2025年银川高中数学联赛预选赛试题及答案

2025年银川高中数学联赛预选赛试题及答案考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________试卷名称：2025年银川高中数学联赛预选赛试题及答案考核对象：银川高中数学竞赛预选赛考生题型分值分布：-判断题（总共10题，每题2分）总分20分-单选题（总共10题，每题2分）总分20分-多选题（总共10题，每题2分）总分20分-案例分析（总共3题，每题6分）总分18分-论述题（总共2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则其反函数f⁻¹(x)在对应区间上单调递增。2.设集合A={x|x²-3x+2=0},B={x|x²+x-6=0},则A∪B={-3,1,2}。3.若向量a=(1,2),b=(3,4)，则向量a与b的夹角为锐角。4.直线y=kx+1与圆(x-1)²+(y-2)²=4相切，则k=±√3。5.等差数列{a_n}中，若a₁+a₅=10，则a₃=5。6.椭圆x²/a²+y²/b²=1的离心率e满足0<e<1。7.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期为2π。8.若复数z=1+i，则|z|=√2。9.空间中三条直线共面但不相交，则它们一定平行。10.极坐标方程ρ=2sinθ表示的曲线是圆。二、单选题（每题2分，共20分）1.函数f(x)=|x-1|在区间[0,3]上的最小值是（）。A.0B.1C.2D.32.不等式|x|+|x-1|<2的解集为（）。A.(-1,2)B.(-2,1)C.(-1,1)D.(-2,2)3.已知点P(x,y)在直线y=2x上运动，则|OP|的最小值为（）。A.0B.1/√5C.1D.√54.抛掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为（）。A.1/4B.1/3C.1/2D.3/45.已知f(x)=x³-ax+b，若f(1)=0且f(2)=3，则a+b的值为（）。A.2B.3C.4D.56.圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心坐标为（）。A.(2,-3)B.(-2,3)C.(2,3)D.(-2,-3)7.数列{a_n}满足a₁=1,a_n+1=2a_n+1，则a₅的值为（）。A.31B.32C.33D.348.已知cosθ=1/2且θ∈(0,π/2)，则sinθ的值为（）。A.√3/2B.1/2C.√2/2D.-1/29.若直线y=mx+c与圆x²+y²=1相切，则m²+c²的取值范围是（）。A.[0,1]B.(0,1)C.[1,+∞)D.(1,+∞)10.已知三角形ABC的三边长分别为3,4,5，则其外接圆半径R为（）。A.2B.2.5C.3D.4三、多选题（每题2分，共20分）1.下列函数中，在区间(0,1)上单调递减的是（）。A.y=-x+1B.y=x²C.y=1/xD.y=sin(x)2.若向量a=(1,k),b=(k,1)，且a∥b，则k的取值可以是（）。A.-1B.0C.1D.23.椭圆x²/a²+y²/b²=1的焦点在x轴上，则下列说法正确的是（）。A.a>b>0B.c²=a²-b²C.e=c/aD.e>14.已知f(x)是奇函数，且f(1)=2，则下列等式可能成立的是（）。A.f(-1)=-2B.f(0)=0C.f(2)=4D.f(-2)=-45.数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=n²+a，则{a_n}是（）。A.等差数列B.等比数列C.阿贝尔数列D.以上都不对6.已知直线l₁:ax+by+c=0与l₂:mx+ny+p=0相交，则（）。A.am+bn≠0B.cp≠0C.am+bn=0时，l₁⊥l₂D.am+bn=0且cp=0时，l₁与l₂重合7.函数f(x)=e^x的图像具有的性质是（）。A.过点(0,1)B.在R上单调递增C.无界函数D.偶函数8.已知三角形ABC的三内角分别为α,β,γ，则（）。A.sin(α)+sin(β)>sin(γ)B.cos(α)+cos(β)>cos(γ)C.tan(α)+tan(β)>tan(γ)D.sin²(α)+sin²(β)>sin²(γ)9.复数z=a+bi的模|z|与辐角θ满足（）。A.|z|≥0B.θ∈[0,2π)C.