专题2.2 幂指对三角函数比大小归类 （培优热点专练）（全国适用）（原卷版及解析）

1/10专题2.2幂指对三角函数比大小归类内容导航内容导航热点解读题型突破限时训练热点内容解读深度剖析解读热点：分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。热点题型突破逐一剖析解题归纳：对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。热点限时训练模拟实战巩固提升：限时完成题目训练，提升解题能力。近三年：1、比较大小是近年的高考命题热点，这类题目通常不会直接让你计算数值（因为无法直接计算），而是考查你如何灵活运用函数的单调性、图像、临界点、放缩技巧来比较大小。常用解题策略（“三步法”）：①定“基准”：寻找一个中间量（基准数），如等，将要比较的数分别与这个基准数进行比较。②判“范围”：估算每个数的大致范围。例如，判断一个对数是否大于0，一个指数是否大于1，一个角度的正弦/余弦值在哪个象限。③用“性质”：利用函数的单调性进行变形和比较。有时需要将不同底数的指数或对数化为同底，或者利用幂函数、三角函数的单调性。2、常用逻辑用语在从近几年高考命题来看，常用逻辑用语没有单独命题考查，偶尔以已知条件的形式出现在其他考点的题目中．集合内容可能以一元一次、一元二次不等式、分式不等式及指数对数不等式的形式考查集合的交集、并集、补集运算及参数求解，同时还需重点关注集合与充分必要条件相结合问题．预测2026年：这类题型在2026年高考中出现的概率非常高，预计难度会维持在中等偏上水平；创新点可能在于：①与三角函数更紧密结合：可能会比较如sin0.1、0.1、ln1.1这类同时涉及三角函数、幂函数、对数函数的数值。关键在于利用当x⟶0时的题型01幂指数函数性质解｜题｜策｜略1指数函数y=ax的值域是0,+∞，当a>12常见幂函数的图象与性质3若比较大小的幂可化为同底，则化为同底再利用指数函数单调性比较大小；若比较大小的幂可化为同指数，则化为同指数再利用幂函数单调性比较大小。1（25-26高三上·天津滨海新·期中）设a=2.10.5，b=2.10.6，c=0.60.5，则a，A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a2（24-25高三上·甘肃白银·月考）设y1=73.3，y2A．y2>yC．y1>y3（25-26高三上·重庆·期中）已知a=243A．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．c<a<b题型02对数函数性质解｜题｜策｜略1对数函数的图像与性质图像a>10<a<1定义域(0,值域R过定点(1,0)奇偶性非奇非偶单调性在(0,+∞在(0,+∞变化对图像的影响在第一象限内，α越大图象越靠低；在第四象限内，α越大图象越靠高．2比较大小的对数可化为同底，则化为同底再利用对数函数单调性比较大小.1（25-26高三上·云南昭通·月考）设a=log51A．c<b<a B．c<a<bC．a<c<b D．a<b<c2（25-26高三·江苏无锡·期中）已知a=e−32，b=lnA．a<b<c B．b<c<aC．c<a<b D．a<c<b3（25-26高三上·河北唐山·期中）设a=log63，b=lg5A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a题型03三角函数性质解｜题｜策｜略三角函数的图象与性质y=sinxy=cosxy=tanx图像定义域RRx值域[−1,1][−1,1]R最值当x=π2+2kπ时，ymax=1；

当x=2kπ时，ymax=1；

当x=π+2kπ时，既无最大值也无最小值周期性2π2ππ对称中心kπ,0kπ+kπ对称轴x=kπ+x=kπ无单调性在−π2+2kπ,π2在−π+2kπ,2kπ上是增函数；

在2kπ,π+2kπ上是减函数.在(kπ−π2注意三角函数y=sinx和y=cosx的有界性。1（24-25高三·云南保山·月考）已知a=lnsin1，b=etan1，c=cos1，则A．b>c>a B．c>a>b C．c>b>a D．b>a>c2（24-25高三上·湖北·月考）已知实数a,b∈−1,0，且满足cosaπA．sina<sinbC．sina−a>sinb−b3（25-26高三上·江苏·开学考试）已知α∈0,π4,x=(A．y<x<z B．z<x<yC．x<y<z D．z<y<x题型04临界值型：0与1分界解｜题｜策｜略在比较数值大小时，若无法直接利用指对幂函数单调性比较，常常用到估值的方法，在估值时，会优先考虑0与1.1（25-26高三上·江苏南通·月考）对任意x1,x2∈(0,+∞)，均有(x1−x2)[f(x1A．c<b<a B．a<b<c C．a<c<b D．c<a<b2（25-26高三·湖北·月考）已知a=cos1,p=logA．p<q<r B．p<r<qC．r<q<p D．q<p<r3（20-21高三上·山东青岛·期中）已知m=0.95.1，n=log0.85.1，p=0.85.1，则mA．p＜n＜m B．n＜p＜m C．m＜n＜p D．n＜m＜p题型05临界值型：中间值解｜题｜策｜略在比较数值大小时，若利用0和1估值还是无法比较出大小，则可能需要引入其他的中间值，此时要根据数值的特点而决定，可利用分析法辅助判断。1（25-26高三上·福建漳州·期中）已知a=265，b=92A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．a<c<b2（25-26高三上·辽宁·月考）已知a=(52)12，b=2A．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．c<b<a3（2025·河北秦皇岛·二模）已知a=log2678，b=1.250.9，c=A．a>b>c B．a>c>b C．c>b>a D．c>a>b题型06做差比较法解｜题｜策｜略1比较两个式子（数值）a与b的大小，可用作差法，转化为a−b与0的比较；a−b>0→a>b;a−b=0→a=b;a−b<0→a<b2作差的过程往往要用到因式分解。1（25-26高三上·广东惠州·期中）已知a=log48,b=A．