2026年高考数学复习讲练测大题03 立体几何（解答题答题模板）有关的10类核心题型（原卷版）

大题03立体几何（解答题答题模板）有关的10类核心题型目录第一部分命题解码洞察命题意图，明确攻坚方向第二部分方法建模构建方法体系，提供通用工具【结论背记清单】方法一空间中平行关系的证明方法二空间中垂直关系的证明方法三空间向量法求空间角与空间距离方法四纯几何法求空间角与空间距离方法五立体几何中的翻折与轨迹问题方法六立体几何中的范围与最值问题方法七立体几何中的动点与存在性问题第三部分题型专攻实施靶向训练，提升应试效率。【题型01】空间中平行关系的证明【题型02】空间中垂直关系的证明【题型03】空间向量法求空间角与空间距离【题型04】纯几何法求空间角与空间距离【题型05】立体几何中的翻折与轨迹问题【题型06】立体几何中的范围与最值问题【题型07】立体几何中的动点与存在性问题【题型08】立体几何中的劣构性问题【题型09】立体几何中的杂糅问题【题型10】立体几何中的创新情景与新定义问题第四部分答题实战检验学习成效，锤炼应用能力模块说明：洞察命题意图，明确攻坚方向模块说明：洞察命题意图，明确攻坚方向1.考向聚焦：精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值。

2.思维瓶颈：精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板。1.考向聚焦1.考向聚焦（精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值）立体几何解答题是高考数学中考查空间想象能力、逻辑推理能力与代数运算能力的关键题型。其考查重心已从单一的位置关系证明或空间量计算，转向对几何直观、推理论证、代数工具（向量法与坐标法）及模型转化能力的综合检验。试题设计强调在复杂图形中识别基本结构，将空间问题转化为平面或代数问题求解，并能处理动点、最值、存在性等探索性问题。核心题型归类：核心主干题：空间线面关系（平行、垂直）证明；空间角（异面角、线面角、二面角）与距离计算。交汇综合题：与函数最值结合（建立几何量函数求最值）；与解析几何结合（坐标轨迹）；实际应用建模。探索创新题：截面作图与计算；动点轨迹与最值；存在性与探究性问题；结构不良问题。2.思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板）逻辑链不严谨：证明过程跳步、定理使用不当。转化与运算障碍：建系不当、法向量计算错误；忽视图形性质致计算繁琐。动态问题策略缺失：面对动点、存在性问题时无法合理建模（设变量、建方程）。复杂图形识别困难：难以从组合体中剥离基础几何结构。应用背景建模弱：无法将实际问题转化为几何模型。模块说明：模块说明：构建思维框架，提炼通用解法1.模模块化知识体系：熟记立体几何（解答题答题模板）的相关知识内容，形成清晰的解题思维基础逻辑，便于快速定位解题切入点。2.通用解法模板化：针对高频题型，总结“审题-建模-推导-验证”法，规范解题流程，减少思维漏洞，提升答题效率。3.易错点专项突破：整理常见误区，设计针对性训练题，通过对比正确与错误解法，强化对知识边界的理解，避免重复犯错。结论背记一、基础公式/基础结论1.空间中的平行关系线线平行①三角形、四边形的中位线与第三边平行，②平行四边形的性质（对边平行且相等）③内错角、同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行线面平行的判定定理：平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行图形语言符号语言线面平行的性质定理若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行图形语言符号语言面面平行的判定定理判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行图形语言符号语言判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行图形语言符号语言面面平行的性质定理性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行2.空间中的垂直关系线线垂直①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直②勾股定理的逆定理证线线垂直③菱形、正方形的对角线互相垂直线面垂直的判定定理判定定理：一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直图形语言符号语言线面垂直的性质定理性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线图形语言符号语言性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行图形语言符号语言面面垂直的判定定理判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）图形语言符号语言面面垂直的性质定理性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面图形语言符号语言3.直线与平面所成角的向量求法设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).4.直线与平面所成角的几何求法（1）由定义作出线面角的平面角，再求解：

（2）在斜线上异于斜足取一点，求出该点到斜足的距离（设为l）和到平面的距离（设为d),则5.二面角的向量求法(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉．如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．6.二面角的几何求法（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。（4）射影面积法：凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cosθ=S7．空间距离空间两点间的距离公式若，，则=.点到平面的距离（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.点面距可转化为三棱锥等体积求解技法归纳方法一空间中平行关系的证明平行关系的证明是立体几何的基础，主要依据公理、判定定理及性质定理，通过线线、线面、面面平行的相互转化进行推理。第一步：分析图形与目标明确已知条件（如中点、比例、已知平行等），确定待证结论（线线平行、线面平行或面面平行）。第二步：选择证明路径线线平行：可通过线面平行性质、面面平行性质或平面几何知识（如中位线、平行四边形）证得。

