专题03 切线法应用（培优重难专练）（原卷版及解析）

1/10重难点03切线法应用内容导航速度提升技巧掌握手感养成重难考向聚焦锁定目标精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向重难考向保分攻略授予利器瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化重难冲刺练模拟实战挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”近三年：切线，作为导数考察的一部分，切线在近几年高考中以多种形式考察，既有选择题填空题形式考察，也在大题中进行考察，在大题中作为基础计算来考察的。考察求某点处求切线方程，考察过某点求切点或者参数，考察两天曲线的公切线，特别是作为比较难的考察点，考察切线与不等式，考察切线与零点结合的。预测2026年：切线是导数基础知识，基本技能之一，以切线为方法的突破点，切线法应用灵活多变，所以要注意切线法的数学思想考察，切线法在转化和化归题型中的运用。考向01切线基础1：“在点”切线求参“在点”型切线，列方程求参1．（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知在点处的切线与轴平行，则的值可能为（

）A． B． C． D．2．（25-26高三上·山西大同·期中）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（

）A． B． C． D．3．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知，曲线在点处的切线都过坐标原点，则（

）A． B．C． D．4．（25-26高三上·江苏·月考）已知函数，若在点可以作曲线的两条切线，则点的坐标可以为（

）A． B． C． D．考向02切线基础2：“过点”切线.若已知函数过平面上一点，且或点其中一项含有参数，但已知过该点切线数量，可参考考向四，设切点，此时,由切点与斜率写出切线方程，再将点代入，最后进行参变分离或利用判别式法求解参数范围.1．（2025高三·全国·专题练习）过坐标原点作曲线的两条切线，记其斜率分别为，，则（

）A．c B． C． D．2．（24-25·广东深圳·阶段练习）将函数的图象绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则（）A． B． C． D．3．（2025·河南周口·二模）将曲线绕原点逆时针旋转角后第一次与y轴相切，则（

）A． B． C． D．4．（2025高三·全国·专题练习）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（

）A． B．C． D．考向03切线基础3：切线条数求参.“过点”型切线，核心在于先设切点1．（2025高三·全国·专题练习）过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2022·江苏南通·模拟预测）已知过点作曲线的切线有且仅有条，则（

）A． B． C．或 D．或3．（2025高三·全国·专题练习）过曲线外一点作的切线恰有两条，则（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·模拟预测）若过点可作函数图象的两条切线，则必有（

）A． B．C． D．考向04切线基础4：存在公切线求参.两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上而解答方程根的问题最常见的方法是转化为函数交点后，利用数形结合解答：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数。转化为的交点个数的图象的交点个数问题.1．（24-25高三上·广东广州·月考）若直线是曲线与的公切线，则（）A． B． C． D．2．（24-25高三上·海南·开学考试）函数与函数公切线的纵截距为（

）A．1或0 B．-1或0 C．1或 D．-1或3．（24-25高二下·全国·课后作业）若曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（2024·辽宁·模拟预测）若至少存在一条直线与曲线和均相切，则的取值范围是（

）A． B．C． D．故选：D．考向05切线转化1：距离公式几何意义型.两点距离公式几何意义：，定义。所以，如果见到形如,可以转化为两点距离来求最值，转化时候要注意每个点对应的函数或者曲线。1．（2024·湖北·模拟预测）设，其中，则的最小值为（）A． B． C． D．2．（2022·山东聊城·二模）实数满足：，，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．83．（24-25高三上·江西赣州·期中）已知点，定义为的“可测距离”.若点在曲线上，且的最小值为4，则实数的值为.4．（2024·安徽合肥·一模）已知点，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为.考向06切线转化2：点到直线距离公式转化型.点到直线距离公式，可以借助转化1．（25-26高二上·广东·期中）不全为的实数对满足关系式，则这样的实数对共有（

）组.A．1 B．2 C．3 D．42．（25-26高二上·湖北荆州·期中）已知，函数的最小值为（

）A． B． C． D．3．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知实数满足，，，，则的最大值为（

）A． B． C． D．4．（2024·四川凉山·二模）已知点是曲线上任意一点，则的最大值为（

）A． B． C． D．考向8切线转化3：构造曲线型.对于双变量型,选择对应的函数关系，分别作主元x与y，构造曲线（函数），转化求解。1．（2025高三·全国·专题练习）已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为A． B． C． D．2．（2025高三·全国·专题练习）若＝＝1，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为（

）A． B．C． D．e4＋5e2＋53．（2025高三·全国·专题练习）已知实数满足，则的最小值为（

）A． B．C． D．4．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的最小值为A． B． C． D．考向07切线转化4：抽象函数切线.抽象函数取导数，按照复合函数求导法则进行求导运算。复合函数求导，简单记忆为“外导乘内导”。1．（2024·青海·二模）定义在上的函数满足，是函数的导函数，以下选项错误的是（

）A．B．曲线在点处的切线方程为C．在上恒成立，则D．2．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为A． B．C． D．3．（2024·广西桂林·模拟预测）已知函数的定义域为，且，若，则函数（

）A．以为最小正周期B．最大值是1C．在区间上单调递减D．在处的切线方程是4．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线斜率为（

）A． B． C． D．1考向09切线法应用1：切线法零点求参.涉及到零点个数和零点存在等求参，可以借助切线分界法+单调性（包含简单易判断的凸凹函数单调性）来处理。切线分界法，需要运用“在点”与“过点”切线知识来求解。1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若函数有且只有3个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·山东德州·期中）已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（25-26高三上·河北·月考）已知函数，若存在两个不同的实数满足，且，则实数a可能的范围是（

）A． B．C． D．4．（2023·河北唐山·模拟预测）已知函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．考向10切线法应用2：折线双切型.双折线，主要是涉及到直线含绝对值对应的折线。折线要注意以下几个容易失误的地方：折线往往对应曲线局部的切线，要注意切线与割线过渡的交点问题，如下图所示。绝对值型折线，有对称轴，，所以注意对称轴的“同步变化”对交点的影响。1．（24-25高三上·湖北·月考）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（25-26高三上·安徽·期中）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（24-25高三下·贵州贵阳·月考）已知函数，若不等式在上恒成立，则参数的取值范围是（

）A． B． C． D．考向11切线法应用3：不等式恒成立求参.不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图像在上方即可)；③讨论最值或恒成立.1．（2025·黑龙江·一模）若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的可能取值为（