b>a>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a2（25-26高三·山东临沂·月考）已知a=log48，b=log0.6A．b>a>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a3（25-26高三上·山东泰安·开学考试）已知3x=4y=6z，则3xA．3x=4y=6z B．3x<4y<6zC．3x>4y>6z D．3x<6z<4y题型07做商比较法解｜题｜策｜略1比较两个式子（数值）a与b的大小，可用作商法，转化为ab与1a2一般式子是幂的形式，会考虑作商法；3作商的过程往往要用到因式分解，还有一点b是否一定大于0或小于0要明确。1（25-26高三上·全国·课前预习）已知a,b,c均为大于1的数，且log43aA．loga2>logC．loga2>log2（24-25高三上·江苏扬州·月考）已知a=log43，b=log5A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．b>c>a3（25-26高三上·福建泉州·月考）已知x､y､z∈R+，且xln2=yln3=zln4（多选）（25-26高三上·广东广州·月考）若2x=3A．x>y>z B．x<y<zC．3y<2x<5z D．2x<3y<5z题型08构造函数：对数型解｜题｜策｜略1比较的数值若比较复杂，往往会用到构造函数再利用函数单调性比较大小的方法；2构造函数时，要注意数值符合的条件结构或自身的结构特征，若数值含有对数，可考虑对数型函数；3利用同构变形也可以，比如x+ln1（2025·全国·模拟预测）已知a=πe，b=ππ，c=eπ，e是自然对数的底数，则a，A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b2（2025·河南南阳·模拟预测）设ln5a4=0.2,b=0.96,A．c<b<a B．c<a<bC．a<c<b D．a<b<c3（25-26高三上·山东潍坊·月考）已知函数fx=12x−ln1+exA．a<c<b B．b<a<c C．b<c<a D．c<b<a4（25-26高三上·四川乐山·月考）若a=log47,b=log5A．a>c>b B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a题型09构造函数：指幂型解｜题｜策｜略1比较的数值若比较复杂，往往会用到构造函数再利用函数单调性比较大小的方法；2构造函数时，要注意数值符合的条件结构或自身的结构特征，若数值含幂的形式，可考虑指数型函数；3利用同构变形也可以，比如xe1（2025高三·全国·专题练习）已知a=e−0.8，b=ln1.1，A．a<c<b B．b<c<a C．c<b<a D．a<b<c2（24-25高三·安徽铜陵·月考）已知a=12025，b=e−20242025，c=ln20262025A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b3（2024·安徽·三模）已知a=eπ−3A．b<c<a B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a4（25-26高三上·湖北孝感·月考）设a=e0.02−1，b=ln1.02，c=A．b>a B．b<c C．d＜b 题型10构造函数：三角函数线性型解｜题｜策｜略1比较的数值若比较复杂，往往会用到构造函数再利用函数单调性比较大小的方法；2构造函数时，要注意数值符合的条件结构或自身的结构特征，若数值含三角函数的形式，可考虑三角函数型函数。1（25-26高三上·北京·月考）已知a=ln2,b=sin13A．b<a<cB．a<c<bC．b<c<a D．a<b<c2（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试）已知a=ln43，b=27A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．a<c<b3（25-26高三上·四川遂宁·期中）已知a=13e，b=log3A．b<c<a B．a<c<bC．c<a<b D．c<b<a4（2025·湖北武汉·三模）已知a=1.01lnln1.01−ln1.01ln1.01，b=sinlnA．a<b<cB．b<a<cC．c<b<a D．c<a<b题型11根据等式关系比较大小解｜题｜策｜略题中给到关于a，b,c的等式，再比较它们的大小；此时先思考是否可根据等式得到a，b,c的数值或者它们之间的关系，再想是否可以通过数形结合的方法确定它们数值的范围，或者根据各等式之间的特殊形式通过构造函数再比较大小。1（多选）（25-26高三上·山东青岛·月考）若log3x=logA．x>y>z B．3x>5y>7zC．3x<5y<7z D．x<y<z2（2025高三·全国·专题练习）已知正实数a,b,c，且a>b，若2a⋅3A．b>c,2b>a+c B．b<c,2b<a+cC．b>c,2b<a+c D．b<c,2b>a+c3（多选）（24-25高三·黑龙江·月考）已知m=log67+log76，且A．m>2 B．n>2 C．n>m D．m>p4（2025·广东·模拟预测）设2x+5=3y+3=5z+1，则A．x>y>z B．y>z>x C．z>y>x D．z>x>y题型12泰勒公式法解｜题｜策｜略1麦克劳林公式f虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式,仅仅是取x2常见函数的麦克劳林展开式(1)ex(2)ln(3)sin(4)cos3利用泰勒公式法，主要就是对数值进行估值，估值的程度要根据数值之间的差距。1（25-26高三·广东广州·月考）a=ln2，b=sin45，c=e−0.4，则aA．c>b>a B．b>c>aC．b>a>c D．a>b>c2（25-26高三上·广东·月考）已知a=2A．a<c<b B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c3（25-26高三·湖南·月考）设a=2ln⁡1.01,b=lnA．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b（建议用时：60分钟）1（24-25高三上·四川泸州·月考）下列不等式中正确的是（

