大学电动力学课程作业题库与解答

大学电动力学课程作业题库与解答电动力学作为经典物理学的重要分支，旨在研究电磁场的基本规律及其与物质的相互作用。对于初学者而言，掌握其核心概念与数学工具并非易事，而通过系统的作业练习，则是深化理解、提升应用能力的关键环节。本文旨在构建一个具有实用价值的大学电动力学课程作业题库框架，并辅以解答思路与要点提示，期望能为同学们的学习提供有益的参考。一、静电场与静磁场基础（一）静电场核心知识点：库仑定律、电场强度、高斯定理、电势、静电场的环路定理、导体的静电平衡、电介质极化、电场能量。典型习题类型：1.电场强度与电势的计算：*基于库仑定律或电场叠加原理，计算具有特定电荷分布（如点电荷系、连续带电体）的电场强度分布。*利用电势的定义（线积分）或电势叠加原理计算电势分布，并能通过电势梯度求电场强度。*示例：试计算均匀带电球体（半径R，电荷体密度ρ）内外的电场强度和电势分布，并画出E-r和V-r曲线。*解答要点：对于球对称问题，优先考虑应用高斯定理求电场强度。明确高斯面的选取，区分球内（r<R）和球外（r>R）区域，分别计算电通量和包围电荷。电场强度求出后，电势可通过电场强度的线积分（通常选取无穷远为电势零点）得到，同样需分区域积分。注意积分路径的选取及电势在球面上的连续性。2.高斯定理与环路定理的应用：*利用高斯定理求解具有高度对称性（球对称、柱对称、面对称）的电荷分布产生的电场。*利用静电场的环路定理证明静电场的保守性，或分析特定情况下的电势关系。*示例：证明真空中静电场中，通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的电荷代数和除以ε₀（高斯定理的证明）。*解答要点：从库仑定律出发，证明点电荷的电场满足高斯定理，再利用电场叠加原理推广到任意电荷分布的电场。需清晰阐述立体角的概念及点电荷电场的球对称性在证明中的作用。3.导体与电介质：*分析导体在静电平衡时的电荷分布、电场分布及电势特征。*理解电介质的极化机制，计算极化电荷，掌握有电介质存在时的高斯定理（D的高斯定理）及其应用。*示例：一半径为R的金属球，带电量为Q，置于相对介电常数为εᵣ的无限大均匀电介质中。求球内外的电场强度E、电位移矢量D和极化强度P的分布，并求电介质表面的极化电荷面密度。*解答要点：金属球在静电平衡时电荷均匀分布于表面。由于球对称性，可应用D的高斯定理先求D，再由D与E的关系（D=ε₀εᵣE或D=ε₀E+P）求E和P。极化电荷面密度由P的法向分量给出。（二）稳恒磁场核心知识点：毕奥-萨伐尔定律、安培环路定理、磁场对电流和运动电荷的作用、磁介质磁化。典型习题类型：1.磁感应强度的计算：*应用毕奥-萨伐尔定律计算简单载流导线（如直导线、圆电流、螺线管等）产生的磁感应强度。*应用安培环路定理计算具有高度对称性（轴对称等）的电流分布产生的磁感应强度。*示例：一无限长载流直导线，通有电流I。试利用毕奥-萨伐尔定律计算空间任一点的磁感应强度。*解答要点：建立合适的坐标系，写出电流元Idl的表达式及其到场点的位矢r，代入毕奥-萨伐尔定律公式，注意矢量叉乘的方向和大小，正确进行积分运算。利用对称性简化计算。2.安培环路定理的应用：*利用安培环路定理求解具有轴对称性的电流分布（如无限长载流圆柱、螺线管、螺绕环等）的磁场。*示例：一无限长密绕螺线管，单位长度匝数为n，通有电流I。