）A． B． C．1 D．22．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知条件为“对，有”，实数在区间上变化时，满足条件的实数最大值与最小值之积为与实数有关的函数，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数若，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2024·四川眉山·三模）若关于的不等式恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．考向12切线法应用4：牛顿法牛顿迭代，只需要按照试题所给的定义要求，分步求对应的切线以及切线的横坐标即可1．（23-24高二下·江苏南通·月考）牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法.如图，方程的根就是函数的零点r，取初始值，的图象在点（，）处的切线与x轴的交点的横坐标为，的图象在点（，）处的切线与x轴的交点的横坐标为，一直继续下去，得到，，…，，它们越来越接近r.设函数，，用牛顿迭代法得到，则实数（

）A．1 B． C． D．2．（23-24高二下·四川乐山·期末）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线，与轴的交点的横坐标为，称是的一次近似值；过点做曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值．则（

）A． B． C． D．3．（2025高三·全国·专题练习）设r是方程f（x）＝0的根，选取x0作为r的初始近似值，过点（x0，f（x0））作曲线y＝f（x）的切线l，l的方程为y＝f（x0）＋（x－x0），求出l与x轴交点的横坐标x1＝x0－，称x1为r的一次近似值．过点（x1，f（x1））作曲线y＝f（x）的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标x2＝x1－，称x2为r的二次近似值．重复以上过程，得r的近似值序列，其中，＝－，称为r的n＋1次近似值，上式称为牛顿迭代公式．已知是方程－6＝0的一个根，若取x0＝2作为r的初始近似值，则在保留四位小数的前提下，≈A．2．4494 B．2．4495 C．2．4496 D．2．44974．（2023·广西·模拟预测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用，例如求方程的近似解，先用函数零点存在定理，令，，，得上存在零点，取，牛顿用公式反复迭代，以作为的近似解，迭代两次后计筫得到的近似解为；以为初始区间，用二分法计算两次后，以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为.考向13切线分隔法综合1：切线逼近型：.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.函数零点个数求法，可以通过“分涵”，转化为直线与曲线交点的问题。直线与曲线的交点问题，借助切线寻找分界情况。要注意函数凸凹的情况。如下图的极端情况，要注意区分1．（2025·湖北荆州·模拟预测）一个小孩玩滚珠子游戏，试图将大小不一的圆珠通过由曲线形成的空隙（如图），曲线可以近似看作函数的图象，要使圆珠通过空隙，则圆珠直径的取值范围应为（

）A． B． C． D．2．（2025·安徽·一模）已知点满足：是函数图象上任意一点.则的最小值为.3．（2025·河北邯郸·二模）设函数，若存在实数，使得恒成立，则实数的取值范围是．4．（24-25高三上·江苏苏州·期中）如图，对于曲线所在平面内的点，若存在以为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点，恒有成立，则称角为曲线的相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线的相对于点的“确界角”.已知曲线：（其中是自然对数的底数），为坐标原点，曲线的相对于点的“确界角”为，则.故答案为：.考向14切线分隔法综合2：切线逼近整数解.对于不等式含参型整数解，多转化为切线逼近求不等式整数解，。转化目标：一侧是可求导画图的函数一侧是含参型动直线。通过动直线与函数图像的关系，代入整数值，寻找满足整数解的参数范围要注意的是，因为是满足的整数解，所以代入点时，要“跳跃型”代入。1．（24-25高三上·吉林长春·期末）若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2025·四川达州·二模）关于的不等式的整数解个数为时，，设为数列的前项和，则（

）A． B． C． D．3．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数，若恒成立，则正整数的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2022·全国·模拟预测）若不等式有且仅有一个正整数解，则实数a的取值范围是．考向15切线分隔法综合3：两根型1．（2025高三·全国·专题练习）已知直线与曲线和分别相切于点，.有以下命题：（1）(为原点)；（2）；（3）当时，.则真命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知直线l分别与曲线，相切于点，，则的值为（）A．2 B．1 C．－2 D．－53．（2023·四川泸州·三模）已知函数有两个零点，，函数有两个零点，，给出下列三个结论：；；．其中所有正确结论的序号是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③4．（2023·湖北武汉·二模）已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则（

）A． B． C． D．考向16切线分隔法综合4：不等式3式放缩型1．（25-26高三上·山东·月考）若不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（25-26高三上·福建龙岩·月考）设.当时，恒有，则（

）A． B．0 C．1 D．23．（24-25高一上·山东日照·期末）已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（

）A．8 B．9 C．32 D．364．（23-24高二下·上海·期中）对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”.有以下两个结论：①在区间上优于；②在区间上优于.那么（

）A．①､②均正确 B．①正确，②错误C．①错误，②正确 D．①､②均错误冲刺练（建议用时：60分钟）一、单选题1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（）A． B．C． D．2．（25-26高三上·江苏南通·期中）若曲线有两条过点的切线，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．（2025·广东佛山·一模）已知函数的图象与轴相切，则实数的所有可能的值之积为（

）A． B．0 C．2 D．34．（25-26高三上·江苏苏州·期中）过点作曲线的两条切线，记两切点分别为，，若两条切线斜率之积为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（25-26高三上·重庆·月考）已知曲线，点在上，则的最小值为（

）A． B． C． D．6．（25-26高三上·宁夏银川·期中）已知是图象上任意一点，在处的切线与的图象交于两点，过点作图象的切线，交图象于点（与不在同一象限），连接．下列说法错误的是（

）A． B．C． D．直线与图象共有两个交点7．（25-26高三上·安徽·期中）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．8．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，是边长为2的正方形纸片，沿某动直线为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点都落在边上，记为；折痕与交于点，点满足关系式．以点为坐标原点建立坐标系，若曲线是由点的轨迹及其关于边对称的曲线组成的，等腰梯形的分别与曲线切于点P、Q、，且在x轴上．则梯形的面积最小值为（

）A．6 B． C． D．二、多选题9．（24-25高二下·广东湛江·期末）已知函数的定义域为，的导函数的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（）A．在上单调递减B．是的极小值点C．是的极大值点D．曲线在处的切线斜率为210．（25-26高三上·山东淄博·期中）设是函数的导数，若，且、，，则下列各项正确的是（）A． B．C． D．11．（25-26高三上·云南曲靖·月考）已知为奇函数，且时，取得极小值，过点至少能作出曲线的两条切线，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题12．（25-26高三上·陕西·月考）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为．13．（25-26高三上·安徽·期中）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则.14．（25-26高三上·云南昆明·期中）若函数的图象在、两点处的切线相互垂直，则.