线面平行：需在面内找（或作）一条直线与已知直线平行，或利用面面平行性质。

面面平行：需在一个面内找两条相交直线分别平行于另一个面。第三步：应用定理推理依据所选路径，严格应用相关判定与性质定理，书写关键推理步骤。

关键定理：线面平行判定定理（若线线平行，则线面平行）；面面平行判定定理（若线面平行，则面面平行）；线面平行性质定理（若线面平行，且过该线的面与已知面交于某线，则该交线平行于原线）。第四步：规范书写结论完整写出“因为…，所以…”的推理链条，最终得到平行结论。关键技巧1.优先考虑中位线、平行四边形、相似三角形等平面几何工具证线线平行。

2.作辅助线时常在已知平面内作已知直线的平行线，或作交线。例题1（2025·江西景德镇·二模）如图所示，在四棱锥中，，，，，，点在棱上，且．(1)证明：平面；(2)若，求与平面所成角的正弦值．例题2（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点.(1)证明：平面；(2)证明：平面；(3)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.方法二空间中垂直关系的证明垂直关系的证明与平行类似，同样基于判定与性质定理，核心在于线线、线面、面面垂直之间的相互转化，尤其强调“线线垂直”是源头。第一步：分析垂直目标明确待证结论是线线垂直、线面垂直还是面面垂直。第二步：寻找或证明线线垂直所有垂直证明最终都需转化为证明两条直线垂直。

常用方法：

1.

平面几何法：等腰三角形三线合一、勾股定理逆定理、菱形对角线等。

2.

线面垂直性质：若一直线垂直于一平面，则它垂直于该平面内所有直线。

3.

三垂线定理及其逆定理。第三步：应用判定定理转化证线面垂直：需证该直线垂直于平面内两条相交直线。

证面面垂直：需证一个平面内有一条直线垂直于另一个平面。第四步：循环论证至结论利用转化关系，最终证得目标垂直关系，并规范书写。关键技巧1.善用等腰（边）三角形三线合一找垂直关系。

2.

计算法：用勾股定理逆定理证明线线垂直。

3.

面面垂直的性质：若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面。例题3（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在直三棱柱中，平面，.(1)证明：；(2)若直线与平面所成角为，求.例题4（2025·湖北武汉·三模）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，(1)证明：平面；(2)求的长；(3)求平面与平面夹角的余弦值．方法三空间向量法求空间角与空间距离空间向量法通过建立空间直角坐标系，将几何问题代数化，是解决空间角与距离问题的通用且程序化的方法。第一步：合理建系依据图形中是否存在两两垂直的三条直线（或可构造），建立空间直角坐标系。原则：尽可能让更多点落在坐标轴或坐标平面上，以简化坐标。第二步：求点坐标写出或求出相关点的坐标。常用技巧：利用中点公式、向量共线、平面向量基本定理等。第三步：求向量坐标写出相关直线的方向向量或平面的法向量坐标。法向量可通过设n=(x,y,z)，利用n⋅v=0

解方程组求得。第四步：代公式计算参考文章前面总结的公式第五步：结合定义给结论根据计算结果，写出所求角或距离的大小。例题5（2025·广东汕尾·一模）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点.(1)若，求点到平面的距离；(2)求平面与平面夹角的正弦值.例题6．（2025·江苏·模拟预测）在三棱锥中，，，．(1)若平面平面，①证明：．②三棱锥的各个顶点都在球的表面上，求直线与平面所成角的正弦值．(2)若二面角的正切值为，求的长．方法四纯几何法求空间角与空间距离纯几何法不建立坐标系，通过作辅助线、找射影、构造三角形等手段，将空间角或距离转化为平面几何问题求解，对空间想象能力要求较高。第一步：分析图形关系观察几何体中各元素的位置关系，初步判断角或距离的可能位置。第二步：作辅助线找空间角：

线线角：平移至共顶点。

线面角：过斜足作平面的垂线，连垂足与斜足得射影，线与其射影夹角即为所求。

二面角：在两个半平面内分别作棱的垂线，两垂线夹角即为平面角。

找空间距离：

点面距：直接作垂线段；或通过等体积法转化。第三步：确定平面角或距离将所作的辅助线、垂足等关键点连接，在某个平面三角形中锁定目标角或线段。第四步：解三角形求值在所确定的三角形中，利用正弦定理、余弦定理、勾股定理等求解。第五步：给出最终答案写出角的大小或距离的长度。关键技巧1.

