【初中数学】等腰三角形第2课时课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章三角形的证明及其应用2等腰三角形第2课时

等腰三角形的判定和反证法素养目标1.掌握等腰三角形的判定定理并运用其解决问题．2.理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明．3.通过推理证明等腰三角形的判定方法的过程，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力．重点：1.等腰三角形判定方法的运用．2.反证法的基本步骤．难点：等腰三角形判定方法的运用．导入新课问题1:上节课我们学习了等腰三角形的两个性质定理,它们的内容是什么?等边对等角,三线合一.等腰三角形的两个底角相等.问题2:有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?新知探究任务一:探究等腰三角形的判定定理问题:如果一个三角形有两个角相等,那么它是一个等腰三角形吗?活动:利用量角器和直尺画一个三角形,使得两个角相等(如∠B=∠C=70°),然后测量它们所对的边AB和AC的长度.有两个角相等的三角形是等腰三角形.如何证明这一结论呢?新知探究

新知探究已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C.求证:AB=AC.还有其他证明方法吗?也可作∠BAC的平分线AD,利用AAS证明△ABD≌△ACD.新知探究定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.简述为等角对等边.符号语言:在△ABC中,∵∠B=∠C,∴AB=AC.“等边对等角”与“等角对等边”有什么相同和不同?“等边对等角”是等腰三角形的性质定理,“等角对等边”是等腰三角形的判定定理.例1已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形.证明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA，∴△ABD≌△DCA(SSS).∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等).∴AE=DE(等角对等边).∴△AED是等腰三角形.任务二:例题讲解——判定定理的应用

下列条件能判定△ABC是等腰三角形的是（

B

）A.

∠A＝30°，∠B＝60°B.

∠A＝50°，∠B＝80°C.

∠A＝2∠B＝70°D.

AB＝3，BC＝7，周长为15B跟踪练习解题通法“等角对等边”是证明两条线段相等的常用方法在证明时，往往通过计算三角形各角的度数、利用角的关系或全等三角形得到同一个三角形中的两个角相等，进而得到边相等.新知探究任务三:反证法问题:小明认为,在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等.你认为小明的这个结论成立吗?如果成立,你能证明它吗?即在△ABC中,如果∠B≠∠C,那么AB≠AC.新知探究在△ABC中,如果∠B≠∠C,那么AB≠AC.证明:如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时AB与AC要么相等,要么不相等.假设AB=AC,那么根据定理“等边对等角”可得∠B=∠C,这与已知条件∠B≠∠C相矛盾,因此AB≠AC.像小明那样，在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.注意：用反证法证明时，如果结论的反面不止一种情况，那么必须把各种可能的情况一一加以否定，才能肯定原结论是正确的;新知探究这种证明方法和我们以前的证明方法一样吗?它有什么特点?不一样,这里先假设命题的结论不成立,然后从假设出发,推导出与已知条件相矛盾的结果,说明假设错误,从而证明原命题的结论一定成立.新知探究反证法的概念:在证明时,先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立,这种证明方法称为反证法.例2用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：△ABC.求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角.证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°.于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°.这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立.所以，一个三角形中不能有两个角是直角.注意：用反证法证明时，否定的是命题的结论，而不是条件.解题通法

用反证法证明的一般步骤(1)先假设结论的反面是正确的；(2)然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已有定理、定义或已知条件相矛盾的结果；(3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.在△ABC中，已知AB＝AC.

求证：∠B＜90°.下面是运用反证法证明这个命题的四个步骤：①所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形的内角和为

180°矛盾.②因此假设不成立，所以∠B＜90°.③假设在△ABC中，∠B≥90°.④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是（

D

）A.

④③①②B.

③④②①C.

①②③④D.

③④①②D跟踪练习

CA.3

B.4

C.7

D.无法确定

课堂练习

D

3.新趋势·数学文化

[2024三明期末]牛顿曾说过:“反证法是数学家最精良的武器之一。”用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设(

)AA.一个三角形中有两个角是直角

B.一个三角形中有两个角是钝角C.一个三角形中有两个角是锐角

D.一个三角形中有一个角是直角

C

AA.14

B.16

C.18

D.20

证明：∵AQ＝AR，∴∠R＝∠AQR.

又∵∠BQP＝∠AQR，∴∠R＝∠BQP.

在Rt△QPB和Rt△RPC中，∠B＋∠BQP＝90°，∠C＋∠R＝90°，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形.7.

（教材P21习题T7变式）如图，在△ABC中，P是边BC上的

一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于

点R.

若AQ＝AR，求证：△ABC是等腰三角形.8.

用反证法证明：一个三角形中，至少有一个角不小于60°.证明：假设△ABC中的∠A，∠B，∠C都小于60°，则∠A＋∠B＋∠C＜3×60°，即∠A＋∠B＋∠C＜180°，这与三角形的内角和定理矛盾，因此∠A，∠B，∠C都小于60°不成立，所以一个三角形中至少有一个角不小于60°.

课堂总结1.本节课你经历了怎样的探究过程得到等腰三角形的判定定理?2.反证法的基本思路和步骤是什