2.因数和倍数（讲义）2025-2026学年五年级数学下册人教版（含答案）

2.因数和倍数（讲义）2025-2026学年五年级数学下册人教版单元思维导图经典案例【案例1】(1)在自然数的范围内，最小的质数是()，最小的合数是()，最小的奇数是()，最小的偶数是()，最小的自然数是()。(2)()的最大因数是29，最小的倍数是()。解析：(1)自然数范围（通常指正整数1,2,3,…）最小质数：2最小合数：4最小奇数：1最小偶数：2最小自然数：1（按通常教材定义，自然数从1开始）(2)一个数的最大因数是它本身，所以这个数是29。最小倍数也是它本身（自然数范围内），所以是29。答案：(1)2,4,1,2,1(2)29,29【案例2】(1)3和5的倍数的最大两位数是()，是2的倍数又含有因数5最小三位数()。(2)一个三位数，既是12和5的倍数，又有因数9，这个三位数最大是()解析：(1)3和5的倍数→即15的倍数。最大两位数：15×6=90（15×7=105是三位数，不行）→90。是2的倍数又含因数5→即10的倍数。最小三位数：100。(2)既是12和5的倍数→即60的倍数（因为12和5互质，所以是60的倍数）。又有因数9→即60和9的公倍数，先求最小公倍数：60=2²×3×5，9=3²，LCM=2²×3²×5=180。三位数中180的倍数最大：180×5=900（180×6=1080不是三位数）→900。答案：(1)90,100(2)900【案例3】一筐苹果不超过250个，三个三个的数，五个五个的数，七个七个的数恰好都数完，这筐苹果最多有()个。解析：苹果数能被3、5、7整除→是3,5,7的公倍数。3,5,7互质，LCM=3×5×7=105。不超过250的最大倍数：105×2=210（105×3=315超了）。答案：210【案例4】(1)数a与数b是互质的，它们的最小公倍数是最大公因数的()倍。(2)自然数1是()A.质数 B、合数 C、奇数 D、互质数(3)7和11都是()A.互质数 B、质数 C、质因数 D、因数解析：(1)a与b互质→最大公因数=1，最小公倍数=a×b。最小公倍数÷最大公因数=ab÷1=ab倍。(2)1不是质数，不是合数，是奇数，互质数是针对两个数而言，不能说1是互质数。选C（奇数）。(3)7和11都是质数，它们也互质，但题目问“都是”，选B（质数）。答案：(1)ab(2)C(3)B【案例5】(1)两个数的最大公因数是12，最小公倍数是180，且知其中一个为60，另一个为()。(2)三个连续的自然数的和是21，这三个数的最小公倍数是()。9、4，12，16的最大公因数是()。(3)a和b都是自然数，且5a=b，那么a与b的最小公倍数是()，最大公因数()。解析：(1)公式：两数乘积=最大公因数×最小公倍数。设另一个数为x，则12×180=60×x→x=(12×180)/60=36。(2)三个连续自然数和是21→中间数=7→三个数为6,7,8。最小公倍数：6,7,86=2×3,8=2³,7=7LCM=2³×3×7=168。9,4,12,16的最大公因数：9=3²,4=2²,12=2²×3,16=2⁴公共部分只有2⁰=1（因为9没有2的因子）→最大公因数=1。(3)5a=b→b是a的5倍。若a和b是自然数，且b=5a，则a和b的最大公因数是a，最小公倍数是b。答案：(1)36(2)168,1(3)b,a【案例6】甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会解析：甲：1分=60秒乙：1分15秒=75秒丙：1分30秒=90秒在起点相会时间=60,75,90的最小公倍数。60=2²×3×5,75=3×5²,90=2×3²×560、75和90最小公倍数：2²×3²×5²=4×9×25=900秒=15分钟。答案：15分钟【案例7】五(1)班买来46本书、32枝笔，奖给各方面表现突出的同学。每个同学得到的奖品同样多，最后余下1本书和2枝笔。问最多有多少个同学得奖每个获奖同学分别获得书和笔各是多少枝？解析：46本书，最后余1本→发出去45本。32枝笔，余2枝→发出去30枝。