）A．0.8−0.1>0.8−0.2B．log0.53>2（25-26高三上·天津南开·期中）已知幂函数fx=5m+3xn的图象过点2,22，设a=fA．a>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．c>a>b3（2025·天津河东·二模）已知a=12−0.6，b=log122A．a<c<b B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a4（25-26高三上·河北沧州·月考）已知a=log20252026，b=ln39，c=sin7A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a5（2024·甘肃·模拟预测）设a=1.1，b=sina，c=eA．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b6（25-26高三上·江苏扬州·月考）已知四个数a=ln2+ln52，b=ln2⋅A．a B．b C．c D．d7（25-26高三上·河北·期中）已知a=log53,b=log6A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b8（24-25高三上·重庆·月考）已知a=sin13A．c<a<b B．a<c<bC．a<b<c D．b<a<c9（2025·天津北辰·三模）设a=2312,b=A．c<b<a B．a<c<bC．a<b<c D．c<a<b10（25-26高三·湖北·月考）已知x，y，z都是大于1的正数，且log2x=log3y=log6z，令a=xA．a>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．b>a>c11（24-25高三·湖北·期中）设a=3ln1.1,b=0.4,c=lnA．a<b<c B．a<c<bC．c<b<a D．c<a<b12（2025高三·全国·专题练习）设ln5a4=0.2，b=0.96，eA．c<b<a B．c<a<b C．a<c<b D．b<a<c13（25-26高三上·贵州遵义·月考）设a=111，eb=1.1，A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a14（多选）（25-26高三上·浙江丽水·月考）设x，y，z为正实数，且log2x=log3y=A．x2<yC．z5<y15（多选）（2024·湖北·一模）已知a=2log41100，b=A．c>a B．a>bC．c>b D．b>a

专题2.2幂指对三角函数比大小归类内容导航内容导航热点解读题型突破限时训练热点内容解读深度剖析解读热点：分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。热点题型突破逐一剖析解题归纳：对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。热点限时训练模拟实战巩固提升：限时完成题目训练，提升解题能力。近三年：1、比较大小是近年的高考命题热点，这类题目通常不会直接让你计算数值（因为无法直接计算），而是考查你如何灵活运用函数的单调性、图像、临界点、放缩技巧来比较大小。常用解题策略（“三步法”）：①定“基准”：寻找一个中间量（基准数），如等，将要比较的数分别与这个基准数进行比较。②判“范围”：估算每个数的大致范围。例如，判断一个对数是否大于0，一个指数是否大于1，一个角度的正弦/余弦值在哪个象限。③用“性质”：利用函数的单调性进行变形和比较。有时需要将不同底数的指数或对数化为同底，或者利用幂函数、三角函数的单调性。2、常用逻辑用语在从近几年高考命题来看，常用逻辑用语没有单独命题考查，偶尔以已知条件的形式出现在其他考点的题目中．集合内容可能以一元一次、一元二次不等式、分式不等式及指数对数不等式的形式考查集合的交集、并集、补集运算及参数求解，同时还需重点关注集合与充分必要条件相结合问题．预测2026年：这类题型在2026年高考中出现的概率非常高，预计难度会维持在中等偏上水平；创新点可能在于：①与三角函数更紧密结合：可能会比较如sin0.1、0.1、ln1.1这类同时涉及三角函数、幂函数、对数函数的数值。关键在于利用当x⟶0时的题型01幂指数函数性质解｜题｜策｜略1指数函数y=ax的值域是0,+∞，当a>12常见幂函数的图象与性质3若比较大小的幂可化为同底，则化为同底再利用指数函数单调性比较大小；若比较大小的幂可化为同指数，则化为同指数再利用幂函数单调性比较大小。1（25-26高三上·天津滨海新·期中）设a=2.10.5，b=2.10.6，c=0.60.5，则a，A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a【答案】C【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小【分析】利用指数函数、幂函数的单调性可得出a,b,c的大小关系.【详解】由y=2.1x在R上递增，则由y=x0.5在0,+∞上递增，则a=故选：C2（24-25高三上·甘肃白银·月考）设y1=73.3，y2A．y2>yC．y1>y【答案】C【知识点】由幂函数的单调性比较大小【分析】将y1，y2，y3【详解】由题意可知，y1=7因为y=x1.1在0,+∞所以y1故选：C.3（25-26高三上·重庆·期中）已知a=243A．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．c<a<b【答案】C【知识点】由幂函数的单调性比较大小【分析】利用幂函数的单调性判定即可．【详解】由y=x则可知c=3由y=x又b15=所以b<c<a．故选：C．题型02对数函数性质解｜题｜策｜略1对数函数的图像与性质图像a>10<a<1定义域(0,值域R过定点(1,0)奇偶性非奇非偶单调性在(0,+∞在(0,+∞变化对图像的影响在第一象限内，α越大图象越靠低；在第四象限内，α越大图象越靠高．