六年级数学（苏教版）：分数乘分数的算理与算法探究

六年级数学（苏教版）：分数乘分数的算理与算法探究一、教学内容分析

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，分数乘法是“数与代数”领域运算教学的关键节点。本课“分数乘分数”是学生从整数乘法、分数乘整数迈向更一般分数运算的必经阶梯，其算理理解是构建完整分数乘除法运算体系的核心基石。从知识图谱看，它上承分数的意义与分数乘整数，下启分数连乘、倒数的认识及分数除法，起到承前启后的枢纽作用。其关键技能在于理解“求一个分数的几分之几是多少”的乘法意义，并掌握“分子相乘作分子，分母相乘作分母”的算法。课标强调在探索算理的过程中，发展学生的数感、几何直观和运算能力，这要求教学不能止步于算法操练，必须深入理解“为什么这样算”。过程方法上，应引导学生经历从具体情境抽象出数学问题、利用几何直观（如长方形面积模型）进行表征与推理、最终归纳出一般算法的完整探究路径。素养价值层面，本课是培养推理意识和模型思想的绝佳载体，通过“数”与“形”的对应与转化，让学生体会数学的严谨与简洁之美，在探究中养成乐于思考、言必有据的科学态度。

针对六年级学生的认知特点进行学情研判。其已有基础是对分数意义有初步理解，并掌握了分数乘整数的计算方法，这为迁移学习提供了可能。然而，分数乘分数的抽象性更高，其算理（特别是“分母相乘”的几何意义）是学生普遍的认知难点，容易产生“分子分母分别相乘为何能表示‘几分之几的几分之几’”的困惑。部分学生可能受整数乘法负迁移影响，误以为分数乘法是“分子与分子加、分母与分母加”。因此，教学必须提供强有力的直观支撑，帮助学生在“形”中见“数”，化抽象为具体。在过程评估中，我将通过观察学生画图操作、聆听小组讨论、分析随堂练习等方式，动态诊断其对算理的理解层次。教学调适上，对理解困难的学生，提供更细致的分步操作指导和更多的图形反馈；对学有余力的学生，则引导其尝试解释算理的内在逻辑，或探究分数连乘的规律，实现差异化支持。二、教学目标

知识目标：学生能准确理解分数乘分数的意义，即“求一个数的几分之几是多少”的乘法本质。他们不仅能正确表述并执行“分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母”的计算法则，更能结合长方形图等直观模型，清晰阐释该算法的由来与合理性，实现从程序性记忆到概念性理解的跨越。

能力目标：学生能灵活运用数形结合的策略，主动将抽象的分数乘法算式转化为直观的图形面积问题进行表征与分析。在探究活动中，他们能进行有条理的数学推理，用数学语言表达“先分取再分取”的操作过程，并具备将具体案例归纳为一般算法的初步能力。

情感态度与价值观目标：在小组协作探究图形与算式关系的过程中，学生能乐于分享自己的发现，认真倾听并辨析同伴的观点，感受合作的价值。通过成功解决实际问题，增强学习数学的信心，体验探索算理过程中逻辑的严谨与数学的奇妙。

科学（学科）思维目标：重点发展学生的几何直观与推理意识。引导他们建立“一个分数乘分数算式对应一个长方形面积”的直观模型，并借助该模型，完成从操作感知到归纳推理的思维进阶，深刻体会“以形助数，以数解形”的数学思想方法。

评价与元认知目标：引导学生学会使用评价量表对同伴的图示与说理进行互评。在课堂小结时，能够回顾学习路径，反思“我是如何从困惑走向理解的”，总结利用图形探究算理这一策略的有效性，初步形成监控和调整自己学习过程的意识。三、教学重点与难点

教学重点：分数乘分数算理的理解与算法的掌握。确立此为重点，源于课标对运算能力核心素养的要求，强调理解算理是掌握算法的基础。分数乘分数的算理是分数乘法单元中的核心“大概念”，其理解深度直接决定后续解决分数实际问题、学习分数除法的效能。从学业评价看，无论是基础性计算还是解决复杂实际问题，该算理均是考查的枢纽与关键。