每个同学得到的书和笔同样多→人数能整除45和30。45和30最大公约数是15。每人得书：45÷15=3本，笔：30÷15=2枝。答案：15人，每人3本书2枝笔三、单元训练（一）填一填。1.在12,0.6,20,6这些数中,()是()的因数,()是()的倍数。2.既是8的倍数，又是64的因数的数有()。3.从2,6,14,25,28中找一个与众不同的数,可以是(),理由是()。4.“学习强国”是党中央推出的全国学习平台，王华“学习强国”的积分达到了1□7□分。这个四位数既是3的倍数，又是5的倍数，王华的积分最多有()分。5.一个运算程序的运算规则如右图所示。如果输入23，那么结果是()；如果输入一个数，结果是66，那么这个数是()。6.花园小学举办体育节活动，每个班级都要进行长方形队列表演，要求队形更多变。你建议五(1)班在36人和40人中选择()人参演，原因是。（二）选一选。1.若甲=a×b×c,则下面说法错误的是()。(a、b、c均是大于1的自然数)A.a、b、c都是甲的因数B.a×b是甲的因数C.甲一定是合数D.甲一定是偶数2.下面说法正确的有()个。①一个自然数，不是奇数就是偶数。 ②9的倍数一定是3的倍数。③一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。 ④两个质数的和一定是偶数。A.1 B.2 C.3 D.43.下面a、b、c、d四个数中,()是3的倍数。A.a=3×100+4×10+1 B.b=2×1000+2×100+3×10+6C.c=5×99+6×9+(5+6) D.d=2×999+4×99+8×9+(2+4+8+7)4.运动会上每个班的学生都要参加入场式和团体操表演。五(1)班入场队列如右图，表演团体操时出现了下面几个队列，()可能是五(1)班的。（三）按要求完成练习。1.把下列各数填入相应的框里。0 1 0.9 13 2633 515271912.五(1)班学习小组开展沉浸版“因数和倍数”探案游戏。(1)在案发现场，“警察”发现以下两件物品，成功破译出密码()，找到线索。()2)问讯“嫌疑人”时，小锦、小明两个“嫌疑人”为了证明自己没有作案的时间，都告知“警察”自己当时正在靶场打靶。小锦说：“我当时打中4枪，得了27分。”小明说：“我当时打中3枪，刚好是连续的3个区域，得了21分。”“警察”一听，立马逮捕了小锦。你知道为什么吗？你知道小明打中的是哪三个区域吗？3.自然与数学的完美结合——斐波那契数列，又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多·斐波那契自然与数学的完美结合——斐波那契数列，又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多·斐波那契(LeonardoFibonacci)以兔子繁殖为例子引入，故又称“兔子数列”，指的是下面这样一个数列。1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,(),(),…先观察上面这组数，在括号里填上合适的数，再完成下面各题。(1)这组数的规律是从第三个数开始，每一个数都。(2)观察这组数的奇偶变化规律，可以发现：。(3)这组数的前100个数中，有()个奇数，( )个偶数。（四）解决问题。1.(易错题)为方便顾客上下车，机场计划用48m长的移动护栏围出一个长方形的网约车临时停车区。已知停车区的长和宽都是整米数，而且数值都是质数。停车区的长和宽可能是多少？面积最大是多少？2.开心果在唐代由波斯(伊朗)传入我国，距今已有1300年历史。妈妈去超市买了1500g开心果，让小明猜猜每斤(500g)开心果的价钱。小明猜不出来，请你帮帮他。3.明明用40根同样的小棒搭图形。搭一个三角形需要三根小棒，搭一个四边形需要四根小棒……他搭了一些四边形和一些六边形后，说自己还剩下13根小棒。他说得对吗？为什么？单元训练参考答案（一）1.612 12 6解析在整数除法中，如果商是整数且没有余数，那么被除数就是除数和商的倍数，除数和商就是被除数的因数。