重难点03切线法应用内容导航速度提升技巧掌握手感养成重难考向聚焦锁定目标精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向重难考向保分攻略授予利器瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化重难冲刺练模拟实战挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”近三年：切线，作为导数考察的一部分，切线在近几年高考中以多种形式考察，既有选择题填空题形式考察，也在大题中进行考察，在大题中作为基础计算来考察的。考察求某点处求切线方程，考察过某点求切点或者参数，考察两天曲线的公切线，特别是作为比较难的考察点，考察切线与不等式，考察切线与零点结合的。预测2026年：切线是导数基础知识，基本技能之一，以切线为方法的突破点，切线法应用灵活多变，所以要注意切线法的数学思想考察，切线法在转化和化归题型中的运用。考向01切线基础1：“在点”切线求参“在点”型切线，列方程求参1．（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知在点处的切线与轴平行，则的值可能为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导数的几何意义可得出，结合题意得出，可得出，，即可得出的表达式，即可得出合适的选项.【详解】因为，则，由题意可知，则，且，又因为切点为，所以，又，所以，则，故，D满足要求.故选：D.2．（25-26高三上·山西大同·期中）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得曲线在点处的切线，再根据直线与抛物线相切求解即可.【详解】由得，当时，，所以曲线在点处的切线方程为，即，由，得，所以，解得.故选：D.3．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知，曲线在点处的切线都过坐标原点，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】通过导数的几何意义确定在点处的切线方程为，进而结合选项逐个判断即可.【详解】由，得，在点处的切线方程为，又切线过原点，，，故选项A错误．，，所以为函数与的图象交点的横坐标，又两个函数都是奇函数，图象关于原点对称，所以，故选项B错误．由函数与的图象可知，，，所以，所以，即，又因为，所以，所以选项C错误，选项D正确．故选：D．4．（25-26高三上·江苏·月考）已知函数，若在点可以作曲线的两条切线，则点的坐标可以为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用分段函数在分界点处有公切线，从而猜想点在公切线上即可求解.【详解】作出函数的图象，求导得：，由于函数在处的切线，而函数在处的切线为，由于两分段函数在分界点处的切线相同，所以可取公切线上的点，再作函数的另一条切线即可，根据选项分析，只有在公切线上，故选：B考向02切线基础2：“过点”切线.若已知函数过平面上一点，且或点其中一项含有参数，但已知过该点切线数量，可参考考向四，设切点，此时,由切点与斜率写出切线方程，再将点代入，最后进行参变分离或利用判别式法求解参数范围.1．（2025高三·全国·专题练习）过坐标原点作曲线的两条切线，记其斜率分别为，，则（

）A．c B． C． D．【答案】B【分析】把函数展开，求出导数，设切点为，根据点斜式写出切线方程，代入原点坐标求出,代入导数可求出切线斜率，即可得到结论.【详解】由题知，则，设切点坐标为，则切线方程为，又切线过原点，则，解得或c，当时，，当时，，故．故选：B2．（24-25·广东深圳·阶段练习）将函数的图象绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由与相切即可求解；【详解】由题意可知：是过原点的切线，设切点坐标为，由，则，所以切线方程为，则，解得，则，所以.故选：C3．（2025·河南周口·二模）将曲线绕原点逆时针旋转角后第一次与y轴相切，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，分析可得是曲线过原点的切线，求出函数的导数，由导数的几何意义分析可得切点坐标，再将切点坐标代入，计算可得答案．【详解】根据题意，曲线绕原点逆时针旋转角后第一次与轴相切，则是曲线过原点的切线．设切点坐标为，又由，即切点处切线的斜率．即把切点坐标代入，得，解得，故，所以，故.故选：D．4．（2025高三·全国·专题练习）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设，利用导数表示出在点处的切线方程和在点处的切线方程，再代入点，化简即可得到结果.【详解】设，由，得，曲线在点处的切线方程为，把代入切线方程，得，化简得，同理可得曲线在点处的切线方程为，都满足直线，直线的方程为.故选：A考向03切线基础3：切线条数求参.“过点”型切线，核心在于先设切点1．（2025高三·全国·专题练习）过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求导分析的图象可得，再设切点坐标为，由题可得有三根，再构造函数求导分析图象单调性与最值即可【详解】由，，故当时，，单调递减，且；当时，，单调递增，结合图象易得，过点至多有3条直线与函数的图像相切，故.

此时，设切点坐标为，则切线斜率，所以切线方程为，将代入得，存在三条切线即函数有三个不同的根，又，易得在上，，单调递增；在和上，，单调递减，画出图象可得当，即时符合题意

故选：B【点睛】本题主要考查了利用导数解决切线的问题，同时也考查了构造函数，求导分析单调性，进而确定根的个数与参数取值范围的问题，属于难题2．（2022·江苏南通·模拟预测）已知过点作曲线的切线有且仅有条，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】设出切点，对函数求导得出切线的斜率，利用点斜式方程写出切线，将点代入，并将切线有且仅有条，转化为方程只有一个根，列方程求解即可．【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率，切线方程为直线过点，则，化简得切线有且仅有条，即，化简得，即，解得或故选：C3．（2025高三·全国·专题练习）过曲线外一点作的切线恰有两条，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出切点，求出切点处的导函数即切线的斜率，据点斜式写出切线的方程，将切点代入，列出关于切点横坐标的方程，据题意此方程有两个根，构造函数，通过导函数求出两个极值，令极值为0，求出，的关系.【详解】，过点作曲线C的切线，设切点，则切线方程为：，将代入得：即（*）由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根．令，，显然有两个极值点与，于是或当时，；当时，，此时经过与条件不符，所以，故选：A.4．（2023·全国·模拟预测）若过点可作函数图象的两条切线，则必有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设切点为，，求导，根据导数的几何意义可得有两个正根，利用判别式及根与系数关系列不等式可得解.【详解】设切点为，，又，所以切线斜率，所以切线方程为，又切线过点，则，，即，由过点可作两条切线，所以有两个正根，即，整理可得，故选：C.考向04切线基础4：存在公切线求参.两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上而解答方程根的问题最常见的方法是转化为函数交点后，利用数形结合解答：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数。转化为的交点个数的图象的交点个数问题.1．（24-25高三上·广东广州·月考）若直线是曲线与的公切线，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设直线与函数和的图象相切于点和，利用导数的几何意义，求得切线方程，列出方程组，结合斜率公式，即可求解.【详解】设直线与函数的图象相切于点，与的图象相切于点，因为，且，，则曲线在处的切线方程为，曲线在处的切线方程为，所以，解得，所以.故选：C.2．（24-25高三上·海南·开学考试）函数与函数公切线的纵截距为（

