用样本估计总体教案

9.2用样本估计总体

9.2.1总体取值规律的估计

学习任务核心素养

1.理解并掌握统计图表的画法及应用.(重点、1.通过对统计图表的学习，培养数学拍象素

易混点)养.

2.结合实例，能用样本估计总体的取值规2.通过应用统计图表估计总体的取值规律，

律.(重点、难点)培养数据分析素养.

我市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理：即确定一个居民

月用水量标准出用水量不超过4的部分按平价收费，超过。的部分按议价收费.

问题：如果标准太低，会影响居民的日常生活；如果标准太高，则不利于节水.

如果政府希望大部分居民的口常生活不受影响，那么标准。定为多少比较合理？需要做

哪些工作？

知识点频率分布直方图

1.画频率分布直方图的步骤

(1)求极差：极差为•组数据中最大值与最小值的差.

(2)决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成5〜12组,为了方便起见，一般

取等长组距，并且组距应力求“取整”.

(3)将数据分组.

(4)列频率分布表：一般分四列：分组、频数累计、频数、频茎.其中频数合计应是样本

容量，频率合计是1.

频率频率

(5)画频率分布直方图：横轴表示分组，纵轴表示就.小长方形的面积=组距乂蠡=

频率.各小长方形的面积总和等于1.

2.其它统计图表

统计图表主要应用

扇形图直观描述各类数据占总数的比例

条形图和百方图直观描述不同类别或分组数据的频数和频率

折线图描述数据随时间的变化趋势

思考k(D为什么要对样本数据进行分组？

(2)频数分布表与频率分布直方图有什么不同？

［提示］(1)不分组很难看出样本中的数字所包含的，言息，分组后，计算出频率，从而估

计总体的分布特征.

（2）频数分布表能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数，而频率分布直方图则是

从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度来表示数据分布的规律.

体验•思考辨析（正确的画“，错误的画“X”）

（1）频率分布直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比

值.（）

（2）频率分布直方图中小矩形的面积表示该组的个体数.（）

（3）扇形统计图表示的是比例，条形统计图不表示比例.（）

［答案K1）J（2）X（3）X

体验k.2.把过期的药品随意丢弃，会造成对土壤和水体的污染，危害人们的健康.如何

处理过期药品，有关机构随机对若干家庭进行调查，调查结果如图，其中对过期药品处理不

正确的家庭达到（）

A.79%B.80%C.18%D.82%

D［79%+1%+2%=82%.］

体验13.如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图中的数据可知，样

本落在［15,20］内的频数为（）

A.20B.30C.40D.50

B[样本数据落在[15,20]内的频数为100X[l-5X(0,Ci4+0.l)]=30.]

体验卜4.某班计划开展一些课外活动，全班有40

名学生报名参加，他们就乒乓球、足球、跳绳、羽毛球4

项活动的参加人数做了统计，绘制了条形统计图（如图所

示），那么参加羽毛球活动的人数的频率是.

4

0.1［参加羽毛球活动的人数是4,则频率是花=0.1.］

□类型1频率分布直方图的画法

【例1】一个农技站为了考察某种大麦穗生长的分布情况，在一块试验田里抽取了100

株麦穗，量得长度如下（单位：cm）：

6.56.46.75.85.95.95.24.05.44.6

5.85.56.06.55.16.55.35.95.55.8

6.25.45.05.06.86.05.05.76.05.5

6.86.06.35.55.06.35.26.07.06.4

6.45.85.95.76.86.66.06.45.77.4

6.05.46.56.06.85.86.36.06.35.6

5.36.45.76.76.25.66.06.76.76.0

5.66.26.15.36.26.86.64.75.75.7

5.85.37.06.06.05.95.46.05.26.0

6.35.76.86.14.55.66.36.05.86.3

根据上面的数据列出频率分布表，绘制出频率分布直方图，并估计在这块试验田里长度

在5.75〜6.35cm之间的麦穗所占的百分比.