2比较大小的对数可化为同底，则化为同底再利用对数函数单调性比较大小.1（25-26高三上·云南昭通·月考）设a=log51A．c<b<a B．c<a<bC．a<c<b D．a<b<c【答案】D【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较对数式的大小【分析】对于a和0作比较，c变形和b利用幂函数的性质比较并与0比较，得到答案.【详解】a=log又y=x13在0,+∞上单调递增,19故选：D.2（25-26高三·江苏无锡·期中）已知a=e−32，b=lnA．a<b<c B．b<c<aC．c<a<b D．a<c<b【答案】D【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较对数式的大小【分析】由幂函数和对数函数的单调性进行比较即可.【详解】∵幂函数y=x−1=∴a=e−3∵对数函数y=lnx在区间∴b=ln32综上所述，a，b，c的大小关系为a<c<b.故选：D.3（25-26高三上·河北唐山·期中）设a=log63，b=lg5A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a【答案】D【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、比较对数式的大小【分析】由于a=11+log32，b=【详解】∵a=log63=1log又log32=lg2lg3，所以log3∴a<b<c.故选：D.题型03三角函数性质解｜题｜策｜略三角函数的图象与性质y=sinxy=cosxy=tanx图像定义域RRx值域[−1,1][−1,1]R最值当x=π2+2kπ时，ymax=1；

当x=2kπ时，ymax=1；

当x=π+2kπ时，既无最大值也无最小值周期性2π2ππ对称中心kπ,0kπ+kπ对称轴x=kπ+x=kπ无单调性在−π2+2kπ,π2在−π+2kπ,2kπ上是增函数；

在2kπ,π+2kπ上是减函数.在(kπ−π2注意三角函数y=sinx和y=cosx的有界性。1（24-25高三·云南保山·月考）已知a=lnsin1，b=etan1，c=cos1，则A．b>c>a B．c>a>b C．c>b>a D．b>a>c【答案】A【知识点】比较指数幂的大小、比较正切值的大小、比较对数式的大小、比较正弦值的大小【分析】根据三角函数值域及指对数运算比较大小.【详解】∵0<sin1<1，∴lnsin1又∵0<cos1<1，所以，故选:A．2（24-25高三上·湖北·月考）已知实数a,b∈−1,0，且满足cosaπA．sina<sinbC．sina−a>sinb−b【答案】D【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由幂函数的单调性比较大小、比较余弦值的大小、比较正弦值的大小【分析】由已知条件结合余弦函数单调性可得−1<b<a<0，通过对应函数的单调性，判断选项中的大小关系是否正确.【详解】a,b∈−1,0时，aπ,b由cosaπ>cosb正弦函数在−1,0上单调递增，则有sinb<幂函数y=x−35在设函数fx=sinx−x，由f'−1<b<a<0，则有fb>fa幂函数y=x43是偶函数，在−1,0故选：D.3（25-26高三上·江苏·开学考试）已知α∈0,π4,x=(A．y<x<z B．z<x<yC．x<y<z D．z<y<x【答案】B【知识点】利用正弦型函数的单调性求函数值或值域、比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小【分析】由α∈0,π4,得【详解】因为α∈0,π4,所以所以y=sinαty=xsin所以z<x<y.故选:B.题型04临界值型：0与1分界解｜题｜策｜略在比较数值大小时，若无法直接利用指对幂函数单调性比较，常常用到估值的方法，在估值时，会优先考虑0与1.1（25-26高三上·江苏南通·月考）对任意x1,x2∈(0,+∞)，均有(x1−x2)[f(x1A．c<b<a B．a<b<c C．a<c<b D．c<a<b【答案】C【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系【分析】由题意可得fx在区间0,+∞上单调递增，再利用幂函数及对数函数性质得到3【详解】由题意知对任意x1,x所以fx在区间0,+∞由幂函数y=x13的性质知其为增函数，因为3>又因为0<ln2<1，所以则f313故选：C.2（25-26高三·湖北·月考）已知a=cos1,p=logA．p<q<r B．p<r<qC．r<q<p D．q<p<r【答案】C【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小、利用余弦函数的单调性求参数、比较对数式的大小【分析】利用余弦函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性，借助中间量进行比较大小.【详解】因为1∈0,π3，所以a=则p=log因为函数y=12x单调递减，由a∈因为函数y=x12在0,+∞上单调递增，由所以r<q<p.故选：C.3（20-21高三上·山东青岛·期中）已知m=0.95.1，n=log0.85.1，p=0.85.1，则mA．p＜n＜m B．n＜p＜m C．m＜n＜p D．n＜m＜p【答案】B【知识点】由幂函数的单调性比较大小、对数函数单调性的应用【分析】根据幂函数y=x5.1，对数函数【详解】由于幂函数y=x5.1在故m=0.9又p=0.85.1>∴0＜p＜m＜1，由对数函数y=log0.8x故n=log0.85.1<log0.81=0，∴故选：B题型05临界值型：中间值解｜题｜策｜略在比较数值大小时，若利用0和1估值还是无法比较出大小，则可能需要引入其他的中间值，此时要根据数值的特点而决定，可利用分析法辅助判断。1（25-26高三上·福建漳州·期中）已知a=265，b=92A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．