讲复数转化为复平面上的点的坐标进行判断即可.【详解】根据复数运算可知：，在复平面对应的点的坐标为，位于第二象限.故选：B一、单选题1．已知复数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数相等的条件得到方程组，求出答案.【详解】，故，所以，解得.故选：B2．复数，，其中，为实数，若为实数，为纯虚数，则（

）A． B． C．6 D．7【答案】A【分析】由复数运算和分类可解.【详解】由题意，，因为为实数，为纯虚数，所以，得，所以.故选：A.3．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】利用特殊角的三角函数值，结合复数的运算即可得解.【详解】因为可化为，所以点的坐标为，则，所以，所以．故选：A．4．若复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】求出，化简复数，利用复数的几何意义可得出结论.【详解】因为复数（为虚数单位），则，所以，，因此，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.故选：C.5．已知i为虚数单位，复数满足，则（

）A．25 B．9 C．5 D．3【答案】C【分析】直接解方程组求出复数，从而可求出复数的模【详解】由，得，解得，所以，故选：C6．在复平面内，为原点，为虚数单位，复数对应的向量，则（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【分析】由复数的几何意义可得，再根据题意计算复数的模即可.【详解】因为复数对应的向量，所以，所以.故选：.7．设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用复数模的坐标表示即可得解.【详解】因为z在复平面内对应的点为，所以，则，又，所以，即.故选：C．8．已知复数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，化简已知等式可求得，由复数模长运算可求得结果.【详解】设，由得：，，整理可得：，，（当且仅当时取等号），的最小值为.故选：B.二、多选题9．已知，为复数，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则或【答案】AC【分析】根据共轭复数的定义、复数模的运算公式，结合复数减法的运算法则逐一判断即可.【详解】A：根据共轭复数的定义，本选项正确；B：取，，满足，但，故本选项错误；C：设，，，由，得，即，，所以，即，故本选项正确；D：取，，则，，此时且，故D不正确．故选：AC10．已知复数，，在复平面内对应的点分别为，且为复平面内的原点，则（

）A．的虚部为B．为纯虚数C．D．以为三边长的三角形为钝角三角形【答案】BCD【分析】计算，结合复数的概念，即可判断A、B；由已知得出，求解数量积即可判断C；由已知求出的长，根据三边之间的关系，即可判断D.【详解】对于A项，因为，所以的虚部为，所以A错误；对于B项，因为，所以为纯虚数，所以B正确；对于C项，因为，，所以，所以，所以C正确；对于D项，由已知可得，，，且，所以，，所以D正确.故选：BCD.三、填空题11．若，，复数所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是．【答案】(－∞,2)【分析】利用复数减法化简，根据复数所在象限有，即可求参数范围.【详解】由题设在第四象限，所以，即.故答案为：12．若复数，，，其中，为实数，则.【答案】【分析】先根据，其中，为实数，利用复数相等求得x，y求解.【详解】解：因为数，，，其中，为实数，所以，解得，则，，所以，故答案为：四、解答题13．已知复数，，．(1)若是纯虚数，求；(2)若，求．【详解】（1）由题意得，因为是