三垂线定理是作线面角射影和构造二面角平面角的利器。

2.

垂面法找二面角的平面角：过棱上一点作垂直于棱的平面，该平面与两个半平面的交线所成角即为平面角。

3.

等体积法求点面距：，变换底面求高

h。例题7如图，在四棱锥中，平面.(1)求证：平面平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.例题8如图，三棱柱的所有棱长均为2，为等边三角形.

(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离；(3)求二面角的正弦值.方法五立体几何中的翻折与轨迹问题翻折问题的核心是抓住折叠过程中的“不变关系”（如长度、角度、平行垂直关系）；轨迹问题的核心是分析动点满足的几何条件，确定其形状。第一步：翻折问题-找不变性分析折叠前后哪些线段长度、角度关系保持不变，哪些位置关系（如垂直、平行）不变。第二步：翻折问题-还原或对比可将图形展开还原到折叠前的状态，或将折叠前后的图形对比分析，便于发现关系和计算。第三步：轨迹问题-分析约束明确动点的运动范围（线上、面上、体内）及其必须满足的几何条件（如距离为定值、角度为定值）。第四步：轨迹问题-确定轨迹将条件转化为轨迹定义：

到定点距定：球面或圆。

到两定点距和/差定：椭圆或双曲线。

到定直线距定：圆柱面。

视角定：圆弧。第五步：计算与验证根据翻折后的关系计算所求量，或计算轨迹的长度、范围等。关键技巧1.翻折中，垂直于折痕的线段折叠后仍垂直是关键性质。

2.轨迹在几何体表面时，常需表面展开，化空间为平面处理。

3.熟悉常见轨迹模型，如“定长线段在空间中一端点固定，另一端点在平面上滑动，其中点轨迹为圆”。例题9（2025·海南·模拟预测）如图（1），正方形的边长为，是的中点，点在边上且.将沿折起到图（2）中的位置，使得平面平面.

(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)如图（2），点在线段上，过点、的平面截四棱锥所得的截面是一个直角三角形，在图中画出这个直角三角形.（请在答题卡指定位置作图，不必说明画法和理由）例题10（2025·广东江门·模拟预测）如图，在长方体中，，是的中点，是的中点，是底面的中心．(1)证明：平面．(2)若是侧面上的一个动点，且点到平面的距离为，证明点的轨迹为一条线段，并求该线段的长度.方法六立体几何中的范围与最值问题此类问题通常涉及动态变化的几何量（如距离、角、面积、体积），需通过建立函数模型或利用几何性质（如公垂线段最短）来确定其取值范围或最值。第一步：识别变量与目标明确问题中变化的元素是什么（动点位置、角度大小等），以及要求的是哪个量的最值或范围。第二步：选择方法-几何法利用几何图形的固有性质直接判断。

距离最值：点到直线垂线段最短；点到平面垂线段最短；异面直线距离公垂线段最短。

表面距离：将立体表面展开，转化为平面上两点间直线距离。第三步：选择方法-代数法当几何法不易处理时，建立函数关系。

1.

设参数：用变量（如角度θ、长度t）表示动点位置。

2.

建函数：将目标量表示为该变量的函数

f(θ)f(θ)。

3.

求最值：利用函数单调性、基本不等式、导数等工具求最值。第四步：考虑边界与存在性检查变量取值范围（定义域），最值点是否在图形允许的范围内。第五步：整合结论写出最值或取值范围，并说明取得最值的条件。关键技巧1.