a<c<b【答案】A【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小、比较对数式的大小【分析】根据幂函数单调性判断a,b的大小，根据指数函数和对数函数的单调性判断b,c的大小，则结果可知.【详解】因为a=265=6415,b=9因为y=3x在−∞,+∞所以b=925由上可知，a<b<c，故选：A.2（25-26高三上·辽宁·月考）已知a=(52)12，b=2A．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．c<b<a【答案】B【知识点】由幂函数的单调性比较大小、指数幂的化简、求值【分析】因为a=(52)12>0，b=(2【详解】因为a=(52)12>0，b=(2∵(243)3=24∵(345)5=34∴345<52∴(345故选：B．3（2025·河北秦皇岛·二模）已知a=log2678，b=1.250.9，c=A．a>b>c B．a>c>b C．c>b>a D．c>a>b【答案】B【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小【分析】根据对数函数的单调性，以及指数函数的性质，利用中间值法，可得答案.【详解】由题a=logc=log92×9b=1.25综上，b<1+14<c<1+故选：B.题型06做差比较法解｜题｜策｜略1比较两个式子（数值）a与b的大小，可用作差法，转化为a−b与0的比较；a−b>0→a>b;a−b=0→a=b;a−b<0→a<b2作差的过程往往要用到因式分解。1（25-26高三上·广东惠州·期中）已知a=log48,b=A．b>a>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a【答案】B【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、比较对数式的大小【分析】首先根据对数运算性质得a=32，再利用对数函数单调性得c>a，再作差、换底变形比较【详解】a=log48=b=log所以b−c==lg因为lg2所以lg23×lg65lg故选：B.2（25-26高三·山东临沂·月考）已知a=log48，b=log0.6A．b>a>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a【答案】B【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、比较对数式的大小【分析】首先根据对数运算性质得a=32，再利用对数函数单调性得c>a，再作差换底变形比较【详解】a=log48=b−c====因为y=lgx在0,+∞则lg2−lg3<0,则(lg则b−c>0，即b>c，结合c>a知b>c>a.故选：B.3（25-26高三上·山东泰安·开学考试）已知3x=4y=6z，则3xA．3x=4y=6z B．3x<4y<6zC．3x>4y>6z D．3x<6z<4y【答案】D【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用【分析】设3x=4y=【详解】设3x当t=1时，x=y=z=0，选项A正确；当t>1时，x=log3t，y=所以，3x−4y=34y−6z=4由此可得3x<4y<6z，选项B正确；当0<t<1时，同理可得3x>4y>6z，选项C正确.故选：D.题型07做商比较法解｜题｜策｜略1比较两个式子（数值）a与b的大小，可用作商法，转化为ab与1a2一般式子是幂的形式，会考虑作商法；3作商的过程往往要用到因式分解，还有一点b是否一定大于0或小于0要明确。1（25-26高三上·全国·课前预习）已知a,b,c均为大于1的数，且log43aA．loga2>logC．loga2>log【答案】D【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算、比较对数式的大小【分析】将已知条件变形得到12alog【详解】∵log43a=log则ab=4又cb=log32<1∵a,b,c>1，∴log故选：D.2（24-25高三上·江苏扬州·月考）已知a=log43，b=log5A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．b>c>a【答案】C【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、利用导数证明不等式【分析】使用基本不等式证明ab<1，从而得a<b，使用ex>x+1,(x<0)证明c>0.91，再证明【详解】由题知a=12log23=log4ab=log当x<0时，令fx=e所以fx在−故fx>f0所以c=eb=log54=2所以c>b>a.故选：C3（25-26高三上·福建泉州·月考）已知x､y､z∈R+，且xln2=yln3=zln【答案】3y<2x<5z【知识点】比较对数式的大小【分析】利用对数的作商法结合对数函数的单调性可得出2x,3y,5z的大小关系.【详解】令xln则x=t则2x3y=2由2x5z=2从而可得3y<2x<5z.故答案为：3y<2x<5z4（多选）（25-26高三上·广东广州·月考）若2x=3A．x>y>z B．x<y<zC．3y<2x<5z D．2x<3y<5z【答案】ABC【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用【分析】先对等式2x=3y=5z【详解】由于2x=3y=5z当x,y,z都是正数，由2x=3y=因为0<lg2<lg3<lg所以log5k<log当x,y,z都是正数，由于2x=3则xy=lg3lg进而2x3y=2同理xz=lg5lg所以3y<2x<5z，故C选项可能成立；当x,y,z都是负数，由于2x=3同时由于对数函数y=lgx在定义域则xy=lg3lg2>1即x<y<z，故B选项可能成立；2x3y=2lg33lg所以2x>5z，所以5z<2x<3y，D不可能成立，故选：ABC题型08构造函数：对数型解｜题｜策｜略1比较的数值若比较复杂，往往会用到构造函数再利用函数单调性比较大小的方法；2构造函数时，要注意数值符合的条件结构或自身的结构特征，若数值含有对数，可考虑对数型函数；3利用同构变形也可以，比如x+ln1（2025·全国·模拟预测）已知a=πe，b=ππ，c=eπ，e是自然对数的底数，则a，A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b【答案】B【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由幂函数的单调性比较大小【分析】首先根据幂函数的单调性判断出b>c，然后构造函数fx=lnxx【详解】因为函数y=xπ在(0,+∞)上单调递增，且π>e令fx则f'x=1−lnxx2，当x∈e,+∞时，f'x≤0，综上，b>c>a，故选：B.2（2025·河南南阳·模拟预测）设ln5a4=0.2,b=0.96,A．