专题2.3 空间几何体截面问题及动点问题（6大考向）（重难专练）2026年高考数学二轮复习讲练测（原卷版及解析）

10/11专题2.3空间几何体截面问题及动点问题内容导航速度提升技巧掌握手感养成分析考情·探趋势锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标破解重难·冲高分方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化拔尖冲优·夺满分巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力近三年：空间几何体截面问题及动点问题是高考空间几何体中高频考点，主要考察空间几何体的一些截面长度问题，截面的面积问题，截面轨迹问题以及截面轨迹中的最值以及范围问题。另外空间几何体中的动点问题也是高考数学中的一个重难点。预测2026年：考向01判断截面形状考向02截面周长问题考向03截面面积问题考向04截面最值及范围问题考向05空间几何体中动点轨迹问题考向06空间几何体动点问题的定量计算考向01判断截面形状1截面的几种方法(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程.(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点.(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线.2高频几何体的截面问题(1)正方体的基本斜截面：正六面体的斜截面不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形．(2)圆柱体的基本截面：圆柱体：当平面平行于底面去截时，得到的截面是圆；当平面垂直于底面去截时，得到的截面是矩形；当平面既不平行也不垂直于底面去截时，得到的截面是椭圆或椭圆的一部分圆锥体：当平面平行于底面去截时，得到的截面是圆；当平面通过圆锥的顶点且垂直于底面去截时，得到的截面是等腰三角形；当平面既不平行于底面，也不通过顶点去截时，得到的截面是椭圆或抛物线或双曲线的一部分球的截面形状

①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；

②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.

(2)球的截面的性质

①球心和截面圆心的连线垂直于截面②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：.1在正方体中，P、Q、R分别是棱BC、、的中点，过P、Q、R三点的平面与正方体表面的交线围成的封闭图形的形状是（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形2已知正方体中，点、满足，则平面截正方体形成的截面图形为（

）A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形考向02截面周长问题1常见空间几何体截面的作法技法1直接法若截面上的点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，直接连线作截面.技法2平行线法若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行，可以借助于两个性质：①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行，利用平行线法作截面.2解题步骤：先作出截面图形，在根据题设条件求出截面的周长，要注重具体问题具体分析，尤其遇到似曾相识的问题时应注重联系已有的解题经验，应用所学的几何知识找到参数之间的内在关系，构建正确的数学方程，快速破解问题．1如图所示正方体中棱长为1，是棱的中点，则由，，三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为．2如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（

）

A． B． C． D．3已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为．考向03截面面积问题1常见空间几何体截面的作法技法1直接法若截面上的点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，直接连线作截面.技法2平行线法若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行，可以借助于两个性质：①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行，利用平行线法作截面.2解题步骤：先作出截面图形，在根据题设条件求出截面的周长，要注重具体问题具体分析，尤其遇到似曾相识的问题时应注重联系已有的解题经验，应用所学的几何知识找到参数之间的内在关系，构建正确的数学方程，快速破解问题．求解面积问题。截面一般是圆弧或者是特殊的平面多边形。1已知正四面体棱长为4，所有与它四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得的截面之和为（

）A．4 B． C． D．2在长方体中，．若，点M在长方体内且，则平面ADM截长方体的截面面积为．3已知正方体的棱长为3，点分别在棱，，则过，，三点的平面截正方体所得多边形的面积为考向04截面最值及范围问题1（2025·云南曲靖·一模）已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，过棱作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（

）A． B． C． D．2如图，正方形的边长为．现沿对角线将翻折到的位置，使二面角成直二面角．分别为的中点，点四点都在球的表面上，则过直线的平面截球所得截面圆面积的最小值是．

3三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，分别在棱上，且平面平面，若，则平面与三棱锥的交线围成的面积最大值为．4已知正四棱柱为对角线的中点，过点的直线与长方体表面交于两点，为长方体表面上的动点，则的取值范围是.考向05空间几何体中动点的轨迹问题1对于翻折问题的动点及轨迹问题(1)翻折过程中寻找不变的垂直关系求轨迹.(2)翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹.(3)可以利用空间坐标运算求轨迹.2判断轨迹的类型问题，常常要借助于圆锥曲线的定义来判断，常见的轨迹类型有：线段、圆、圆锥曲线、球面等.在考查学生的空间想象能力的同时，又融合了曲线的轨迹问题1如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，其所在平面为α，且∠BAD=60∘，AB=2AA1=2．O是AC，A.若C1P=2，则动点P的轨迹长度为2π