）A．1或0 B．-1或0 C．1或 D．-1或【答案】B【分析】先设切点分别为，并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得，最后计算值即可.【详解】设切点分别为，,且导数为，所以切斜方程为既为，也为，所以，所以，所以，所以或，所以公切线的纵截距为或.故选：B.【点睛】本题考查求公切线问题，解题关键是分别在函数上设不同切点并求切线方程，根据两切线方程一样来求解公切线斜率.3．（24-25高二下·全国·课后作业）若曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设切点，根据导数求解斜率，可得和，进而将问题转化为与函数的图象有交点，即可根据导数求解.【详解】由得，曲线在点处的切线斜率为由得在点处的切线斜率为，如果两条曲线存在公共切线，那么．又由斜率公式可得，由此得到，则有解，所以直线与函数的图象有交点即可．当直线与函数的图象相切时，设切点为，则，且，得，即有切点，此时，故实数a的取值范围是．

故选：D．4．（2024·辽宁·模拟预测）若至少存在一条直线与曲线和均相切，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分别假设公切线的切点，然后根据题意列出方程并化简，进而转化为两个函数有交点即可.【详解】，设公切线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则切线方程分别为，，所以由①得，代入②得．令，则，所以当时，，当时，，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，所以，又当时，，所以的值域为，所以的取值范围是．故选：D．考向05切线转化1：距离公式几何意义型.两点距离公式几何意义：，定义。所以，如果见到形如,可以转化为两点距离来求最值，转化时候要注意每个点对应的函数或者曲线。1．（2024·湖北·模拟预测）设，其中，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，，则可转化为曲线上的点与曲线上的点之间的距离与到直线的距离之和，据此利用导数和三角形不等式即可求解.【详解】令，，则点在函数图象上，在函数的图象上，容易知道图象是抛物线图象的上半部分，记抛物线焦点为，过作抛物线的准线的垂线，垂足为，如图所示：

则，当且仅当在线段上时，取最小值.设这时点坐标为，又，所以有，解得，即该点为，所以，因此.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于数形结合，将的值转化为点到点的距离与点到直线的距离之和的问题.2．（2022·山东聊城·二模）实数满足：，，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．8【答案】D【分析】由两点坐标表示距离公式可知的最小值转化为上的点与上的点的距离的平方的最小值，利用导数的几何意义和点到直线的距离公式计算即可求解.【详解】由，得，又，的最小值转化为上的点与上的点的距离的平方的最小值，由，得，与平行的直线的斜率为1，，解得或（舍），可得切点为，切点到直线的距离的平方，即为的最小值，的最小值为．故选：D3．（24-25高三上·江西赣州·期中）已知点，定义为的“可测距离”.若点在曲线上，且的最小值为4，则实数的值为.【答案】/【分析】依题意求出的反函数，将“可测距离”转化成一对反函数图象上两点之间的距离，利用导函数的几何意义求出切线方程即可求得结果.【详解】由函数可得，即，所以的反函数为.由点在曲线上，可知点在其反函数上，所以相当于上的点到曲线上点的距离，即，利用反函数性质可得与关于对称，所以当与垂直时，取得最小值为4，因此两点到的距离都为2.过点作切线平行于直线，斜率为1，由，得，可得，即，点到的距离，解得.当时，与相交，不合题意；当时，与不相交，符合题意.综上，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用反函数性质将“可测距离”问题转化为互为反函数图象上两点距离的最值问题，再由切线方程可解得参数值.4．（2024·安徽合肥·一模）已知点，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为.【答案】【分析】依题意求出的反函数，将“镜像距离”转化成一对反函数图象上两点之间的距离，利用导函数的几何意义求出切线方程即可求得结果.【详解】由函数可得，即,所以的反函数为,由点在曲线上可知点在其反函数上，所以相当于上的点到曲线上点的距离，即，利用反函数性质可得与关于对称，所以可得当与垂直时，取得最小值为2，因此两点到的距离都为1，过点的切线平行于直线，斜率为1，即，可得，即，点到的距离，解得，当时，与相交，不合题意；因此，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用反函数性质将“镜像距离”问题转化为两函数图象上两点距离的最值问题，再由切线方程可解得参数值.考向06切线转化2：点到直线距离公式转化型.点到直线距离公式，可以借助转化1．（25-26高二上·广东·期中）不全为的实数对满足关系式，则这样的实数对共有（

）组.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】可变形为，则可转化为点与点到直线的距离为，再分别以、为圆心，作半径为的圆，再利用两圆位置关系与公切线条数的关系计算即可得.【详解】由可得，即点与点到直线的距离都为，分别以、为圆心，作半径为的圆、圆，由，故两圆外离，则两圆共四条公切线，

由图可得，两圆公切线都不过原点，故有对这样的实数对，使得点与点到直线的距离都为.故选：D.2．（25-26高二上·湖北荆州·期中）已知，函数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，化简得，转化为点到点和到直线的距离之和的倍，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由函数，可得，则，因为表示点到定点的距离，表示点到直线的距离，所以表示点到点和到直线的距离之和的倍，如图所示，过点作，垂足为，当点在线段上时，可得，所以的最小值为.故选：C.3．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知实数满足，，，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，可得点在圆上，且，再利用目标式的几何意义，结合圆上的点到直线距离的最大值求解.【详解】设，由，得，点在以原点为圆心，2为半径的圆上，由，得，而，则，取线段中点，则，过分别作直线的垂线，垂足分别为，则，且，，，当且仅当共线时取等号，因此，当且仅当共线时取等号，所以的最大值为.故选：B4．（2024·四川凉山·二模）已知点是曲线上任意一点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】判断直线与曲线的位置关系，利用式子表示的几何意义，转化为点与点确定的直线同直线夹角正弦最值求解即可.【详解】依题意，，令直线，显然过点，由，得，显然，即直线与曲线相离，且，则曲线上的点在直线上方，过作于，则，而，因此，令过点的直线与曲线相切的切点为，由，求导得，则此切线斜率，解得，即切点为，而点在曲线的对称轴上，曲线在过点的两条切线所夹含原点的区域及内部，当点的坐标为时，锐角最大，最大，最大，此时，，所以的最大值为.故先：D【点睛】关键点点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数图象在切点处的切线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键.考向8切线转化3：构造曲线型.对于双变量型,选择对应的函数关系，分别作主元x与y，构造曲线（函数），转化求解。1．（2025高三·全国·专题练习）已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知得点在直线上，点在曲线上，的几何意义就是直线到曲线上点的距离最小值的平方，由此能求出的最小值.【详解】实数满足，，点在直线上，点在曲线上，的几何意义就是直线到曲线上点的距离最小值的平方，考查曲线平行于直线的切线，，令，解得，切点为，该切点到直线的距离，就是所求的直线与曲线间的最小距离，故的最小值为.故选：D【点睛】本题主要考查了代数式最小值的求法，曲线的切线，导数的几何意义，点到直线的距离，两点间距离公式，属于难题.2．（2025高三·全国·专题练习）若＝＝1，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为（