c<b<a B．c<a<bC．a<c<b D．a<b<c【答案】A【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较对数式的大小【分析】表示出a,b,c，并适当变形，观察式子，构造函数fx=x−1x−2lnx(0<x<1),g【详解】ln5a4=0.2由e5c2=5又b=0.96=1−0.2取x=0.2，则a=1−x设fx则f'所以fx在区间0,1又f1=0，则即−2xlnx<1−x令gx则g'所以gx在区间0,1则gx故ex>x+1，则1−xe所以c<b<a.故选：A.3（25-26高三上·山东潍坊·月考）已知函数fx=12x−ln1+exA．a<c<b B．b<a<c C．b<c<a D．c<b<a【答案】C【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系【分析】分析函数fx的单调性和奇偶性，再设gx=lnx【详解】对fx=1f−x=−12x−ln1+e−x所以函数fx当x>0时，f'x=12所以fx在0,+设gx=lnxx由g'x>0⇒0<x<e，由g'所以gx在0,e上单调递增，在所以gx又ln22−ln33=所以ln2所以fln又因为f1所以b<c<a.故选：C4（25-26高三上·四川乐山·月考）若a=log47,b=log5A．a>c>b B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a【答案】C【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小【分析】利用对数运算比较a,c和b,c的大小，利用构造函数结合导数判断单调性比较a,b的大小，由此得到大小关系.【详解】a=logb=logc=因为log25>log2因为log27<因为a=log构造函数f(x)=ln求导f'当x>1时，xx+3lnx设g(x)=xlnx(x>1)，求导因为x>1，所以lnx>0，则g'(x)=lnx+1>1>0那么当x>1时，g(x)<g(x+3)，即xln所以分子xlnx−x+3lnx+3<0，则且4<5，所以f4>f5综上可得c>a>b.故选：C.题型09构造函数：指幂型解｜题｜策｜略1比较的数值若比较复杂，往往会用到构造函数再利用函数单调性比较大小的方法；2构造函数时，要注意数值符合的条件结构或自身的结构特征，若数值含幂的形式，可考虑指数型函数；3利用同构变形也可以，比如xe1（2025高三·全国·专题练习）已知a=e−0.8，b=ln1.1，A．a<c<b B．b<c<a C．c<b<a D．a<b<c【答案】B【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系【分析】本题可通过构造函数，利用函数单调性比较a、b与c的大小关系.【详解】设fx=ex−x−1，则f当x<0时，f'x<0，当x>0所以fx在−∞,0单调递减，在0,+∞单调递增，故故ex≥x+1（当且仅当x=0时取等号），故e−0.8由ex≥x+1可得lnx+1≤x（当且仅当x=0时取等号），故故b<c<a．故选：B.2（24-25高三·安徽铜陵·月考）已知a=12025，b=e−20242025，c=ln20262025A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b【答案】D【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较对数式的大小【分析】先证明ex≥x+1、【详解】现在证明一个不等式：ex设sx=e当x<0时，s'x<0，当x>0故sx在−∞,0故sx≥s0故ex≥x+1，当且仅当故当x>−1时，x≥ln已知a=12025，由ex而c=ln故c<a<b.故选：D.3（2024·安徽·三模）已知a=eπ−3A．b<c<a B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a【答案】A【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较对数式的大小【分析】构造函数fx=ex−1−x，利用导数求取单调性可得a、c之间大小关系，构造函数g【详解】由a=e即a=e令fx则f'x=故fx在1,+则有fπ−2=令gx则g'x=故gx在1,+则有gπ−2=故b<c<a.故选：A.4（25-26高三上·湖北孝感·月考）设a=e0.02−1，b=ln1.02，c=A．b>a B．b<c C．d＜b 【答案】C【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小【分析】逐项分析，构造函数结合导数判断单调性来确定a与b，b与c，c与d，b与d大小关系.【详解】a=e0.02−1，b=ln1.02=对于A，设fx=e令gx=f所以f'x在则f'x>f'则f0.02=e0.02−对于B，设ℎx=xln故ℎx在x∈则ℎ1.02整理得ln1.02>2102对于D，设mx则m'当x∈0,1时，m'x=−3x+1所以有m0.02=1+0.04所以151>1.02由前面可知d<c,c<b，所以d<b，故C正确.故选：C题型10构造函数：三角函数线性型解｜题｜策｜略1比较的数值若比较复杂，往往会用到构造函数再利用函数单调性比较大小的方法；2构造函数时，要注意数值符合的条件结构或自身的结构特征，若数值含三角函数的形式，可考虑三角函数型函数。