B.若∠OC1P=90∘，则动点P的轨迹是一条直线

C.若OP=C1P，则动点P的轨迹是一条直线

2如图，将边长为2的正方形ABCD沿PD，PC翻折至A，B两点重合，其中P是AB中点，在折成的三棱锥A(B)−PDC中，点Q在平面PDC内运动，且直线AQ与棱AP的所成角为60°，则点Q运动的轨迹是

(

)

圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线3已知在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=22，点P是四边形A1B1C1D1内(点P的轨迹为一条抛物线

B.直线PA1与直线CD所成角的最大值为π4

C.线段PB长的最小值为3

D.三棱锥考向06空间几何体中动点的轨迹定量计算问题1对于翻折问题的动点及轨迹问题(1)翻折过程中寻找不变的垂直关系求轨迹.(2)翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹.(3)可以利用空间坐标运算求轨迹.2对于动点在某条直线或者是线段上移动，一般采用向量表示。1已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是．2如图，在棱长为2的正方体中，M是棱的中点．（1）三棱锥的体积是；（2）点P是侧面内（含边界）的动点，且MP∥平面，则线段MP长度的取值范围是3在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）.(1)求证：平面；(2)求二面角的大小；(3)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（建议用时：60分钟）一、单选题1如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且，下列说法不正确的是（

）A．B．若E是棱的中点，则平面截该正方体所成的截面是五边形C．当三棱锥体积最大时，的长度为D．当三棱锥体积最大时，二面角的正切值是2如图所示，在正方体中，若经过的平面分别交和于点，则四边形的形状是（

）A．直角梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．等腰梯形3在长方体中，分别是棱的中点，点满足，若过点的平面截长方体所得的截面为五边形，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题4如图所示，正方体的棱长为为棱（包括端点）上的动点，在的运动过程中，下列说法正确的是（

）A．三棱锥的体积始终为定值.B．平面截正方体的截面不可能为等腰梯形.C．恒有大于.D．的最小值为.5如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点，在底面内（包括边界），则下列说法正确的是（

）A．的最小值为B．当时，点的轨迹长度为C．存在唯一，使D．若，则三棱锥外接球的半径为6如图，已知正方体的棱长为2，点是侧面上的一个动点（含边界），且分别是棱的中点，则（

）

A．平面截该正方体所得的截面图形是正五边形B．平面平面C．若，则的最小值为D．若，则点的轨迹长度为7（多选）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的有（

）A．异面直线与所成的角为45°；B．此八面体的外接球与内切球的体积之比为；C．若点为棱上的动点，则的最小值为；D．若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为.三、填空题8已知四面体的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为是边长为3的正三角形，则四面体的体积的最大值为.9如图，正方体棱长为2，为线段的中点，为正方形的内切圆⊙上的动点，则面积的最大值为．10已知在棱长为的正四面体中，动点满足，记所在平面为，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为.11在棱长为的正方体中，E是正方形的中心，M为的中点，过的平面α与直线DE垂直，则平面α截正方体的截面面积为．12已知在四棱锥中，底面，且，动点E在侧面内以点P为圆心，1为半径的圆弧上，动点F在直线上，则的最小值为．13已知直四棱柱中高为1，底面是一个矩形，且，点是底边中点，动点在以为球心1为半径的球与（包括边界）的交线上，动点在直线上，则的最小值为．四、解答题14如图①所示，矩形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，得到图②的四棱锥为中点．(1)求证：平面；(2)若平面平面，求直线与平面所成角的大小；(3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．15如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点．现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点．

(1)求证：平面；(2)若，，则在线段上（不含端点）是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请指出点位置；若不存在，请说明理由．