）A． B．C． D．e4＋5e2＋5【答案】C【分析】问题转化为曲线（）上的点与直线上的点之间的距离的平方，由曲线的单调性及同一平面直角坐标系中画出两解析式图象，得到曲线的切线与直线平行时，此时切点到直线的距离的平方即为所求，求出切点坐标，利用点到直线距离公式求得答案.【详解】由得：（），，则表示曲线（）上的点与直线上的点之间的距离的平方，（），当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，且，在同一平面直角坐标系中画出两解析式，如图所示：当曲线的切线与直线平行时，此时切点到直线的距离即为曲线（）上的点与直线上的点之间的距离的最小值，令，解得：，其中，所以切点为，其中，则即为答案.故选：C3．（2025高三·全国·专题练习）已知实数满足，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设是曲线的点，是直线的点，可看成曲线C上的点到直线l上的点的距离的平方，通过求函数到直线的最小距离，即可得到本题答案.【详解】由题，得，设是曲线的点，是直线的点，可看成曲线C上的点到直线l上的点的距离的平方，对求导得，令，得，所以曲线C上的点到直线l的距离最小，该点到直线l的距离为，因此的最小值为.故选：D【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用问题，其中涉及转化和化归思想的运用.4．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的最小值为A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可化为，故得．令，，则表示直线上的点与曲线上的点的最小距离的平方．利用导数的几何意义求出切点，再利用点到直线的距离公式即可得出所求结论．【详解】由题意，可化为，故得．令，则表示直线上的点与曲线上的点的最小距离的平方．设直线与曲线相切于点，不妨取．∵，∴，解得．∴切点为，∴，解得，∴切点到直线的距离，∴的最小值为．故选B．【点睛】解答本题的关键在于读懂题意，将所求转化为点到直线的距离的平方的最小值求解，即转化为两条平行线间的距离求解，体现了转化和数形结合在解题中的应用，具有一定的难度和综合性，考查对导数几何意义的理解和应用．考向07切线转化4：抽象函数切线.抽象函数取导数，按照复合函数求导法则进行求导运算。复合函数求导，简单记忆为“外导乘内导”。1．（2024·青海·二模）定义在上的函数满足，是函数的导函数，以下选项错误的是（

）A．B．曲线在点处的切线方程为C．在上恒成立，则D．【答案】C【分析】由，可得，即可得的解析式，结合导数计算、导数的几何意义及利用导数求函数的极值与最值即可判断各选项.【详解】由，有，则，即，则，整理得，有，则，，即，故A正确；，，故切线方程：，化简得，故B正确；在上恒成立，由，故，故C错误；不等式等价于，令，则，故当时，，在、上单调递减，当时，，在上单调递增，故有极小值，当时，有，故，即，故D正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过赋值法求出函数的解析式，再结合导数的运算，导数的几何意义，不等式恒成立问题的处理方法，利用导数求函数的最值判断各选项.2．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为A． B．C． D．【答案】C【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程.【详解】因为，所以，联立可解得，所以，所以.所以曲线在点处的切线方程为，故所求的切线方程为.故选：C.3．（2024·广西桂林·模拟预测）已知函数的定义域为，且，若，则函数（

）A．以为最小正周期B．最大值是1C．在区间上单调递减D．在处的切线方程是【答案】D【分析】先通过赋值法求得，然后利用正弦函数的性质判断ABC，求出导函数，利用导数的几何意义求得切线方程判断D.【详解】令，得，令，得，令，得，由以上3式，得即，则的周期为，且的最大值为，故A，B错误；令，则，又函数在上单调递增，在上单调递减，故的在区间上不单调递减，故C错误；因为，则；则在处的切线方程是，故D正确.故选：D4．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线斜率为（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】先求出，再求出切点和切线的斜率即得解.【详解】因为，所以，联立可解得，所以，.故选：C考向09切线法应用1：切线法零点求参.涉及到零点个数和零点存在等求参，可以借助切线分界法+单调性（包含简单易判断的凸凹函数单调性）来处理。切线分界法，需要运用“在点”与“过点”切线知识来求解。1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若函数有且只有3个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，得到是的一个零点，转化为和时，分别有一个零点，分类讨论，结合二次函数的性质，以及利用导数的几何意义，即可求解.【详解】解：由函数，若有且只有3个零点，当时，可得，可得是的一个零点，当时，由，可得，解得；当时，，可得，可得，要使得函数在上有一个零点，即函数与的图象有一个公共点，则满足，综上可得：，即函数有三个零点时，实数的范围为故选：B.

【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型①，构造函数或；②，构造函数或；③，构造函数或.2．（24-25高三上·山东德州·期中）已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】将问题转化为“的图象有三个交点”，然后作出的图象，根据经过点以及与相切分析出的临界值，则的范围可求.【详解】因为有三个不同零点，所以有三个不同实根，所以的图象有三个交点，在同一平面直角坐标系中作出的图象，当经过点时，代入坐标可得，解得；当与的图象相切时，设切点为，因为此时，所以，所以切线方程为，即，所以，可得；结合图象可知，若的图象有三个交点，则，故选：B.【点睛】思路点睛：求解函数零点的数目问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质.3．（25-26高三上·河北·月考）已知函数，若存在两个不同的实数满足，且，则实数a可能的范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用函数零点的意义构造函数，将问题转化为直线与函数的图象相切于点，再利用导数的几何意义结合零点存在性定理求得，进而求出值的可能区间.【详解】函数，由，得，令，求导得，当或时，；当时，，函数在上都单调递减，在上单调递增，的极小值，当时，函数的取值集合为，由存在两个不同的实数满足，得函数的图象与直线有两个交点，直线恒过定点，而，则直线与函数的图象有且只有一个交点，因此直线与函数的图象相切，切点坐标为，于是，消去并整理得，即，令，求导得，令，求导得，令，求导得，令，求导得，函数在上单调递增，，函数在上单调递增，，函数在上单调递增，，则，函数在上单调递增，而，于是存在，使得，即，令函数，求导得，函数在上单调递增，，因此，所以实数a可能的范围是.故选：D