［解］(1)计算极差：7.4—4.0=34

(2)决定组距与组数：

34

若取组距为0.3,因为於比11.3,需分为12组，组数合适，所以取组距为0.3,组数为

12.

(3)决定分点：

使分点比数据多一位小数，并且把第I小组的起点稍微减小一点，那么所分的12个小组

可以是3.95〜4.25,4.25〜4.55,4.55〜4.85,・•・，7.25〜7.55.

(4)列频率分布表：

分组频数频率

[3.95,4.25)10.01

[4.25,4.55)10.01

[4.55,4.85)20.02

[4.85,5.15)50.05

[5.15,5.45)II0.11

[5.45,5.75)150.15

[5.75,6.05)280.28

[6.05,635)13().13

[6.35,6.65)110.11

[6.65,6.95)100.10

[6.95,7.25)20.02

[7,25,7.55110.01

合计1001.00

(5)绘制须率分布直方图如图.

从表中看到，样本数据落在5.75〜6.35之间的频率是0.28+0.13=0.41,于是可以估计，

在这块试脸田里长度在5.75〜6.35cm之间的麦穗约占41%.

绘制频率分布直方图应注意的问题

(1)在绘制出频率分布表后，画频率分布直方图的关键就是确定小矩形的高.一般地，频

率分布直方图中两坐标轴二的单位长度是不一致的，合理的定高方法是“以一个恰当的单位

频率

长度“(没有统一规定)，然后以各组的所占的比例来定高.如我们预先设定以“一”

为1个单位长度，代表“0.1”，则若一个组的磊■为02则该小矩形的高就是“一(占

两个单位长度)，如此类推.

(2)数据要合理分组，组距要选取恰当，一般尽量取整，数据为30〜1(X)个左右时，应分

成5〜12组，在频率分布直方图中，各个小长方形的面枳等于各组的频率，小长方形的高与

频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和为1.

［跟进训练］

I.如表所示给出了在某校5(X)名12岁男孩中，用随机抽样得出的120人的身高(单位：

cm).

区间界限[122,126)[126,130)[130.134)[134.138)[138,142)

人数58102233

区间界限[142,146)[146,150)[150.154)[154,158]

人数201165

(1)列出样本频率分布表：

(2)画出频率分布直方图；

(3)估计身高小于134cm的人数占总人数的百分比.

［解］(1)样本频率分布表如下：

分组频数频率

[122J26)50.04

1126,130)80.07

(130,134)100.08

[134,138)220.18

[138,142)330.28

[142.146)200.17

[146J50)110.09

[150,154)60.05

[154,158]50.04

合计1201.00

(2)其频率分布直方图如下.

(3)由样本频率分布表可知，身高小于134cm的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=

0.19,所以我们估计身高小于134cm的人数占总人数的19%.

口类型2频率分布直方图的应用

【例2］(对接教材“97练习「)为了了解高一年级学牛.的体能情况，某校抽取部分学生

进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到

右各小矩形的面积之比为2：4：17：15：9：3.第组的频数为12.

(1)第组的频率是多少？样本容量是多少？

(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高•年级学生的达标率是多少？

［解1(1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的，因此第

4

组的频率为2+4+17+15+9+3=008・

第组的频数

又因为第组的频率=

样本容量’

所以样,本容量第组=的询频何数¥=嬴17=|5。.

17+15+9+3

(2)由频率分布直方图可估计该校高一年级学生的达标率为X100%

2+4+17+15+9+3

=88%.

频率分布直方图具备哪些性质？

频率

［提示］(1)因为小矩形的面积=组距义高7=频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的

频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数挽落在各个小组内的频率大小.

(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.