专题2.3空间几何体截面问题及动点问题内容导航速度提升技巧掌握手感养成分析考情·探趋势锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标破解重难·冲高分方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化拔尖冲优·夺满分巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力近三年：空间几何体截面问题及动点问题是高考空间几何体中高频考点，主要考察空间几何体的一些截面长度问题，截面的面积问题，截面轨迹问题以及截面轨迹中的最值以及范围问题。另外空间几何体中的动点问题也是高考数学中的一个重难点。预测2026年：考向01判断截面形状考向02截面周长问题考向03截面面积问题考向04截面最值及范围问题考向05空间几何体中动点轨迹问题考向06空间几何体动点问题的定量计算考向01判断截面形状1截面的几种方法(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程.(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点.(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线.2高频几何体的截面问题(1)正方体的基本斜截面：正六面体的斜截面不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形．(2)圆柱体的基本截面：圆柱体：当平面平行于底面去截时，得到的截面是圆；当平面垂直于底面去截时，得到的截面是矩形；当平面既不平行也不垂直于底面去截时，得到的截面是椭圆或椭圆的一部分圆锥体：当平面平行于底面去截时，得到的截面是圆；当平面通过圆锥的顶点且垂直于底面去截时，得到的截面是等腰三角形；当平面既不平行于底面，也不通过顶点去截时，得到的截面是椭圆或抛物线或双曲线的一部分球的截面形状

①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；

②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.

(2)球的截面的性质

①球心和截面圆心的连线垂直于截面②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：.1在正方体中，P、Q、R分别是棱BC、、的中点，过P、Q、R三点的平面与正方体表面的交线围成的封闭图形的形状是（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【答案】D【分析】利用平面的性质作出过P、Q、R三点的截面，从而可判断其形状.【详解】如图，延长交的延长线于点，连接交于点，连接，因为P、Q、R分别是棱BC、、的中点，所以为的中点，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，则，连接交于点，交于点,连接，则六边形为过P、Q、R三点的平面与正方体表面的交线围成的封闭图形.故选：D2已知正方体中，点、满足，则平面截正方体形成的截面图形为（

）A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形【答案】B【解析】如图，因为点、满足，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，延长与交于点，连接交于，延长交于点，连接交于，连接，则五边形为所求截面图形，故选B．考向02截面周长问题1常见空间几何体截面的作法技法1直接法若截面上的点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，直接连线作截面.技法2平行线法若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行，可以借助于两个性质：①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行，利用平行线法作截面.2解题步骤：先作出截面图形，在根据题设条件求出截面的周长，要注重具体问题具体分析，尤其遇到似曾相识的问题时应注重联系已有的解题经验，应用所学的几何知识找到参数之间的内在关系，构建正确的数学方程，快速破解问题．1如图所示正方体中棱长为1，是棱的中点，则由，，三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为．【答案】【解析】延长相交于点，连接交于点，连接，则四边形即为所求截面图形,如图，因为为的中点，由相似比可知为的中点，则，因为，分别为，中点，所以，所以，，同理，，所以周长为.2如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（

）

A． B． C． D．【答案】B【详解】在正方体中，取的中点，的中点，连接，

由是的中点，得，则四边形为平行四边形，，由是的中点，得，梯形是正方体被平面所截得的截面，，，所以所求截面的周长是.故选：B3已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为．【答案】.【分析】根据已知条件易得，侧面，可得侧面与球面的交线上的点到的距离为，可得侧面与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结果.【详解】如图：取的中点为，的中点为，的中点为，因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，因为，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，因为，所以，所以根据弧长公式可得.故答案为：.考向03截面面积问题1常见空间几何体截面的作法技法1直接法若截面上的点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”，直接连线作截面.技法2平行线法若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行，可以借助于两个性质：①如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；②如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行，利用平行线法作截面.2解题步骤：先作出截面图形，在根据题设条件求出截面的周长，要注重具体问题具体分析，尤其遇到似曾相识的问题时应注重联系已有的解题经验，应用所学的几何知识找到参数之间的内在关系，构建正确的数学方程，快速破解问题．求解面积问题。截面一般是圆弧或者是特殊的平面多边形。1已知正四面体棱长为4，所有与它四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得的截面之和为（