4．（2023·河北唐山·模拟预测）已知函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，，，可将问题转化为方程组有且只有一组实数根.后通过研究曲线，及曲线过原点与的切线，可得答案.【详解】令，则，令，则，令，则.令在上单调递增；在上单调递减；又，，则有且只有两根，分别为.则函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点，等价于方程组有且只有一组实数根.令，则，当时，，则此时在上递增，又.即，则有且只有一组实数根.当时，方程组有且只有一组实数根，等价于函数图象与直线图象有两个交点，临界情况为两条直线与图象相切.当与相切，设对应切点为，因，则相应切线方程为；当与相切，设对应切点为，则相应切线方程为，则.综上，.故选：A【点睛】关键点睛：本题涉及同构以及用导数，函数思想研究函数图象的交点.同构时，需仔细观察，巧用指对互化，将相同结构放在一起以便简化问题，对于函数零点问题，常可转化为相关图象交点问题来解决.考向10切线法应用2：折线双切型.双折线，主要是涉及到直线含绝对值对应的折线。折线要注意以下几个容易失误的地方：折线往往对应曲线局部的切线，要注意切线与割线过渡的交点问题，如下图所示。绝对值型折线，有对称轴，，所以注意对称轴的“同步变化”对交点的影响。1．（24-25高三上·湖北·月考）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，转化为当时，和当时，的解的个数问题，作出函数和的图象，结合图象和导数的几何意义，即可求解.【详解】由题意知，要使得恰有2个零点，即有两个实数根，当时，，当时，，令，当时，可得，即；当时，，即，在同一坐标系下，作出函数和的图象，如图所示，由函数，可得，可得且，所以函数在的切线方程为，又由函数，可得，可得且，所以函数在的切线方程为，所以函数与只有一个公共点，结合图象得：当时，恰有3个零点；当时，恰有2个零点；当时，恰有1个零点，当时，恰有3个零点，要使得恰有2个零点，则满足，所以实数的取值范围为.故选：C.【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1.直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2.分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3.数形结合法，利用函数与方程思想先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型①，构造函数或；②，构造函数或；③，构造函数或.2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数与方程的关系，将函数的零点个数问题转化为方程的根的个数问题，进一步转化为两函数的交点个数问题，结合函数图象观察，分类讨论即得.【详解】解：由题意知，要使得恰有2个零点，即有两个实数根．当时，，令，可得；当时，，令，可得．在同一坐标系下，作出函数，和的图象，如图所示，由函数，可得，可得时，，，故函数在处的切线方程为，又由函数，可得，可得时，，故函数在的切线方程为，所以函数与只有一个公共点，结合图象得：当时，恰有3个零点；当时，恰有2个零点；当时，恰有3个零点，要使得恰有2个零点，则满足，所以实数的取值范围为．故选：C.3．（25-26高三上·安徽·期中）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将问题化为函数与函数恰有两个交点，利用导数的几何应用求临界情况下的切线方程，应用导数研究的性质，画出大致图象，数形结合确定参数范围.【详解】令，即，依题意，函数与函数恰有两个交点，所以，令或，解得或，而，，所以在，处的切线方程分别为，，当，则，即在上单调递增，当，则，即在上单调递减，所以函数的大致图象如下：由图知，的取值范围是.故选：C4．（24-25高三下·贵州贵阳·月考）已知函数，若不等式在上恒成立，则参数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得，作和在上的图象，的图象在图象上方，分图象在图象左右两侧两种情况讨论，结合导数的几何意义即可得解.【详解】由，，得，如图，作和在上的图象，由题意，的图象在图象上方，随值移动，①当图象在图象左侧，移动到与相切时，设与相切，，设切点为，则且由图象，所以，，结合图象，．②当图象在图象右侧，若与相交于点，，得，结合图象，，综上，.故选：D．考向11切线法应用3：不等式恒成立求参.不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图像在上方即可)；③讨论最值或恒成立.1．（2025·黑龙江·一模）若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的可能取值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】先把不等式化简转化，再构造函数令，再求导函数得出切线计算化简转化求解.【详解】不等式可化为，令，当时，，此时，直线恒过点，故只需直线为曲线在点处的切线即可，，此时．当时，曲线亦恒过点，为使，对一切恒成立，需曲线开口向下，且在点处与曲线有公切线即可，故，此时．综上，的取值范围是，所以的可能取值为.故选：A.2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知条件为“对，有”，实数在区间上变化时，满足条件的实数最大值与最小值之积为与实数有关的函数，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】由题可得，所以为过点且在函数下方的直线斜率，过点作的两条切线，设切点求得，再利用函数性质可求解.【详解】问题转化为，为过点且在函数下方的直线斜率，过点作的两条切线，设切点为，则有：，解得，设两个切点横坐标为，，则有，，而的最大值和最小值分别为和，所以，而，则.故选：C.3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数若，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分段函数，做出图象，求出函数在原点处的切线及对应的渐近线，数形结合得解.【详解】当时，，所以，又当时，，故，则曲线在原点处的切线方程为；当时，，即，为双曲线在第四象限的部分，其渐近线方程为，作图如下所示，若，显然不符合题意，故，所以要使，只需满足，故a的取值范围是．故选：C4．（2024·四川眉山·三模）若关于的不等式恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将不等式化为恒成立，即的图象恒在的图象的上方，利用导数研究函数，依题意得出当直线与在点处相切时取得最大值得结果.【详解】依题意，，不等式化为，设，则，当时，单调递增；当时，单调递减，所以在处取得极大值，也即最大值，又时，，由题知不等式恒成立，所以的图象恒在的图象的上方，显然不符题意；当时，为直线的横截距，其最大值为的横截距，再令，可得，且当直线与在点处相切时，横截距取得最大值，此时，切线方程为，所以取得最大值为.故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题关键点是将不等式化为恒成立，看作是的图象恒在的图象的上方，通过利用导数研究函数图像解决问题.考向12切线法应用4：牛顿法牛顿迭代，只需要按照试题所给的定义要求，分步求对应的切线以及切线的横坐标即可1．（23-24高二下·江苏南通·月考）牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法.如图，方程的根就是函数的零点r，取初始值，的图象在点（，）处的切线与x轴的交点的横坐标为，的图象在点（，）处的切线与x轴的交点的横坐标为，一直继续下去，得到，，…，，它们越来越接近r.设函数，，用牛顿迭代法得到，则实数（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】求得在的切线方程，代入求解即可．【详解】，，，则在处的切线方程为，由题意得，切线过代入得，，解得，故选：C．2．（23-24高二下·四川乐山·期末）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线，与轴的交点的横坐标为，称是的一次近似值；过点做曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值．则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题目所给定义，利用导数的几何意义求切线方程即可求解.【详解】由题意可得，，由导数的几何意义得过点做曲线的切线的斜率，所以，整理得，所以，，所以过点做曲线的切线的斜率，设该切线为，则，整理得，所以，故选：C3．（2025高三·全国·专题练习）设r是方程f（x）＝0的根，选取x0作为r的初始近似值，过点（x0，f（x0））作曲线y＝f（x）的切线l，l的方程为y＝f（x0）＋（x－x0），求出l与x轴交点的横坐标x1＝x0－，称x1为r的一次近似值．过点（x1，f（x1））作曲线y＝f（x）的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标x2＝x1－，称x2为r的二次近似值．重复以上过程，得r的近似值序列，其中，＝－，称为r的n＋1次近似值，上式称为牛顿迭代公式．已知是方程－6＝0的一个根，若取x0＝2作为r的初始近似值，则在保留四位小数的前提下，≈A．2．4494 B．2．4495 C．2．4496 D．2．4497【答案】B【详解】,，点处的切线方程为：,解得：又＝－∴.故选B．4．（2023·广西·模拟预测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用，例如求方程的近似解，先用函数零点存在定理，令，，，得上存在零点，取，牛顿用公式反复迭代，以作为的近似解，迭代两次后计筫得到的近似解为；以为初始区间，用二分法计算两次后，以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为.【答案】【分析】由牛顿法公式结合二分法的定义求解即可.【详解】已知，则.迭代1次后，，迭代2次后，，用二分法计算第1次，区间的中点为，，，所以近似解在上；用二分法计算第2次，区间的中点为，，，所以近似解在上，取其中点值，所求近似解为.故答案为：；.考向13切线分隔法综合1：切线逼近型：.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.函数零点个数求法，可以通过“分涵”，转化为直线与曲线交点的问题。直线与曲线的交点问题，借助切线寻找分界情况。要注意函数凸凹的情况。如下图的极端情况，要注意区分1．（2025·湖北荆州·模拟预测）一个小孩玩滚珠子游戏，试图将大小不一的圆珠通过由曲线形成的空隙（如图），曲线可以近似看作函数的图象，要使圆珠通过空隙，则圆珠直径的取值范围应为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函数与的图象关于直线对称，求出与直线平行，且、相切的切点坐标可得答案.【详解】函数与的图象关于直线对称，设与直线平行，且相切的直线方程为，切点为，设与直线平行，且相切的直线方程为，切点为，由解得，可得，由解得，可得，则，则圆珠直径的取值范围应为.故选：A.