注意：前提是在“整数除法”中。2.8,16,32,643.示例：2只有2是质数解析本题是个开放题，有多种答案，例如：选择2，因为只有2是质数。选择6，因为只有6是3的倍数。选择25，因为只有25是奇数()或5的倍数)。4.1875解析第一步根据5的倍数特征可知，个位上可填0或5。第二步根据3的倍数特征,在1□70和1□75的百位上依次填9，8，7，…，0，找到使各位上的数的和是3的倍数的最大数字，分别为7和8。第三步比较可得18751770。5.53132解析23是一个质数，故结果为23当A2当2A+2=66时,A=32,是合数,符合。6.3636的因数比40的因数多，能变换更多队形(表述合理即可)解析注意：题干中要求队形更多变。36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6,能变换5种队形。40=1×40=2×20=4×10=5×8,只能变换4种队形。（二）1.D解析A、B、C选项都是正确的，分析过程如下。D选项错误，当a、b、c都是奇数时，奇数×奇—数×奇数=奇数。2.C解析①正确，根据能不能被2整除，可将自然数分为奇数和偶数。②正确，9的因数中有3，所以9的倍数一定是3的倍数。③正确，当一个数除以1时，得到的商就是它的最大因数，即它本身；当一个数乘1时，得到的积就是它的最小倍数，即它本身。④错误，除2外，所有质数都是奇数，当2与其他任何一个质数相加时，结果都是奇数。3.D解析本题考查3的倍数特征。根据数的组成,a、b分别为341和2236。3+4+1=8,2+2+3+6=13,8和13都不是3的倍数，所以a，b都不是3的倍数。如图,c不是3的倍数,d是3的倍数。4.D解析题图中，有1名学生单独站一列，其余学生2人站一列，说明五(1)班的总人数是奇数。选项中的学生人数分别为30，36，30，23，其中只有D选项的23是奇数。（三）1.解析本题需要注意的是，奇数、偶数、质数、合数研究的都是自然数，不包括小数。2.(1)2951解析本题考查学生对特殊数的了解。既是偶数又是质数的数是2。既是奇数又是合数的一位数是9。最小的合数是4，比最小的合数大1的数是5。既不是质数也不是合数的非零自然数是1。(2)答：因为小锦打中4枪，4个奇数的和是偶数，而27是奇数，所以能确认小锦在撒谎。小明打中的是5分、7分和9分所在的区域。解析从题图可知，靶上的分数都是奇数。小锦打中4枪，4个奇数的和是偶数，所以不可能得27分。3个连续奇数的和是中间数的3倍，21÷3=7(分)，所以小明打中的是5分、7分和9分所在的区域。3.89144(1)等于它前面两个数的和(2)奇数、奇数、偶数，这样三个一组，依次不断重复出现(3)6733解析(1)这组数的规律是从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，所以括号里的数是34+55=89,55+89=144。(2)观察发现：奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数……这样依次不断重复出现。(3)100÷3=33(组)……1(个)，前100个数能分为33组，每组有2个奇数和1个偶数，最后余下的1个是奇数，所以奇数一共有33×2+1=67(个)，偶数一共有33×1=33(个)。（四）1.48÷2=24(m)24=5+19=7+17=11+1319×5=95(m²)17×7=119()m²)13×11=143(m²)14311995答：停车区的长和宽可能是19m和5m，17m和7m或13m和11m。面积最大是143m²。解析本题将找一个数的因数与长方形的周长结合。第一步48m是长方形网约车临时停车区的周长，所以长+宽=48÷2=24(m)。第二步24=5+19=7+17=11+13，据此得出围成的停车区的长和宽的所有情况。第三步分别进行计算后发现，当停车区的长和宽分别为13m和11m时，停车区的面积最大。2.1500÷500=3，所以总价是3的倍数。1+4=5，总价个位上的数可能是1，4，7。又因为个位上的数是2的倍数，所以个