）A．4 B． C． D．【答案】C【详解】如图1，E，F，G分别为正四面体棱的中点，此时它的四个顶点到截面EFG的距离相等，是边长为2的等边三角形，．这样的截面有4个；如图2，E，F，M，N分别为正四面体棱的中点，此时它的四个顶点到截面EFMN的距离相等，四边形EFMN是边长为2的正方形，，这样的截面有3个，所以满足条件的截面的面积之和为：．故选：C．2在长方体中，．若，点M在长方体内且，则平面ADM截长方体的截面面积为．【答案】【详解】已知，则，设，因为，，，，所以，化简得，得，即．又，则因，则组成一个平面，由可知在线段点在上，故点在平面内，连接并延长交于点，连接，过点作，交于点，连接，则矩形即平面截长方体得到的截面.因，即，．故答案为：.3已知正方体的棱长为3，点分别在棱，，则过，，三点的平面截正方体所得多边形的面积为【答案】【解析】如图所示：分别在棱上取点，且，易得，，故，同理可得，故，同理可求得，，故过三点的平面截正方体所得的多边形为六边形，其面积等于两个等腰梯形与的面积之和，由条件可得，，，从而可得梯形的高为，梯形的高为，故梯形的面积为，梯形的面积为，六边形的面积为．考向04截面最值及范围问题1（2025·云南曲靖·一模）已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，过棱作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，作平面，垂足为，取的中点，外接球的球心为，连接，易得为的中心，则，所以，设外接球半径为，则，即，解得，当垂直过的截面时，截面的面积最小，此时截面圆的直径为长，最小面积为，当截面过球心时，截面圆的面积最大，最大面积为，故截面面积的取值范围是.故选：B.2如图，正方形的边长为．现沿对角线将翻折到的位置，使二面角成直二面角．分别为的中点，点四点都在球的表面上，则过直线的平面截球所得截面圆面积的最小值是．

【答案】【分析】法一：记的中点为，可得为外接球球心，当点O到EF的距离即为球心O到截面圆的距离时，截面面积最小，结合勾股定理即可求解；法二：建立空间直角坐标系，同法一即可求解．【详解】方法一：由四边形为正方形，得球心即为BD的中点，所以球的半径，又连结、、、，则，，再过E作，垂足为G，过F作，垂足为H，则，

且由已知条件可得，则在等腰中，顶点O到底边EF的距离，当顶点O到底边EF的距离即为球心O到截面圆的距离时，截面圆面积最大，此时截面圆的半径，故最大面积为．方法二：易知球心即为BD的中点，所以球的半径，又连结、，则，如图建立空间直角坐标，，

则，，所以点O到直线EF的距离为：，以下同方法一；故答案为：．3三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，分别在棱上，且平面平面，若，则平面与三棱锥的交线围成的面积最大值为．【答案】【解析】如图所示，因为平面，设面，所以，同理：，设，所以，即，所以四边形为平行四边形，即，平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以，即，且，取中点，连接，易得，，，所以面，所以，所以，所以四边形为矩形，所以面与三棱锥的交线围成的面积，当，即为中点时，面积最大，最大值为，4已知正四棱柱为对角线的中点，过点的直线与长方体表面交于两点，为长方体表面上的动点，则的取值范围是.【答案】【分析】由，求出的最大值和最小值后即可得．【详解】为的中点，即为正四棱柱的中心，由对称性，为的中点，则，，，，所以，所以，故答案为：．

考向05空间几何体中动点的轨迹问题1对于翻折问题的动点及轨迹问题(1)翻折过程中寻找不变的垂直关系求轨迹.(2)翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹.(3)可以利用空间坐标运算求轨迹.2判断轨迹的类型问题，常常要借助于圆锥曲线的定义来判断，常见的轨迹类型有：线段、圆、圆锥曲线、球面等.在考查学生的空间想象能力的同时，又融合了曲线的轨迹问题1如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，其所在平面为α，且∠BAD=60∘，AB=2AA1=2．O是AC，A.若C1P=2，则动点P的轨迹长度为2π

B.若∠OC1P=90∘，则动点P的轨迹是一条直线

C.若OP=C1P，则动点P的轨迹是一条直线

解析：对于选项A，因为C1P=2，C1故点P的轨迹是以C为圆心，半径为3其轨迹长度是23π对于选项B，因为∠OC1P=故点P的轨迹是过点C1且垂直OC1的平面与α对于选项C，因为OP=C故点P的轨迹是过OC1的中点且垂直OC1的平面与对于选项D，因为空间中到直线OC1的距离为1的点的轨迹是一个以因此点P的轨迹是一个以O为中心的椭圆，短半轴长为1，长半轴长a满足asin30∘而底面ABCD为菱形，且∠BAD=60∘,AB=2因此点A，C为该椭圆的焦点，PA+PC=4，所以选项D正确．故选：BCD．2如图，将边长为2的正方形ABCD沿PD，PC翻折至A，B两点重合，其中P是AB中点，在折成的三棱锥A(B)−PDC中，点Q在平面PDC内运动，且直线AQ与棱AP的所成角为60°，则点Q运动的轨迹是