展开图法求表面路径最值是高频技巧。

2.建立函数时，优先选择便于求导或应用不等式的变量形式。

3.关注对称性，最值常出现在对称位置。例题11（2025·浙江绍兴·二模）在四面体中，，(1)证明：．(2)求四面体体积的最大值．例题12（2025·山东菏泽·二模）如图，圆台的下底面圆的半径为，为圆的内接正方形．为上底面圆上两点，为的中点，且平面平面，．(1)求证：；(2)若，求与平面所成角正弦值的最大值．方法七立体几何中的动点与存在性问题动点问题关注点在变化时对几何量的影响；存在性问题探讨满足特定条件的几何对象（点、线、面）是否存在，常采用“假设-推理-验证”或“构造法”解决。第一步：假设存在先假设满足题目条件的点、线或面是存在的。第二步：代数化/坐标化引入参数（如设点坐标含参数

t），或将几何条件（如垂直、共面）转化为方程（组）。第三步：构造方程（组）利用距离公式、向量垂直（数量积为零）、共线向量定理等，建立关于参数的方程。第四步：求解并验证解方程，得到参数值。检验该值是否在几何约束范围内（如点在线段上则参数需在[0,1]区间）。第五步：给出结论若方程有解且在范围内，则存在，并指出具体位置；若无解或解不合范围，则不存在。关键技巧1.

向量法是处理此类问题的强大工具，尤其是证明垂直或共面时。

2.可尝试从特殊位置（如中点、端点）入手，先猜后证。

3.对于存在性，有时直接构造出符合条件的图形比纯代数证明更简洁。例题13（25-26高三上·黑龙江大庆·期中）如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点.(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值；(3)在线段上是否存在除端点外的一点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.例题14（2025·广东佛山·三模）如图，在直三棱柱中，，．侧棱．分别为上的动点，当运动到的中点时，异面直线与所成角的余弦值为．(1)证明：是正三棱柱；(2)若运动时，总满足．当面积最小时，求二面角的大小．模块说明：模块说明：聚焦前沿题型，靶向提升解题能力1.精选各省市最新模拟题，确保训练内容紧密贴合当前考查方向与命题动态，帮助学生把握前沿考点。2.按题型进行系统分类与专项训练，使学生能够集中突破特定题型，深度掌握其核心解题思路与技巧。题型01空间中平行关系的证明（共3题）1．（2025·广西·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，，为线段的中点.(1)证明：直线平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.2．（2025·天津·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点P到平面的距离．3．（2025·山东菏泽·一模）如图，在三棱柱中，分别为的中点.(1)证明：平面；(2)若侧面底面，底面是等边三角形，侧面是菱形，且，求直线与侧面所成角的正弦值.题型02空间中垂直关系的证明（共4题）4．（2025·江苏苏州·三模）如图，正四棱锥，，，为侧棱上的点，且．(1)求证：；(2)求异面直线与所成角的余弦值．5．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，矩形中，，，E为BC的中点，将沿翻折至，平面平面．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．6．（2025·江西新余·模拟预测）在棱柱中，，，，，E，G分别为线段，的中点，F为直线与直线的交点．

(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．7．（2025·河南·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，是边长为2的正三角形，且.(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.题型03空间向量法求空间角与空间距离（共4题）8．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，四棱锥中，，，侧面为等边三角形，，．(1)证明：平面；(2)求与平面所成角的正弦值．9．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，四棱锥的底面是正方形，且，，点在底面上的射影在正方形内，且与平面ABCD所成角的正切值为．(1)若、分别是、的中点，求证：点在平面内的射影在线段上，并求出的值；(2)点在棱上，满足二面角的余弦值为，求的长．10．（2025·广东·模拟预测）已知直三棱柱如图所示，点在线段上，且.(1)证明：；(2)若，，平面与平面的夹角为，点是线段上靠近的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值.11．（2025·云南昭通·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，是的中点，是的中点，点在棱上，且．(1)求证：平面；(2)若是边长为的等边三角形，且三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．题型04纯几何法求空间角与空间距离（共3题）12．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，已知四棱锥中，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，，O为AD中点，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为．

(1)证明平面PBO；(2)求点P到平面ABCD的距离；(3)求二面角的余弦值．13．（24-25高一下·北京顺义·期末）如图在四棱柱中，四边形ABCD为梯形，，，E为中点.(1)求证：平面；(2)若平面，，且，（ⅰ）求证：；（ⅱ）写出二面角的正切值.（结论不要求证明）14．（24-25高一下·山西·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，，，点E是棱PB的中点，点M是棱BC上的一点.

(1)求证：；(2)若，求二面角的余弦值；(3)若直线EM与平面所成角的正弦值为，求线段BM的长.题型05立体几何中的翻折与轨迹问题（共6题）15．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，已知，平面平面，，，，点为梯形内（包括边界）一个动点，且平面．(1)求点的轨迹长度；(2)当线段最短时，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．16．（2025·广东佛山·一模）如图，四边形中，，，为中点，点在上，，.将四边形沿翻折至四边形.

