初三锐角三角函数重点练习题解析

初三锐角三角函数重点练习题解析锐角三角函数是初中数学的重要组成部分，它不仅是中考的必考内容，更是后续学习解三角形、解析几何等知识的基础。其核心在于揭示直角三角形中边与角之间的数量关系，通过已知元素求解未知元素。本文将围绕初三锐角三角函数的重点题型进行深度解析，帮助同学们梳理解题思路，掌握关键方法，提升解题能力。一、核心知识点回顾与梳理在进入习题解析之前，我们有必要先回顾锐角三角函数的定义及基本性质，这是解决一切相关问题的基石。在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B为锐角，它们所对的边分别为a、b、c（其中c为斜边）。则有：*∠A的正弦：sinA=∠A的对边/斜边=a/c*∠A的余弦：cosA=∠A的邻边/斜边=b/c*∠A的正切：tanA=∠A的对边/∠A的邻边=a/b特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值是必须牢记的，它们是快速解题的关键。二、重点题型与例题解析（一）直接运用定义求三角函数值这类题目主要考查对三角函数定义的理解和直接应用能力。解题时，需准确识别直角三角形中的“对边”、“邻边”和“斜边”。例题1：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，求sinA、cosB、tanA的值。分析：首先，根据勾股定理求出斜边AB的长度。然后，依据三角函数定义，分别找出∠A的对边、邻边，∠B的邻边（注意∠B的邻边是AC）。解析：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4。由勾股定理得：AB=√(AC²+BC²)=√(4²+3²)=5。sinA=BC/AB=3/5（∠A的对边是BC）。cosB=BC/AB=3/5（∠B的邻边是BC）。tanA=BC/AC=3/4（∠A的对边是BC，邻边是AC）。点评：本题较为基础，但需注意“邻边”和“对边”是相对于特定锐角而言的。同时，观察到sinA=cosB，这是因为∠A与∠B互余，体现了互余角三角函数间的关系。（二）已知三角函数值求边长或角度此类问题通常给出一个锐角的三角函数值（或可转化为已知三角函数值的条件）和一条边的长度，求其他边长；或者已知三角函数值，求锐角的度数（主要针对特殊角）。例题2：在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=1/2，BC=6，求AC的长。分析：tanA是∠A的对边与邻边之比，即BC/AC。已知tanA和BC，可直接列方程求解AC。解析：在Rt△ABC中，∠C=90°。tanA=BC/AC=1/2。已知BC=6，设AC=x，则：6/x=1/2解得x=12。故AC的长为12。例题3：已知α为锐角，且sinα=√3/2，求α的度数。分析：这是已知特殊角的三角函数值反求角度，需要熟练记忆特殊角的三角函数值。解析：∵α为锐角，且sinα=√3/2，∴α=60°。点评：例题2关键在于正确列出比例式；例题3则强调对特殊角三角函数值的记忆。对于非特殊角的三角函数值，我们无法直接得到角度，这类问题通常会在后续学习中结合计算器解决，但中考重点仍在特殊角。（三）构造直角三角形解决问题有些几何图形并非直角三角形，但可以通过添加辅助线（通常是作高）构造出直角三角形，从而运用锐角三角函数求解。例题4：如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AB=√2，求BC的长。（请自行在脑海中构建图形：△ABC，顶点A在上，B、C在下，过A作AD⊥BC于D）分析：△ABC不是直角三角形，但已知两个角和一条边。过点A作AD⊥BC于D，将其分割为两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD。在这两个直角三角形中，AD是公共边，可作为桥梁连接已知与未知。解析：过点A作AD⊥BC于D。在Rt△ABD中，∠B=45°，AB=√2。sinB=AD/AB，即sin45°=AD/√2。∵sin45°=√2/2，∴AD=√2×(√2/2)=1。cosB=BD/AB，即cos45°=BD/√2，∴BD=√2×(√2/2)=1。在Rt△ACD中，∠C=30°，AD=1。tanC=AD/CD，即tan30°=1/CD。∵tan30°=√3/3，∴CD=1/(√3/3)=√3。∴BC=BD+DC=1+√3。点评：构造直角三角形是解决非直角三角形中边角关系问题的常用策略。作高是最直接的构造方法，它能将已知角和边置于直角三角形中。（四）利用同角或互余角的三角函数关系解题同角三角函数关系主要指：sin²A+cos²A=1，tanA=sinA/cosA。互余角三角函数关系指：sinA=cos(90°-A)，cosA=sin(90°-A)。例题5：已知α为锐角，且cosα=3/5，求sinα和tanα的值。分析：已知cosα，可利用同角三角函数的平方关系sin²α+cos²α=1求出sinα，再利用商数关系求出tanα。解析：∵α为锐角，且sin²α+cos²α=1，cosα=3/5，∴sinα=√(1-cos²α)=√(1-(3/5)²)=√(16/25)=4/5。tanα=sinα/cosα=(4/5)/(3/5)=4/3。点评：本题考查了同角三角函数的基本关系。在开平方时，因为α是锐角，sinα为正值，所以取算术平方根。三、总结与解题建议锐角三角函数的学习，核心在于理解其定义，并能灵活运用定义和相关性质解决问题。以下是几点学习建议：1.深刻理解定义：这是学好三角函数的前提，要在直角三角形中准确辨认“对边”、“邻边”和“斜边”。2.熟记特殊角值：30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值必须烂熟于心，做到“见值知角，见角知值”。3.多做练习，归纳题型：通过练习熟悉各种常见题型，如直接应用定义、已知值求边或角、构造直角三角形、利用三角函数关系等，并总结每种题型的解题思路和技巧。4.注重数形结合：画图是解决几何问题的重要手段，通过图形可以更直观地分析边角关系。5.规范书写过程：在解题时，要注意步骤的完整性和书写的规范性，尤其是在使用三角函数定义列比例式时，要写清楚是哪个角的哪个三角函数