几何平行线性质习题及解析

几何平行线性质习题及解析在平面几何的学习中，平行线的性质占据着举足轻重的地位。它不仅是我们理解图形位置关系的基础，也是后续解决复杂几何问题的重要工具。掌握平行线的性质，关键在于深刻理解并能灵活运用“同位角相等”、“内错角相等”以及“同旁内角互补”这三大核心结论。下面，我们通过几道典型习题来巩固这些知识，并一同探索解题的思路与方法。一、基础应用篇例题1：如图，已知直线AB与CD平行，直线EF分别交AB、CD于点G、H。若∠AGH=50°，求∠GHD的度数。解析：拿到题目，首先我们要明确已知条件：AB∥CD，EF是截线，∠AGH=50°。要求的是∠GHD的度数。我们观察图形，∠AGH和∠GHD是直线AB、CD被EF所截形成的角。因为AB∥CD，根据平行线的性质，我们需要判断这两个角属于哪一类角。∠AGH位于AB的上方，EF的左侧；∠GHD位于CD的上方，EF的右侧。它们的位置关系是“交错”的，分别在两条被截直线的内侧，且在截线的两旁。由此可以判断，∠AGH与∠GHD是一对内错角。根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等。所以，∠GHD=∠AGH=50°。因此，∠GHD的度数为50°。例题2：如图，直线a∥b，直线c与a、b分别交于点M、N。若∠1=120°，求∠2的度数，并说明理由。解析：题目给出a∥b，c为截线，∠1=120°，求∠2。首先，我们需要在图中准确找到∠1和∠2的位置。通常，∠1和∠2这类标记会在图中明确标出，假设∠1是∠AMN（具体依图而定，此处以常见情况为例，即∠1与∠2是同旁内角或同位角）。为了更清晰，我们可以假设∠1是直线a上方，截线c左侧的角，那么∠2如果是直线b上方，截线c右侧的角，且与∠1在截线的同旁，在被截线的同侧，那么∠1和∠2可能是同位角吗？或者，如果∠2与∠1是直线a、b被c所截形成的同旁内角呢？不，我们再仔细分析。若∠1是∠AMN，那么它的邻补角∠NMB就等于180°-∠1=180°-120°=60°。因为a∥b，∠NMB与∠2是直线a、b被c所截形成的同位角（均在直线上方，截线右侧）。根据“两直线平行，同位角相等”，所以∠2=∠NMB=60°。或者，如果∠2与∠1是同旁内角，那么∠1+∠2=180°，则∠2=60°，这也是可能的。具体取决于∠2的位置。但无论如何，核心是准确判断角的类型。最直接的，如果∠1和∠2是同旁内角，那么根据“两直线平行，同旁内角互补”，∠1+∠2=180°，所以∠2=180°-∠1=180°-120°=60°。因此，∠2的度数为60°。关键在于根据图形准确识别角的关系，再应用相应的平行线性质。二、综合提升篇例题3：如图，已知AB∥CD∥EF，直线CG交AB于点H，若∠AHC=80°，∠HCF=30°，求∠CHE的度数。解析：这道题稍微复杂一些，涉及到三条平行线AB∥CD∥EF，以及一条截线CG，它与AB交于H，与CD、EF也分别相交（交点分别为C和E，依题意）。已知∠AHC=80°，∠HCF=30°，求∠CHE。我们可以分步来解决这个问题。首先，观察AB∥CD，CG是它们的截线。∠AHC和∠HCD是AB、CD被CG所截形成的内错角（因为AB∥CD，∠AHC在AB上方，CG左侧；∠HCD在CD下方，CG右侧——或者更准确地说，是在两被截线内侧，截线两旁）。根据“两直线平行，内错角相等”，所以∠HCD=∠AHC=80°。接下来，我们看∠HCF=30°。点F在EF上，C在CD上，所以∠HCF是∠HCD的一部分还是互补的关系呢？这需要看图形的具体标注。通常情况下，若CD∥EF，点C在CD上，F在EF上，H在AB上，G是截线的方向。假设点C在H的右侧，那么∠HCD是80°，而∠HCF如果是∠HCD的一个外角或者说在CD的另一侧，这似乎不太对。更合理的是，点C、H、E在同一直线CG上，∠HCF是指∠ECD与∠HCF的关系？或许，我们应该考虑CD∥EF，CG是截线，那么∠HCD与∠CHE是什么关系呢？或者，我们可以将∠HCD分解。如果∠HCF=30°，而点F在EF上，那么∠FCD是多少呢？假设∠HCD=80°，而∠HCF是∠HCD的一部分，即在CD的下方，那么∠FCD=∠HCD-∠HCF=80°-30°=50°？似乎也不太清晰。换个思路，既然AB∥CD∥EF，我们可以直接看AB与EF被CG所截。∠AHC和∠CHE是直线AB、EF被CG所截形成的角。∠AHC在AB上方，CG左侧；∠CHE在EF下方，CG右侧？或者，我们可以利用两次平行线的性质。因为AB∥CD，所以∠AHC=∠HCD=80°（内错角相等）。因为CD∥EF，所以∠HCF与∠CHE是直线CD、EF被CG所截形成的内错角（∠HCF在CD下方，CG右侧；∠CHE在EF下方，CG右侧？不，内错角需要在截线两旁）。啊，对了，∠HCF如果是在CD的上方，EF的下方，这取决于点的位置。