忽略边缘效应，求管内磁感应强度B的大小。*解答要点：根据螺线管的对称性（无限长、密绕），可知管内磁场均匀且方向平行于轴线，管外磁场为零。选取合适的矩形安培环路，应用安培环路定理求解。3.磁场对电流和运动电荷的作用：*计算洛伦兹力、安培力及载流线圈在磁场中受到的磁力矩。*示例：一矩形载流线圈，边长分别为a和b，电流为I，置于磁感应强度为B的均匀磁场中，线圈平面法线方向与B的夹角为θ。求线圈所受的磁力矩大小和方向。*解答要点：可先计算线圈各边所受的安培力，再求力对轴的力矩；或直接应用磁力矩公式M=m×B，其中磁矩m=ISn̂，S为线圈面积，n̂为法线方向单位矢量。明确θ角的定义。二、电磁感应与电磁波（一）电磁感应核心知识点：法拉第电磁感应定律、楞次定律、动生电动势与感生电动势、自感与互感、磁场能量。典型习题类型：1.法拉第电磁感应定律的应用：*计算由于磁通量变化（磁场变化或回路面积/取向变化）所产生的感应电动势。*运用楞次定律判断感应电流或感应电动势的方向。*示例：一面积为S的平面线圈，置于磁感应强度为B(t)=B₀sin(ωt)的均匀磁场中，线圈平面法线方向与磁场方向夹角为θ。求线圈中的感应电动势。*解答要点：明确磁通量Φ=B·S=BScosθ，应用法拉第电磁感应定律ε=-dΦ/dt计算。注意负号的意义，可结合楞次定律判断电动势方向。2.动生电动势与感生电动势：*区分动生电动势（导体在稳恒磁场中运动）和感生电动势（导体不动，磁场变化），并分别用相应公式计算。*理解感生电场的概念及其环路定理。*示例：一长直导线通有稳恒电流I，一与导线共面的矩形线圈以速度v沿垂直于导线的方向远离导线运动。已知某时刻线圈与导线的距离为a，线圈边长分别为l（平行于导线）和b（垂直于导线）。求此时线圈中的动生电动势。*解答要点：动生电动势的非静电力是洛伦兹力。在矩形线圈中，只有与导线垂直的两边因切割磁感线而产生动生电动势，且方向相反。需先求出长直导线产生的非均匀磁场分布B(r)，再对每一段导体应用ε=∫(v×B)·dl计算，最后求代数和。3.自感与互感：*计算简单几何形状导体（如长直螺线管、同轴电缆）的自感系数。*计算两个线圈之间的互感系数。*示例：计算长度为l，匝数为N，截面积为S的长直密绕螺线管的自感系数L。*解答要点：自感系数L可通过Φ=LI或Wₘ=(1/2)LI²计算。通常先设螺线管通有电流I，求出管内磁感应强度B，进而求出通过每匝线圈的磁通量及总磁链NΦ，再由L=NΦ/I得到结果。（二）电磁波核心知识点：麦克斯韦方程组、电磁波的产生与传播、电磁波的基本性质（横波性、E与B的关系、能量与能流）、电磁波的反射与折射（菲涅尔公式初步）。典型习题类型：1.麦克斯韦方程组的理解与应用：*阐述麦克斯韦方程组积分形式的物理意义。*由麦克斯韦方程组导出电磁波波动方程。*示例：简述麦克斯韦方程组四个方程的物理意义，并说明位移电流假设的提出对完善电磁场理论的重要性。*解答要点：分别解释高斯定理（电）、高斯定理（磁）、法拉第电磁感应定律、安培-麦克斯韦定律的物理内涵。强调位移电流的引入使得麦克斯韦方程组能够预言电磁波的存在，并保证了电流的连续性。2.平面电磁波的性质：*已知平面电磁波的电场表达式，写出磁场表达式，并确定波的传播方向、频率、波长等。*计算电磁波的能量密度、能流密度（坡印廷矢量）。