2．（2025·安徽·一模）已知点满足：是函数图象上任意一点.则的最小值为.【答案】【分析】设利用导数研究函数的单调性，得出当时，函数最小值为.从而可得点在直线上运动.，设与平行的直线与相切于点，利用求导求得切点，结合图形计算出点到直线的距离即可.【详解】设，设，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，所以，即点在直线上运动.设与平行的直线与相切于点，令，得，故切点为，由图知其到直线的距离，即为的最小值.故答案为：3．（2025·河北邯郸·二模）设函数，若存在实数，使得恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【分析】将恒成立问题转化为曲线位置问题，再研究曲线相切的情况，利用导数的几何意义求出的取值，最后再分析曲线的性质得到取值范围即可.【详解】因为存在实数，使得恒成立，所以，若满足条件，只需在曲线的下方，且在曲线的上方即可，但我们只需找到与曲线均相切时的的值即可，我们先研究与曲线相切时的情况，设切点为，，由导数的几何意义得，将代入中，得到，解得，故，解得，代入中，得到，设当与的切点为，，将代入中，得到，由导数的几何意义得，解得，而在曲线的下方，且在曲线的上方，则越小，越大，更容易满足题意，故.故答案为：4．（24-25高三上·江苏苏州·期中）如图，对于曲线所在平面内的点，若存在以为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点，恒有成立，则称角为曲线的相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线的相对于点的“确界角”.已知曲线：（其中是自然对数的底数），为坐标原点，曲线的相对于点的“确界角”为，则.【答案】【分析】利用导数的几何意义，求出时，过原点且与相切的切线斜率，以及过原点且与相切的切线斜率，进而可得两切线互相垂直，即可求解.【详解】当时，过原点作的切线，设切点，则切线方程为，又切线过点，所以，所以，设，则，故为增函数，且，所以，当时，过原点作的切线，设切点，则切线为，又切线过点，所以，又，因为，所以两切线垂直，所以，即，故答案为：.考向14切线分隔法综合2：切线逼近整数解.对于不等式含参型整数解，多转化为切线逼近求不等式整数解，。转化目标：一侧是可求导画图的函数一侧是含参型动直线。通过动直线与函数图像的关系，代入整数值，寻找满足整数解的参数范围要注意的是，因为是满足的整数解，所以代入点时，要“跳跃型”代入。1．（24-25高三上·吉林长春·期末）若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】原不等式转化为函数的图象一定有部分在直线的下方，且该部分图象横坐标中没有整数，根据导数的几何意义求出直线与曲线相切时的斜率，画出函数图象，利用数形结合可得答案.【详解】原不等式可化为，设，则直线过定点，因为不等式的解集非空，所以函数的图象一定有部分在直线的下方，又因为不等式的解集中无整数解，所以该部分图象横坐标中没有整数，∵，∴．设直线与曲线相切于点，则有，消去a整理得，解得或，若，则切点横坐标为1，若不等式的解集非空，解集中一定含有整数1，所以不合题意，舍去；故，则切线的斜率为，解得．又由题意知原不等式无整数解，结合图象可得当时，，，当时，解得，当直线绕着点旋转时，要使不等式的解集非空，且解集中无整数解，必有得，故实数的取值范围是．故选：B．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键有两点：一是正确理解不等式的解集非空且不包含整数；二是数形结合思想的应用，将不等式问题转化为图象间的位置关系.2．（2025·四川达州·二模）关于的不等式的整数解个数为时，，设为数列的前项和，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，，，，，求出两函数在处的切线斜率，得到，进而得到的整数解个数为时，所满足的不等式，求出，再裂项相消求和，得到答案.【详解】，，设，，，，显然，，，其中在处的切线斜率为，在处的切线斜率为，若，时，的图象在的上方，不等式无解，则的整数解个数为0，不合要求，所以，当时，需满足，解得，当时，需满足，解得，当的整数解个数为时，需满足，解得，所以，所以，所以，故故选：C3．（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数，若恒成立，则正整数的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用公切线与隐零点，将问题转化为关于公切点的对勾函数求值域问题，即可得到答案.【详解】原不等式等价于，由图可知