最直接的方法：由于CD∥EF，CG为截线，∠HCD与∠CHE是同旁内角吗？或者∠FCH与∠CHE是内错角。若∠HCF=30°，即∠FCH=30°，因为CD∥EF，所以∠FCH与∠CHE是内错角，因此∠CHE=∠FCH=30°？这似乎忽略了前面的∠AHC。哦，我想我可能混淆了角的标识。正确的做法应该是：因为AB∥CD，所以∠AHC=∠DCH=80°（内错角相等，这里的∠DCH就是∠HCD，即直线AB、CD被CG所截，∠AHC与∠DCH是内错角）。现在，∠DCH=80°，它是由∠DCF和∠FCH组成的吗？如果点F在CG上，且在C和E之间，那么∠HCF就是∠HCE，即∠HCF=∠HCE=30°。那么∠DCH（80°）和∠HCE（30°）以及∠DCE是什么关系呢？如果CD∥EF，那么∠DCE与∠CEF是同旁内角？不，我们要求的是∠CHE，点E在EF上，所以∠CHE就是∠CEF吗？或者说，∠CHE是直线EF上，点E处，由CG和EF形成的角。因为CD∥EF，所以∠DCH与∠CHE是同位角（如果它们都在截线CG的同一侧，且在被截线CD、EF的同一方向）。因为∠DCH=80°，所以∠CHE=∠DCH=80°？但题目中还有一个∠HCF=30°的条件没有用到，这说明我的判断有误。啊，我明白了！应该是∠HCF=30°，其中∠HCF是直线CD、EF被CF所截形成的？不，CG是唯一的截线。重新梳理：已知∠AHC=80°（AB与CD的内错角），所以∠HCD=80°。CG是一条直线，所以∠HCD+∠DCE=180°？不是，点H、C、E在同一直线上，所以∠HCD是在CD上方，HC的左侧；那么在CD下方，HC的右侧的角就是∠DCE，它与∠HCD互补吗？如果CD是水平的，HC是一条斜线，那么∠HCD+∠DCH=180°？不，∠HCD本身就是一个角。关键突破点在于，CD∥EF，所以∠HCF与∠CHE是内错角。因为∠HCF是直线CD、EF被CG所截形成的内错角，所以∠HCF=∠CHE。题目中∠HCF=30°，因此∠CHE=30°。为什么之前要算∠HCD呢？因为AB∥CD得到∠HCD=∠AHC=80°，这个信息可能是一个干扰，或者说，如果∠HCF是∠HCD的补角，那么∠HCF=180°-80°=100°，但题目给的是30°，所以那个思路不对。因此，正确的解析应该是：因为CD∥EF，CG为截线，∠HCF与∠CHE是内错角，所以∠CHE=∠HCF=30°。（注：此处因文字描述图形可能产生歧义，实际解题时需结合准确图形。核心在于准确识别角的位置关系，运用平行线性质。此例中，若∠HCF与∠CHE是内错角，则答案为30°，重点在于演示如何根据平行关系和角的位置判断。）二、综合提升篇（修正与补充）为避免歧义，我们更换一道更清晰的综合题：例题3（修正）：如图，AB∥CD，∠ABE=110°，∠DCE=30°，求∠BEC的度数。解析：此题中，AB与CD平行，但∠ABE和∠DCE并非直接由一条截线形成的角，中间隔了一个点E，形成了一个类似“折线”的图形。这种情况下，直接应用平行线性质可能不够，我们通常需要添加辅助线来“桥梁”。辅助线作法：过点E作EF∥AB（或EF∥CD，因为AB∥CD，所以EF也会平行于CD）。因为AB∥CD，且EF∥AB，根据平行公理的推论，平行于同一直线的两条直线互相平行，所以EF∥CD。现在，我们将∠BEC分成了两个角：∠BEF和∠FEC。因为EF∥AB，∠ABE与∠BEF是同旁内角（AB、EF被BE所截）。根据平行线性质：两直线平行，同旁内角互补。所以∠ABE+∠BEF=180°。已知∠ABE=110°，则∠BEF=180°-∠ABE=180°-110°=70°。又因为EF∥CD，∠DCE与∠FEC是内错角（CD、EF被CE所截）。根据平行线性质：两直线平行，内错角相等。所以∠FEC=∠DCE=30°。因此，∠BEC=∠BEF+∠FEC=70°+30°=100°。所以，∠BEC的度数为100°。小结：当所求角是由两条平行线间的折线形成时，过折线的顶点作已知平行线的平行线，是解决此类问题的常用辅助线方法，它能将复杂角分解为我们熟悉的同位角、内错角或同旁内角。三、解题技巧与总结通过以上例题的练习，我们可以总结出运用平行线性质解题的一般步骤与技巧：1.明确已知条件和所求：仔细审题，找出题目中给出的平行关系和角的度数，明确需要求解的未知量。2.准确识别角的类型：在图形中找到由平行线被截线所形成的角，准确判断它们是同位角、内错角还是同旁内角。这是应用性质的前提。可以通过“位置关系”记忆：同位角（“F”型）、内错角（“Z”型或“N”型）、同旁内角（“U”型或“C”型）。3.灵活运用性质定理：*两直线平行⇒同位角相等。*两直线平行⇒内错角相等。*两直线平行⇒同旁内角互补。（注意：前提是“两直线平行”，才有这些结论。反之，是平行线的判定定理。）4.善用辅助线：当直接应用性质困难时