*示例：在真空中传播的一平面电磁波，其电场强度为E=E₀cos(kz-ωt)i。试求：（1）磁场强度H的表达式；（2）电磁波的传播方向；（3）坡印廷矢量的平均值。*解答要点：对于平面电磁波，E、H、k（波矢）三者互相垂直，构成右手螺旋关系，且E₀/H₀=√(μ₀/ε₀)（真空中波阻抗）。由给定的E表达式确定k和ω的方向，进而写出H的表达式。坡印廷矢量S=E×H，其平均值需对一个周期积分。三、狭义相对论基础核心知识点：狭义相对论基本原理、洛伦兹变换、相对论时空观（同时性的相对性、长度收缩、时间膨胀）、相对论动力学基础（质能关系、动量能量关系）。典型习题类型：1.洛伦兹变换的应用：*利用洛伦兹坐标变换和速度变换公式解决不同惯性系间的时空坐标和速度转换问题。*示例：在惯性系S中，一事件发生在t=t₀，x=x₀，y=y₀，z=z₀处。另一惯性系S'沿S系的x轴正方向以速度v运动。求该事件在S'系中的时空坐标(x',y',z',t')。*解答要点：直接应用洛伦兹坐标变换公式。注意坐标变换中时空是相互关联的，与伽利略变换的区别。明确各物理量的含义及正负号规定。2.相对论时空效应：*分析同时性的相对性，计算运动杆的长度收缩和运动时钟的时间膨胀效应。*示例：一固有长度为l₀的杆，在惯性系S中沿x轴放置，并以速度u沿x轴正方向运动。求在相对S系沿x轴正方向以速度v运动的惯性系S'中观测到的杆长。*解答要点：首先明确在S系中杆的长度（运动长度），或者直接在S'系中应用洛伦兹变换，对杆两端的坐标进行测量（要求同时测量）。注意区分固有长度（相对杆静止的参考系中测得的长度）。也可先求出杆相对S'系的速度u'，再应用长度收缩公式l=l₀√(1-u'²/c²)。3.相对论动力学：*计算相对论质量、动量、动能和总能量，应用质能关系和动量能量关系解决问题。*示例：一静止质量为m₀的粒子，在恒力F（相对论情况下，力仍定义为动量对时间的变化率F=dp/dt）作用下从静止开始沿力的方向运动。求当粒子速度达到v时，其所经历的时间和通过的距离。*解答要点：相对论动量p=m₀v/√(1-v²/c²)。由F=dp/dt分离变量积分可求得时间t与速度v的关系。再利用v=dx/dt，结合已得的t(v)，通过积分求出距离x。此过程需要一定的微积分运算技巧。四、解题策略与建议1.深刻理解基本概念与规律：电动力学的公式繁多，但均由基本概念和规律导出。务必吃透麦克斯韦方程组的物理意义，掌握场的叠加原理、高斯定理、安培环路定理、法拉第电磁感应定律等核心规律的适用条件和应用方法。2.重视数学工具的运用：矢量分析（散度、旋度、梯度、高斯公式、斯托克斯公式）是电动力学的语言，微积分（多重积分、线面积分、常微分方程、偏微分方程）是解决问题的主要工具。应熟练掌握这些数学知识，并能灵活应用于物理问题。3.培养物理图像与建模能力：面对具体问题，首先要分析物理过程，明确研究对象，建立清晰的物理图像，然后选择合适的坐标系和数学方法进行描述和求解。对称性分析在简化问题中往往起到关键作用。4.规范解题步骤：解题时应步骤清晰，逻辑严谨。写出必要的文字说明，明确公式中各物理量的含义。先进行公式推导，再代入数据计算。注意单位的一致性。5.多做练习，勤于总结：通过大量习题练习可以加深对概念的理解，熟悉解题方法。但切忌盲目刷题，要注重总结归纳，举一反三，特别是对于典型题型和解题思路的梳理。对于错题要认真分析原因，及时纠正。结语电动力学