(

)

圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线解：因为直线AQ与棱AP所成的角为60∘，所以直线AQ旋转形成了与棱AP为轴的圆锥侧面，

要判断点Q在平面PDC内的轨迹，只需判断平面PDC与圆锥的轴AP所成的角的大小即可．

因为AP⊥AD，AP⊥AC，AD∩AC=A，所以AP⊥平面ADC，则AP⊥DC．

取DC的中点E，连接AE，PE．

由AD=BC得AE⊥DC，所以DC⊥平面APE，则平面ADC⊥平面APE，

所以∠APE即为直线AP与平面PDC所成的角，

在Rt△APE中，AP=1，PE=2，易得∠APE=60∘，

所以平面PDC与圆锥侧面相交得到的曲线为抛物线，即点Q3已知在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=22，点P是四边形A1B1C1D点P的轨迹为一条抛物线

B.直线PA1与直线CD所成角的最大值为π4

C.线段PB长的最小值为3

D.三棱锥解;对于A，过P点作PO垂直于底面ABCD，垂足为O，过O作

OH⊥AD

，垂足为H，连接OB，PH，PB，则

∠PHO=α

，

∠PBO=β

，又

α=β

，∵

OH=OB

，而O为P点在底面的投影，∴

PH=PB

，过P作

PM⊥A1D1

，垂足点为M，连接

PB1

，

则易得

PM=PB1

，∴点P的轨迹是以

B1

为焦点，

A1D1

为准线的抛物线的一部分，如图所示，故A错误；

对于B，∵

PA1

与

CD

所成的角即

PA1

与

C1D1

所成的角，

∴当

P

与

C1

重合时，

PA1

与

C1D1

所成的角最大为

π4

，故B正确，

对于C，当P点在

A1B1

的中点时，PB最短，此时

PB=3

，故C正确；

对于D，∵

VP−AABC1=V考向06空间几何体中动点的轨迹定量计算问题1对于翻折问题的动点及轨迹问题(1)翻折过程中寻找不变的垂直关系求轨迹.(2)翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹.(3)可以利用空间坐标运算求轨迹.2对于动点在某条直线或者是线段上移动，一般采用向量表示。1已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是．【答案】【分析】设O为中点，先由题设得和，进而得点M在以O为球心，半径为的球上，接着设，再将转化成即可计算求解.【详解】如图，O为中点，则由题意且，所以.因为，则即，所以点M在以O为球心，半径为的球上，设，则，所以.故答案为：.2如图，在棱长为2的正方体中，M是棱的中点．（1）三棱锥的体积是；（2）点P是侧面内（含边界）的动点，且MP∥平面，则线段MP长度的取值范围是【答案】【分析】（1）由直接计算求解即可；（2）取的中点为，的中点为，的中点为，证明平面平面，平面，线段扫过的图形为，通过证明，说明为直角，得线段长度的取值范围为即可得解．【详解】（1）；（2）取的中点为，的中点为，的中点为，作图如下：由图可知，，所以四边形为平行四边形，所以，因为，所以，因为，故平面平面，因为平面，所以平面，线段MP扫过的图形为，由知，，在中，，即，所以，所以，即为直角，故线段长度的取值范围为，即，故答案为：；．3在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）.(1)求证：平面；(2)求二面角的大小；(3)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，【分析】（1）由线面平行的判定定理证明，（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解，（3）设出得点坐标，由空间向量列式求解.【详解】（1）在梯形中，，，，P为的中点，可得为等边三角形，四边形为菱形，故，而平面，平面，平面，（2）由（1）得，，，故，，而平面平面，平面平面，平面，，平面，两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的一个法向量为，则，取得，平面的一个法向量为，故，二面角的大小为；（3）设，则，,,的，，设平面的一个法向量为CQ与平面所成角的正弦值为，化简得，解得（舍去）故存在，使得CQ与平面所成角的余弦值为．（建议用时：60分钟）一、单选题1如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且，下列说法不正确的是（