1（25-26高三上·北京·月考）已知a=ln2,b=sin13A．b<a<c B．a<c<bC．b<c<a D．a<b<c【答案】C【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系【分析】先由函数fx=sinx−x的单调性得到【详解】令fx=sin所以函数fx在R上单调递减，所以f又a=ln2>ln故选：C2（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试）已知a=ln43，b=27A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．a<c<b【答案】B【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较正弦值的大小【分析】利用构造函数法，结合导数判断出b,c的大小关系，利用对数、指数运算判断出a,b的关系，进而确定正确答案.【详解】构造函数fx所以fx在R上单调递增，所以fa=ln43故只需比较ln23与17=ln也即比较237=而128273≈所以128273>综上所述，c<b<a.故选：B3（25-26高三上·四川遂宁·期中）已知a=13e，b=log3A．b<c<a B．a<c<bC．c<a<b D．c<b<a【答案】D【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较正弦值的大小【分析】根据正弦函数和余弦函数单调性得到c=sin(cos1.1)<sin12，再构造函数fx【详解】因为1.1>π3，而y=cos故cos1.1<又y=sinx在故c=sin令fx=x−sinx，则故fx=x−sinx在故f12>0故c=sin又a=13e则g'x=ex−1，当故g−13因为23<32，所以因为y=log3x故log3又log32>log故c<b<a故选：D4（2025·湖北武汉·三模）已知a=1.01lnln1.01−ln1.01ln1.01，b=sinlnA．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．c<a<b【答案】A【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、对数的运算性质的应用、比较对数式的大小【分析】设fx=ln1+x−xx>−1，对fx求导，得到fx的单调性的最值，结合对数函数和三角函数的性质，即可证明【详解】设fx=ln当x∈−1,0时，f'x>0；当所以fx在−1,0上单调递增，在0,+所以fx≤f0b=sin又b=sinln1+c=etansin对于a=1.01lnln1.01−此时a=1.01所以a<b<c.故选：A.题型11根据等式关系比较大小解｜题｜策｜略题中给到关于a，b,c的等式，再比较它们的大小；此时先思考是否可根据等式得到a，b,c的数值或者它们之间的关系，再想是否可以通过数形结合的方法确定它们数值的范围，或者根据各等式之间的特殊形式通过构造函数再比较大小。1（多选）（25-26高三上·山东青岛·月考）若log3x=logA．x>y>z B．3x>5y>7zC．3x<5y<7z D．x<y<z【答案】AB【知识点】指数式与对数式的互化、由幂函数的单调性比较大小【分析】设log3x=log5y=【详解】设log3则x=3t,y=因为t<−1<0，则t+1<0，则y=xt,y=所以3t>5t>7t故选：AB．2（2025高三·全国·专题练习）已知正实数a,b,c，且a>b，若2a⋅3A．b>c,2b>a+c B．b<c,2b<a+cC．b>c,2b<a+c D．b<c,2b>a+c【答案】A【知识点】比较指数幂的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、比较对数式的大小【分析】将2a⋅3a−b+3c−b=1+2b变形得6a−6【详解】因为2a⋅3即6a因为a>b，所以6a−6即3b>3又6a−b−13可得6a−b−13b−c−1所以6a−b−1<3b−c两边同时取对数得a−bln6<b−c则必有a−b<b−c，所以2b>a+c．故选：A．3（多选）（24-25高三·黑龙江·月考）已知m=log67+log76，且A．m>2 B．n>2 C．n>m D．m>p【答案】AB【知识点】由基本不等式比较大小、比较指数幂的大小、对数的运算性质的应用、比较对数式的大小【分析】利用基本不等式结合对数换底公式可判断A，利用构造单调函数来比较大小可判断BCD．【详解】对于A.∵m=log对于B.由于g(x)=2x+3x+即2m+3m+对于C.设f(x)=(27)x又f(2)=0，∵m>2，∴f(m)<f(2)=0，即(2故2m+3m+对于D.先证明k≥2且k∈Z+时，ℎ(k)−ℎ(k+1)=∵lgk⋅(k+2)=lg这样(k+1)所以ℎ(k)>ℎ(k+1)，故ℎ(2)>ℎ(6)，即log设t(x)=x+1x,(x>1)，因为t(x)在所以p=t（故选：AB.4（2025·广东·模拟预测）设2x+5=3y+3=5z+1，则A．x>y>z B．y>z>x C．z>y>x D．z>x>y【答案】D【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用、比较对数式的大小【分析】令k=2x+5=3y+3=5z+1，可得x，y，z的表达式，取k=10，根据对数函数的单调性，可得x最大，分别比较log37与32和log59与32的大小，即可判断A的正误；取k=7【详解】令k=2x+5=3y+3=5z+1取k=10，此时x=log25>z=log59<又log37与32比较，等价于比较7与3同理比较log59与32，可得81<125，故z<综上，当k=10时，x>y>z．故A是可能的．取k=7．此时x=1，y=log34>log33=1，比较y和z，即y=1+log343与z=1+log所以log343>log36综上，当k=7时，y>z>x．故B是可能的．