频数

⑶样本容量=际正

［跟进训练］

2.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布

直方图，其中自习时间的范围是［17.5,30］,样本数据分组为［17.5,20),［20,22.5),［22.5,25),

［25,27.5),［27.5,30］.根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数

是()

A.56B.60C.120D.140

D［由频率分布直方用可知每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16+0.08+

0.()4)X2.5=0.7,故每周自习时间不少于22.5小时的人数为0.7X200=140.故选D.］

口类型3其它统计图表与频率分布直方图的综合应用

［例3］如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：°C)的情况绘制的折

线统计图，试根据折线统计图反映的信息，绘制该市3月1口到10口最低气温(单位：。C)的

扇形统计图.

1.统计图表对于数据分析能够起到什么作用？

［提示］(1)从数据中获取有用的信息；

(2)直观、准确地理解相关的结果.

2.条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图这四种统计图中，哪些可以从图中看出原

始数据？

［提示］折线图.

［解］该城市3月1日至10日的最低气温（单位：℃）情况如下表:

日期12345678910

最低气温［°C）-3-20-1120-122

其中最低气温为一3℃的有1天，占10%,最低气温为一2c的有

1天，占10%,最低气温为一1℃的有2大，占20%,最低气温为0℃的

有2天.占20%,最低气温为1℃的有1天,占1（）%,最低气温为2c

的有3天，占30%,扇形统计图如图所示.

若本例中条件不变，绘制该市3月1日到3月10日最低气温（单

位：。C）的条形统计图.

［解］该城市3月I日到3月10日的最低气温（单位：°C）情况如下表:

日期12345678910

最低气温［℃）-3-20-1120-122

其中最低气温为一3c的有I天，就低气温为一2c的有1天，最低气温为一1C的有2

天，最低气温为0℃的有2天，最低气温为1°C的有1天，最低气温为2c的有3天.条形

统计图如图所示.

折线统计图的读图方法

（1）读折线统计图时，首先要看清楚直角坐标系中横、纵坐标表示的意义；其次要明确图

中的数量及其单位.

（2）在折线统计图中，从折线的上升、下降可分析统计数量的增减变化情况，从陡峭程度

上，可分析数据间相对增长、下降的幅度.

［跟进训练］

3.每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天£絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易

引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰.为了解于民对治理杨絮方法的赞同情况，某

课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如下表所示），并根据调查结果绘制了尚不完整的统

计图（如图所示）.

（治理杨絮——您选哪一项？（单选）

&减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量

b.调整树种结构，逐渐更换现有杨树

c.选育无絮杨品种，井推广种植

d.对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮

e.其他

由两个统计图可知，选择d的人数和扇形统计图中c的圆心角度数分别为（~~）

A.500,28.8°B.250,28.6°

C.500,28.6°D.250,28.8°

A［设接受调查市民的总人数为x,

由调查结果条形统计图可知选择a的人数为300,通过调查结果的扇形统计图可知选择a

的人数比例为15%,

，15%=潜，解得x=2000.J选择d的人数为2000X25%=500,，扇形统计图中e

的圆心角度数为（1-15%—12%—40%—25%）X3600=28.8°.］

I.为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为〃的样本，其频率分布

直方图如图所示，其中支出（单位：元）在［50,60］内的学生有30人，则〃的值为（）

A.100B.1000C.90D.900

A［由题意可知，前三组的频率之和为（0.（）1+0.（）24+0.036）X10=

30

，支出在［50.60］内的频率为1-0.7=0.3,・・・〃=念=100.］

2.某公司2019年在各个项目中总投资500万元，如图是几类项

目的投资占比情况，已知在1万元以上的项目投资中，少于3万元的

项目投资占点，那么不少于3万元的项目投资共有（）

A.56万元B.65万元

C.91万元D.147万元

Q

B［由题意知，因为在1万元以上的项目投资中，少于3万元的项目投资占五，

13

所以在1万元以上的项目投资中.不少于3万元的项目投资占比为云.

而1万元以上的项目段资占总投资的比例为1一46%—33%=21%,

所以不少于3万元的项目投资共有500X21%X畀=65（万元）.故选B.］

3.随着2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰

雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行'也市场增长.如图是2012年至