）A．B．若E是棱的中点，则平面截该正方体所成的截面是五边形C．当三棱锥体积最大时，的长度为D．当三棱锥体积最大时，二面角的正切值是【答案】B【分析】对A，建系由向量法证明；对B，由面面平行的性质定理确定截面形状；对C，由三棱锥的体积和的关系确定；对D，由三垂线定理得到二面角的平面角计算判断.【详解】对于A：以C为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，所以，所以，所以，A正确；对于B：若为棱的中点，则为的中点，所以，因为平面平面，所以平面与平面交线与平面和平面的交线平行，所以平面和平面的交线为，所以平面截该正方体所成的截面是四边形，B错误；对于C：因为，所以当三棱锥体积最大时，最大，又由可知最大时此时分别为线段中点，，C正确；对于D：当三棱锥体积最大时，分别为线段中点，取中点，连接，则，连接，由三垂线定理可知，所以是二面角的平面角，又，所以二面角的正切值是，D正确；故选：B.2如图所示，在正方体中，若经过的平面分别交和于点，则四边形的形状是（

）A．直角梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．等腰梯形【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，根据四点共面及向量的运算可得，又因为不共线，从而可证明四边形为平行四边形.【详解】设正方体的棱长为a，，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.∵在同一个平面内，∴，即，解得.所以，，即，所以且，又因为不共线，所以四边形是平行四边形.故选：C.3在长方体中，分别是棱的中点，点满足，若过点的平面截长方体所得的截面为五边形，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据长方体的性质，以及面面相交的概念，判断截面为五边形时的情况，进而判断结果.【详解】如图所示，要使点所在的截面为五边形，则截面与棱相交，因为是的中点，所以，因为，，所以，所以，在长方体中，，所以，所以，同理可得，即，因为，所以，即，所以，即实数的取值范围是.故选：B.二、多选题4如图所示，正方体的棱长为为棱（包括端点）上的动点，在的运动过程中，下列说法正确的是（

）A．三棱锥的体积始终为定值.B．平面截正方体的截面不可能为等腰梯形.C．恒有大于.D．的最小值为.【答案】AD【分析】根据三棱锥的体积公式、面面垂直等知识逐项判断即可.【详解】

因为面面，且交线为，棱与平行，所以点M到面的距离为定值，即三棱锥的高为定值，而面积也为定值，所以三棱锥的体积始终为定值，故A对；如图，当M点位于棱中点时，平面截正方体的截面为等腰梯形，故B错；当M运动到时，三角形为等边三角形，故，故C错；展开图中，由三边关系，当三点共线时等号成立，所以最小值为，故D对.故选：AD5如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点，在底面内（包括边界），则下列说法正确的是（

）A．的最小值为B．当时，点的轨迹长度为C．存在唯一，使D．若，则三棱锥外接球的半径为【答案】BCD【分析】作关于平面的对称点，则，根据长度及勾股定理，即可判断A的正误；过点作于，则为在平面上的射影，根据条件可证，即可得为的中点，分析求解，即可判断B的正误；如图建系，求得各点坐标，进而可得，坐标，根据，求得P点坐标，可判断C的正误；因为，，所以三棱锥外接球的直径为，求出长度，即可判断D的正误.【详解】选项A：作关于平面的对称点，则，所以的最小值为，故A项错误；选项B：过点作于，则为在平面上的射影，若要，只要即可，因为四边形为正方形，是棱的中点，且，所以，所以，又，所以，所以，即为的中点，又，所以点的轨迹的中位线，长度为，故B项正确；选项C：以为原点，以，，所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，则，所以，所以，即为的中点，故C项正确；选项D：因为，，所以三棱锥外接球的直径为，又，所以外接球的半径为，故D项正确．故选：BCD6如图，已知正方体的棱长为2，点是侧面上的一个动点（含边界），且分别是棱的中点，则（

）

A．平面截该正方体所得的截面图形是正五边形B．平面平面C．若，则的最小值为D．若，则点的轨迹长度为【答案】BD【分析】作出过点的截面，判断截面形状，可判断A的真假；根据线面垂直判定面面垂直，可判断B的真假；确定点位置，根据，的取值范围，判断C的真假；确定点轨迹，求轨迹长度，判断D的真假.【详解】对A：作出过的截面如下图：

延长和的延长线交于点，延长和交于点，因为为中点，所以为中点，同理为中点.则，即为的中位线，连接，则过点，连接，则四边形为过点的截面，所以平面截该正方体所得的截面是四边形，故A错误；对B：连接，，如下图：

因为为正方体，分别为，中点，所以.又，，平面，所以平面.所以平面，又平面，所以平面平面.故B正确；对C：当时，（），所以点在线段上，所以，时取等号；，时取等号.所以恒成立，而，所以的最小值为不可能为，故C错误；对D：因为，所以，所以点轨迹是以为圆心，1为半径的圆周的.所以点轨迹长度为：，故D正确.故选：BD7（多选）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的有（