(1)证明：平面平面；(2)若，求点到平面的距离.17．（2025·广西桂林·一模）如图，梯形中，为上一点，，且，将沿着翻折至所在位置，使得平面平面，连接，得到四棱锥为的中点.

(1)若为的中点，证明：平面；(2)在线段上是否存在点，使得，若存在，求直线与平面所成角的正弦值，若不存在，请说明理由.18．（2025·江西·二模）如图，在平面四边形中，为线段上一点，满足，将沿向上翻折至，连接.(1)若，证明：平面平面；(2)若，求平面与平面所成角的余弦值.19．（2025·安徽黄山·二模）如图1，在平行四边形中，，，为的中点，为的中点，，沿将翻折到的位置，使，如图2．(1)证明：平面；(2)求平面和平面所成角的余弦值．20．（2025·山东·模拟预测）如图1，在菱形中，，点分别是边的中点，，.沿直线将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥.(1)证明：在翻折过程中，总有.(2)若平面平面，线段上是否存在一点（可与点重合），使得点到平面的距离是菱形边长的？若存在，试确定点的位置，并求此时平面与平面所成锐二面角的余弦值；若不存在，请说明理由.题型06立体几何中的范围与最值问题（共7题）21．（2025·广东揭阳·二模）如图，，，都是等边三角形，点D，E分别在平面的上方和下方，点为中点.(1)求证：A，D，O，E四点共面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.22．（24-25高三下·山西·月考）如图，在直四棱柱中，，，，，．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值：(3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值.23．（2025·四川成都·一模）如图，在菱形中，将三角形沿翻折至三角形，连接，构成四棱锥.(1)证明：平面；(2)证明：平面平面；(3)若，，四棱锥的体积不大于，求平面与平面夹角的余弦值的最大值.24．（2025·四川成都·模拟预测）如图①所示，矩形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，得到图②的四棱锥为中点．(1)求证：平面；(2)若平面平面，求直线与平面所成角的大小；(3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．25．（2025·湖南·二模）如图所示，在直角梯形中，分别是上的点，且，将四边形沿向上折起，连接，在折起的过程中，记二面角的平面角为.(1)请将几何体的体积表达为关于的函数，并求其最大值；(2)当时，求平面和平面夹角的余弦值的取值范围.26．（2025·湖南·三模）如图，在长方体中，，，，点是棱的中点，点，分别是线段，的中点.(1)求证：平面平面；(2)平面与平面的交线记为直线，点为直线上一动点，求直线与平面所成角的范围.27．（2025·湖南郴州·三模）如图所示，在圆柱中，矩形为圆柱的轴截面，圆柱过点的母线为，点，为圆上异于点，且在线段AB同侧的两点，且，点为线段的中点，.(1)求证：平面；(2)若平面与平面所成夹角的余弦值为，求的大小；(3)若，平面经过点，且直线与平面所成的角为，过点作平面的垂线（垂足为），求直线AQ与直线所成角的范围.题型07立体几何中的动点与存在性问题（共7题）28．（2025·安徽合肥·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，．(1)求点到平面的距离；(2)在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．29．（2025·云南·模拟预测）如图，圆锥的底面半径和高都为2，线段是圆锥底面圆的直径，点是线段的中点，是底面上圆的动点，过作于点，点在圆锥底面形成的曲线为.

(1)判断曲线是何种曲线，并求的离心率；(2)在曲线上是否存在异于两点的点，使得平面平面？若存在，求出直线与平面所成角，若不存在，请说明理由.30．（2025·湖北武汉·一模）已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，，.(1)求三棱锥外接球的表面积.(2)设为线段上的点.（i）若，求直线与平面所成角的正弦值.（ii）平面过点，，且平面，探究：是否存在点，使得平面与平面之间所成角的正切值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.31．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，动点在棱上移动，连接．(1)证明：平面平面；(2)若点为棱的中点，平面，平面．（i）与所成的最小角为，求；（ii）设平面平面，，与所成角的最小值为，当最小时，求的值．32．（2025·广西·模拟预测）如图，直四棱柱的下底面为菱形，，是上底面内两个不同的动点．

(1)若为正方体，为上底面的中心，求异面直线与所成角的余弦值；(2)若恰好是二面角的平面角．证明：在动点运动过程中，三棱锥的体积保持不变．33．（2025·四川成都·一模）如图所示，在直三棱柱中，，，点是线段上的动点（不与点重合）.(1)求证：(2)若平面与平面所成角的正弦值不小于，求线段的取值范围.(3)设点到面的距离为，四面体的外接球半径为，求的取值范围.34．（2025·四川雅安·二模）如图，已知四面体中，，，，平面平面.