若满足题意，只需小于与两个函数相切时的的值即可，设公切点为，因为，，所以，所以，所以，令，所以，所以单调递增，因为，，所以存在，使得，所以，令，则，根据对勾函数的性质知单调递减，所以，所以正整数的最大值为.故选：.4．（2022·全国·模拟预测）若不等式有且仅有一个正整数解，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】→→，，研究两个函数图像并得到点，→数形结合→【详解】依题意不等式可化为．令，，．函数的图像恒过定点．函数，，当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以当x＝1时，．又，记点，，且，当时，．作出函数大致图像，如图．若满足不等式有且仅有一个正整数解，则结合函数图像必有．又因为，，所以．【点睛】根据不等式的零点个数，求解参数的取值范围问题，通常会转化为两函数交点问题，要画出函数图象，数形结合进行求解.考向15切线分隔法综合3：两根型1．（2025高三·全国·专题练习）已知直线与曲线和分别相切于点，.有以下命题：（1）(为原点)；（2）；（3）当时，.则真命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】先利用导数求斜率得到直线的方程，可得出，分类讨论的符号，计算化简并判断其符号即得命题①正确；由结合指数与对数的互化，得到，即得的范围，得命题②错误；构造函数，研究其零点，再构造函数并研究其范围，即得到，得到命题③正确.【详解】，，所以直线的斜率，直线的方程为，即，同理根据可知，直线的方程为，故，得.命题①中，若，由可得，此时等式不成立，矛盾；时，，因此，若，则，有，此时；若，则，有，此时.所以根据数量积定义知，，即，故①正确；命题②中，由得，得或，故②错误；命题③中，因为，由②知，，或，故当时，即，设，则，故在是增函数，而，，故的根，因为，故构造函数，，则，故在上单调递减，所以，故，故③正确.故选：C.【点睛】本题考查了利用导数几何意义求曲线的切线，考查了利用函数的单调性研究函数的零点问题，属于函数的综合应用题，属于难题.2．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知直线l分别与曲线，相切于点，，则的值为（）A．2 B．1 C．－2 D．－5【答案】B【分析】利用导数求切点处的切线方程，可得，通过指数式对数式的运算，求出的值．【详解】由，有，在点处的切线方程为，即，在点处的切线方程为，即则有，得，所以，可得．故选：B．3．（2023·四川泸州·三模）已知函数有两个零点，，函数有两个零点，，给出下列三个结论：；；．其中所有正确结论的序号是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】D【分析】在同一坐标系作出与的图象，根据切线方程，得到有两个零点时，，由反函数得到有两个零点时，同样需要，由对称性得到，，且，得到答案.【详解】在同一坐标系作出与的图象，设在处的切线方程过原点，，则在处的切线方程为，将原点代入，解得，故在处的切线方程为，有两个零点，则，由于与，与互为反函数，故有两个零点，则，设函数与图象交点坐标分别为，；与图象交点坐标分别为，．其中点A，C关于直线对称，B，D关于直线对称，则，，且，故结论①②③均正确．故选：D【点睛】互为反函数的两个函数的性质：①反函数的定义域和值域分别为原函数的值域与定义域；②严格单调的函数存在反函数，但有反函数的函数不一定是单调的（比如反比例函数）；③互为反函数的两个函数关于对称，④奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也时奇函数；⑤如果一个函数图象关于对称，那么这个函数一定存在反函数，并且其反函数就是它本身.4．（2023·湖北武汉·二模）已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据结论恒成立可只考虑的情况，假设切点坐标，则只需考虑，，其中的情况，可将表示为；构造函数，，利用导数可求得的单调性，从而对进行放缩即可求得所求范围.【详解】对于任意，，，的范围恒定，只需考虑的情况，设对应的切点为，，，设对应的切点为，，，，，，只需考虑，，其中的情况，则，，其中，；又，，，；令，则，在上单调递增，，设，，又，，；令，则，令，则，在上单调递增，，即，在上单调递减，，，；综上所述：.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查导数与三角函数综合应用问题，解题关键是能够采用特殊值的方式，考虑不含变量的函数的情况，采用构造函数的方式对所求式子进行放缩，从而求得的范围.考向16切线分隔法综合4：不等式3式放缩型1．（25-26高三上·山东·月考）若不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】，只需求出与的公切线斜率，再结合图象分析即可.【详解】设，则，设与的公切线的切点分别为，则切线方程为，即，，即，所以①，②，由①式可得，代入②式可得，即，解得或，所以公切线的斜率为1或，由图可得.

故选：.2．（25-26高三上·福建龙岩·月考）设.当时，恒有，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】先对不等式合理变形，结合导数求出在处等号成立，进而求出的取值，最后得到即可.【详解】因为，所以，则恒成立，即，恒成立，可得恒成立，且，令，而，，令，则，可得在上单调递增，令，，令，，可得在上单调递减，在上单调递增，故，即在处等号成立，得到是和的公切线，而，，则，，得到，故A正确.故选：A3．（24-25高一上·山东日照·期末）已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（

）A．8 B．9 C．32 D．36【答案】D【分析】利用数形结合思想来求双变量的最大值即可.【详解】由函数，若对任意的，不等式恒成立，作出两个二次函数图象和动直线，利用数形结合分析：二次函数与直线交于点，与直线交于点，二次函数与直线交于点，与直线交于点，要使得取得最大值，则斜率取最小，轴截距取最大，此时直线过点A作函数的切线，不妨设切点为，则求导可得，所以过切点的切线方程为：，当切线过点时，有，解得或，因为，所以此时满足题意，故切线方程为：，此时，故，故选：D.【点睛】方法点睛：运用数形结合思想，可以作出两个二次函数，在共同的定义域内的部分图象，再作出一次函数直线介于两图象之间，从而分析斜率达到最小，轴截距达到最大的位置，通过图形可得过点A作函数的切线即可满足题意.4．（23-24高二下·上海·期中）对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”.有以下两个结论：①在区间上优于；②在区间上优于.那么（

）A．①､②均正确 B．①正确，②错误C．①错误，②正确 D．①､②均错误【答案】B【分析】在同一个平面直角坐标系作出函数在区间D上的图形，由题意给的定义，根据数形结合的数学思想依次判断即可求解.【详解】①：当时，；当时，，所以函数图象都经过点，则直线的方程为，即，在同一个平面直角坐标系作出函数在区间上的图形，如图，由图可知，，即存在使得在区间上恒成立，所以在区间上优于，故①正确；②：问题等同于在区间上优于在同一个平面直角坐标系作出函数在区间上的图形，如图，由图可得，，即，所以直线的方程为，即.设曲线在处且平行于直线的切线为，由，，得，解得，则切点，所以，即，取，则，所以切线位于直线的下方，则不存在实数使得，即在区间上优于，故②不正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解函数新定义，利用导数研究不等式恒成立，和导数的几何意义；在利用导数求切线