）A．异面直线与所成的角为45°；B．此八面体的外接球与内切球的体积之比为；C．若点为棱上的动点，则的最小值为；D．若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为.【答案】BD【分析】利用正八面体的性质，找出异面直线与所成的角，即可求得其大小，判断A；分别求出八面体的外接球与内切球的半径，即可判断B；将沿折叠至平面中，结合平面图形性质，即可求得的最小值，判断C；求出三角形的内切圆半径，确定当点在平面内时，点在三角形的内切圆上运动，结合正八面体的对称性，即可求得动点的轨迹长度，判断D.【详解】对于A：连接，取中点，连接、，由题意可得在正八面体中，、为同一直线，、、、四点共面，又，故四边形为菱形，故，故异面直线与所成的角等于直线与所成的角，结合正八面体每个面都是正三角形，即得异面直线与所成的角等于，故A错误；对于B：由四边形为正方形，有，即，故四边形亦为正方形，即得，即点到各顶点距离相等，即此八面体的外接球球心为，半径为，设此八面体的内切球半径为，则有，即化简得，则此八面体的外接球与内切球的体积之比为，故B正确；对于C：将沿折叠至平面中，如图所示：则在新的平面中，、、三点共线时，有最小值，则，故C错误.对于D，设三角形的内切圆半径为，则由等面积法，有，解得，由B可知，点到平面的距离为，而，所以，这表明当点在平面内时，点在三角形的内切圆上运动，它的周长是，根据对称性可知动点的轨迹长度为，故D正确.故选：BD.三、填空题8已知四面体的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为是边长为3的正三角形，则四面体的体积的最大值为.【答案】【分析】求得球心到平面的距离，可求得到平面的距离的最大值，进而可求四面体的体积的最大值.【详解】设球心为，因为球的表面积为，所以球的半径.因为是边长为3的正三角形，所以的外接圆半径为，所以到平面的距离，所以到平面的距离的最大值为，所以四面体的体积的最大值为：.故答案为：9如图，正方体棱长为2，为线段的中点，为正方形的内切圆⊙上的动点，则面积的最大值为．【答案】/【分析】令，以为原点建系，设，利用坐标计算在上的投影向量的模长，再勾股定理计算点到直线的距离，最后结合一元二次函数求最值.【详解】令，而O是上底面内切圆圆心，故可以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，则，则，又内切圆半径为，则圆，且，因为正方形的内切圆圆上的动点，故可设，则，则在上的投影向量的模长为，则点到直线的距离为，又，则面积为，令，则，对称轴为，且开口朝下，故当时，，则面积的最大值为.故答案为：10已知在棱长为的正四面体中，动点满足，记所在平面为，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为.【答案】【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，设，根据题意，求得点的轨迹为一个球面，求得球心到平面的距离，结合截面圆的性质，得到截面圆的半径为，即可求解.【详解】以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正四面体的棱长为，设为的中心，可得平面，且，则，设，因为，可得，整理得，即点的轨迹为以为球心，半径为的球面，则球心到平面的距离为，即球心到平面的距离为，又由截面圆的性质，可得截面圆的半径为，所以截面圆的周长为.故答案为：.11在棱长为的正方体中，E是正方形的中心，M为的中点，过的平面α与直线DE垂直，则平面α截正方体的截面面积为．【答案】【分析】记AB的中点为N，连接MC，CN，，先由线面垂直的判定定理证明平面和平面进而得到截面，然后由菱形的面积公式可解.【详解】如图，在正方体，记AB的中点为N，连接MC，CN，．平面即为平面α，证明如下：由正方体性质可知，，则，M，C，N四点共面，记的中点为F，连接DF，易证．连接EF，则，平面，所以平面，又平面，则，同理可证，，，平面，则平面，所以平面即为平面α，且四边形即为平面α截正方体的截面，因为正方体的棱长为，易知四边形是边长为的菱形，其对角线，，所以其面积．故答案为：.12已知在四棱锥中，底面，且，动点E在侧面内以点P为圆心，1为半径的圆弧上，动点F在直线上，则的最小值为．【答案】【分析】先明确动点进行轨迹分析，再利用余弦定理进行距离转化，利用线面角的性