(1)求证：；(2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；(3)在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为.试比较，，的大小.题型08立体几何中的劣构性问题（共3题）35．（2025高三·全国·专题练习）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，平面为直角梯形，，，，M为的中点．(1)证明：平面；(2)从条件①；②中任选一个作为已知，求二面角的余弦值．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．36．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，．再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答．(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成夹角的余弦值．条件①：；条件②：；条件③：平面平面37．（25-26高三上·北京海淀·月考）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，E，F分别为的中点.(1)求证：平面；(2)若，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的大小.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.题型09立体几何中的杂糅问题（共4题）38．（2025·江苏南通·二模）在正三棱台中，，，分别是，的中点．

(1)求证：四边形是矩形；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值；(3)若一只电子猫从点出发，每次等可能地沿着棱去向相邻的另一个顶点，设在次运动后电子猫仍停留在下底面的概率为，求.39．（2025·青海西宁·二模）如图1，已知抛物线，O为坐标原点，点A，B是E上异于点O的两点（其中点A在第一象限），直线AB交x轴于点C，且，将平面AOC沿着x轴翻折得到三棱锥，如图2所示，且．(1)求点C的坐标；(2)求证：平面平面；(3)若，求直线与平面所成角的正弦值．40．（2025·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，分别以轴和轴为实轴和虚轴建立复平面，已知复数，在复平面内满足为定值的点的轨迹为曲线．且点在曲线上．(1)求曲线的平面直角坐标系方程；(2)若斜率为的直线与曲线交于、两点（直线斜率为正），直线、（若、重合，直线即为椭圆在点处的切线）分别与轴交于、两点，为中点．（i）证明：为定值；（ii）最大时，将坐标平面沿轴折成二面角，在二面角大小变化过程中，求三棱锥外接球的半径最小时，三棱锥的表面积．41．（2025·辽宁·模拟预测）如图①，圆柱的底面直径和母线的长均为2，过，两点与底面所成角为的平面与圆柱的交线为曲线，若沿母线将其侧面剪开并展平，以母线的中点为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图②所示，曲线在平面直角坐标系中为函数图象的一部分.(1)在图①中，为弧的中点，直线与该圆柱体的内切球（与上、下底面和侧面均相切的球）的球面交于，两点，求线段的长；(2)求的解析式；(3)已知，当时，，求的取值范围.题型10立体几何中的创新情景与新定义问题（共4题）42．（2025·广东·模拟预测）如图，在三棱台中，，，，点在底面的投影是的重心．(1)证明：平面平面；(2)已知空间直角坐标系中的方程：，它表示球心为，半径为的球面．，是棱上两点，，是三棱台表面上一点，且．求满足条件的点轨迹的长度．43．（2024高三·全国·专题练习）空间中，我们将至少两条坐标轴不垂直的坐标系称为“空间斜坐标系”．类比空间直角坐标系，分别为“空间斜坐标系”中三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．如图，在平行六面体中，，，，．以为基底建立“空间斜坐标系”．(1)若点在平面内，且平面，求的斜坐标；(2)若的斜坐标为，求平面与平面的夹角的余弦值．44．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图1，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角C-OA-B，A-OB-C，B-OC-A分别为，，，则球面三角形ABC的面积为.

(1)若平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积；(2)将图1中四面体OABC截出得到图2，若平面三角形ABC为直角三角形，，延长AO与球O交于点D，连接BD，CD.（ⅰ）证明：；（ⅱ）若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，，且，，S为AC的中点，T为BC的中点，设平面OBC与平面EST的夹角为，求的最小值.45．（24-25高三上·河南南阳·期末）空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中），且为该平面的法向量.(1)若平面，，且，求实数的值；(2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积；(3)记集合中所有点构成的几何体为.①求的体积的值；②求的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小.模块说明：模块说明：答题强化训练，实现能力跃迁。模块题量适中，全部选用最新高质量模拟题，侧重对方法模型的直接应用与巩固。题量15题1．（2025·山西·模拟预测）如图所示，在边长为2的正方体中，分别是棱上的点（异于端点），且．(1)证明：与相交且交点在直线上．(2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值．2．（2025·河北·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，，，，．(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．3．（2025·四川乐山·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，且，，．(1)证明：；(2)若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值．4．（2025·江苏南京·二模）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面.(1)证明：