取极小正数ε，取k=5+ε，此时x→−∞，y→log32，现在比较log32和2log52，即比较ln2ln3与2ln易知ln5<ln9综上，取k=5+ε，z>y>x．故C是可能的．下面证明D选项不可能．若z>x>y，则z>y和x>y同时成立．若x>y，则log2当k=7时，y>x，当k=8时，x=log同理可得x>32>y，故存在k∈(7,8)所以x>y成立的必要条件是k>7．若z>y，则log5(k−1)>log则ℎ'(k)=1(k−3)lnℎ'(k)>0等价于又k>7，等价于(k−1)ln5>(k−3)ln3，已证当k>7时，ℎ'k>0，所以ℎ(k)因为ℎ(7)>0，所以当k>7时，ℎ(k)>ℎ(7)>0，即y>z恒成立，故z>y和x>y不可能同时成立，即D不可能．故选：D．题型12泰勒公式法解｜题｜策｜略1麦克劳林公式f虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式,仅仅是取x2常见函数的麦克劳林展开式(1)e(2)ln(3)sin(4)cos3利用泰勒公式法，主要就是对数值进行估值，估值的程度要根据数值之间的差距。1（25-26高三·广东广州·月考）a=ln2，b=sin45，c=e−0.4，则aA．c>b>a B．b>c>aC．b>a>c D．a>b>c【答案】C【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较正弦值的大小【分析】找中间值22【详解】由题意得，b=sin因为e7>2由泰勒展开得ln(1+x)=1−ex所以ln2=故a>c，综上所述a，b，c的大小关系是b>a>c.故选：C2（25-26高三上·广东·月考）已知a=2A．a<c<b B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c【答案】B【分析】利用泰勒公式进行估值。【详解】使用泰勒公式对b，c进行估值，使用泰勒公式e可得e1则c=使用泰勒公式ln⁡(1+可得b=∴b>a>c．故选：B．3（25-26高三·湖南·月考）设a=2ln⁡1.01,b=lnA．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b【答案】B【分析】利用泰勒公式进行估值。【详解】a=2ln1.01以下用泰勒公式判断b与c的大小，对1.04想用泰勒公式估值，会想到函数fxf'x=12x+1所以1.04=则1.04−1≈0.0198实际上c>0.0198，且c与0.0198的差不超过1使用泰勒公式ln⁡(1+xb≈0.02−实际上b>0.0196，且b与0.0196的差不超过1则此时可判定c>由此可知故选:B（建议用时：60分钟）1（24-25高三上·四川泸州·月考）下列不等式中正确的是（

）A．0.8−0.1>0.8−0.2B．log0.53>【答案】C【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小、比较对数式的大小、比较正弦值的大小【分析】利用fx=0.8x单调性比较A；利用log0.53<log【详解】对于A，函数fx=0.8x，fx在R对于B，log0.53<log0.52=−1对于C，0.7−0.3>0.70=1对于D，函数fx=sinx，fx1<π−2，所以故选：C.2（25-26高三上·天津南开·期中）已知幂函数fx=5m+3xn的图象过点2,22，设a=fA．a>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．c>a>b【答案】B【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小【分析】根据幂函数的概念和幂函数图象过的点2,22，可求出【详解】因为幂函数fx=5m+3所以5m+3=12n=2则nm=3根据指数函数单调性知0<3−2由上知幂函数的解析式为fx=x3，函数又m<nm<n1故选：B.3（2025·天津河东·二模）已知a=12−0.6，b=log122A．a<c<b B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a【答案】A【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小【分析】根据指数函数的性质可判断a<c∈1,2，再由对数函数的性质可判断b>2【详解】因为a=1b=log1229故a<c<b.故选：A.4（25-26高三上·河北沧州·月考）已知a=log20252026，b=ln39，c=sin7A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a【答案】A【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小【分析】利用指数幂及对数的运算性质得到a，b，c的范围，即可比较大小.【详解】因为a=log而b=ln39=ln又因为b=ln39<ln而c==22因为128=27=所以1274<1综上，可知a>b>c故选：A5（2024·甘肃·模拟预测）设a=1.1，b=sina，c=eA．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b【答案】D【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较正弦值的大小【分析】根据正弦及指数函数性质有b=sina∈(0,1)，c=e0.1>1【详解】因为a=1.1∈(0,π2)，故b=设fx=ex−x−1x>0，则又f0=0，所以f0.1>0，即综上，c>a>b．故选：D6（25-26高三上·江苏扬州·月考）已知四个数a=ln2+ln52，b=ln2⋅A．a B．b C．c D．d【答案】D【知识点】由基本不等式比较大小、比较对数式的大小【分析】由基本不等式可比较a,b，再比较d,a,c即可得解.【详解】因为ln2>0,ln5>0所以a=ln又ln5=ln5+故最大的是d.故选：D7（25-26高三上·河北·期中）已知a=log53,b=log6A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a