|z|=√(a²+b²)D.z=|z|(cosθ+isinθ)10.已知f(x)是周期为T的函数，则（）。A.f(x+T)=f(x)B.f(x-T)=f(x)C.f(2T)=f(T)D.f(x)在任意区间长度为T的区间上性质相同四、案例分析（每题6分，共18分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值。2.在△ABC中，已知a=3,b=4,C=60°，(1)求c的值；(2)求△ABC的面积。3.已知数列{a_n}满足a₁=1,a_n+1=2a_n+1（n≥1），(1)求数列{a_n}的通项公式；(2)求数列{a_n}的前n项和S_n。五、论述题（每题11分，共22分）1.证明：对任意实数x,y，不等式|x+y|≤|x|+|y|恒成立。2.设f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+2)=f(x)，(1)证明f(x)是周期函数；(2)若f(1)=3，求f(2025)的值。---标准答案及解析一、判断题1.√（反函数性质）2.√（解方程得A={1,2},B={-3,2}，则A∪B={-3,1,2}）3.√（向量点积a·b=1×3+2×4=11>0，夹角为锐角）4.√（圆心(1,2)，半径2，相切则|kx+1-2|/√(k²+1)=2，解得k=±√3）5.√（等差数列性质，a₃=(a₁+a₅)/2=5）6.√（椭圆离心率e=c/a，0<c<a，故0<e<1）7.√（sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，周期为2π）8.√（|z|=√(1²+1²)=√2）9.×（三条直线共面但不相交，可能是两两平行或相交于一点）10.√（极坐标方程ρ=2sinθ等价于x²+y²=2y，即x²+(y-1)²=1，是圆）二、单选题1.B（f(1)=0，f(0)=1，f(3)=2，最小值为1）2.C（数轴法，|x|+|x-1|<2等价于-1<x<1）3.B（|OP|²=x²+y²=x²+(2x)²=5x²，最小值为1/√5）4.A（4种结果，一正一反有2种，概率1/4）5.C（f(1)=1-a+b=0，f(2)=8-2a+b=3，解得a=3,b=-2，a+b=1）6.C（配方得(x-2)²+(y+3)²=16，圆心(2,3)）7.C（递推关系a_n=2a_n-1+1，a₂=3,a₃=7,a₄=15,a₅=31）8.A（cosθ=1/2⇒θ=π/3，sin(π/3)=√3/2）9.C（相切则d=r，即|kx+c-1|/√(k²+1)=1，解得m²+c²≥1）10.A（勾股定理得c²=a²+b²-2abcosC，C=60°，R=c/2=2）三、多选题1.AC（A线性递减，C反比例递减）2.AC（a∥b⇒k²=1⇒k=±1）3.ABC（焦点在x轴⇒a>b>0，c²=a²-b²，e=c/a<1）4.ABD（奇函数f(-x)=-f(x)，f(0)=0⇒f(-2)=-f(2)=-4）5.AC（a_n=S_n-S_n-1=n²+a-(n-1)²-a=2n-1，是等差数列）6.AD（相交则斜率乘积不为1，重合则斜率相等且截距相等）7.ABC（过(0,1)，指数函数单调递增且无界，非偶函数）8.AB（正弦定理，余弦定理）9.ACD（模非负，辐角主值[0,2π)，模等于平方和开方，欧拉公式）10.ABD（周期定义，周期函数性质）四、案例分析1.解：(1)f'(x)=3x²-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3，单调增区间：(-∞,1-√3/3)∪(1+√3/3,+∞)，单调减区间：(1-√3/3,1+√3/3)。(2)f(-1)=5,f(1-√3/3)=4-√3,f(1+√3/3)=4+√3,f(3)=3，最大值4+√3，最小值4-√3。2.解：(1)余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=9+16-24cos60°=13，c=√13。(2)面积S=1/2abcosC=1/2×3×4×√3/2=3√3。3.解：(1)a_n-a_n-1=1⇒a_n=a_n-1+1，a_n=a₁+(n-1)×1=1+n-1=n。(2)S_n=1+2+...+n=n(n+1)/2。五、论述题1.证明：(1)当x≥0,y≥0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|；(2)当x≥0,