教学难点：理解分数乘分数的算理，特别是“分母相乘”的几何意义。难点成因在于其高度的抽象性，学生难以凭空想象两次“取部分”的叠加过程。常见的认知障碍是只能机械记忆算法，但无法解释“为什么分母要相乘”。基于学情，学生在作业中常出现因不理解算理导致的算法混淆错误。突破方向在于充分借助几何直观，通过“折一折”、“画一画”、“说一说”，将抽象的运算过程可视化、操作化，搭建从直观到抽象的认知桥梁。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件（包含动态分形动画、例题与练习题）；实物投影仪。1.2学习材料：设计分层学习任务单（含基础操作区、探究记录区与梯度练习区）；准备若干张画有长方形的方格纸（作为学具）。2.学生准备2.1预习与物品：回顾分数乘整数的意义与计算方法；携带直尺、彩笔。3.环境布置3.1座位安排：课桌椅按46人一组摆放，便于小组合作探究与讨论。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题驱动：1.1呈现情境：“小明家有一块长方形菜地，用来种玉米。其中的\frac{2}{3}种了甜玉米，而在这些甜玉米地中，又有\frac{4}{5}采用了新的有机种植法。请问，采用有机种植法的甜玉米地占整块菜地的几分之几？”（课件同步出示示意图）。同学们，这个问题你能直接列式吗？预设学生列出算式\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}或\frac{4}{5}\times\frac{2}{3}。1.2认知冲突：“这个算式和我们之前学的分数乘整数不太一样了，这是‘分数乘分数’。它该怎么计算呢？它的结果又表示什么意义？大家先猜猜看结果大概是多少？”（鼓励学生大胆猜测，可能有人说\frac{6}{8}，有人说\frac{8}{15}）。2.确立路径：“光猜可不行，我们需要可靠的推理。回想一下，我们学习分数乘整数时，曾借助图形来帮助理解。今天，我们同样请出我们的好帮手——长方形图，通过‘画数学’的方式来揭秘分数乘分数的奥秘。这节课，我们就一起从‘形’出发，探究‘数’的法则。”第二、新授环节任务一：初探意义，图形表征教师活动：聚焦导入问题，教师引导：“我们先来研究\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}。请大家拿出一号学习单上的长方形，它代表整块菜地。第一步，如何表示出这块地的\frac{2}{3}？”引导学生将长方形纵向平均分成3份，取其中的2份涂上阴影（一种颜色）。接着提问：“第二步，题目说‘在这些甜玉米地中，又有\frac{4}{5}采用了有机法’，这意味着我们要对哪部分进行再分？”明确是对阴影部分。示范将阴影部分横向平均分成5份。“那么，其中的4份（用另一种颜色涂色）就是什么？”引出“\frac{2}{3}的\frac{4}{5}”。最后提问：“现在，这双重颜色的部分（有机种植法的甜玉米地）占整块长方形菜地的几分之几？你是怎么数出来的？”学生活动：学生独立操作，在方格纸上按要求分一分、涂一涂。观察最终图形，尝试描述操作过程：先平均分3份取2份，再对这2份平均分5份取4份。数出双重涂色部分占整张纸总格数（15格）中的8格，得出结果\frac{8}{15}。小组内交流自己的操作与发现。即时评价标准：1.操作规范性：能否正确进行两次平均分，且方向明确（先纵后横）。2.语言表达准确性：能否用“先求…的几分之几，再求这部分的几分之几”来叙述过程。3.结果解释的清晰度：能否结合图形说明\frac{8}{15}的含义。形成知识、方法清单：★分数乘分数的意义：\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}就是求\frac{2}{3}的\frac{4}{5}是多少。其本质是连续两次“求一个数的几分之几”，与整数、分数乘整数的意义一脉相承。★数形结合的基础模型：用一个长方形表示单位“1”，两次不同方向的分与取，可以直观呈现分数乘分数的意义与结果。这是本节课探究的核心脚手架。▲操作提示：在图形中，第一次平均分的份数（3）和所取的份数（2），对应了第一个分数；第二次平均分的份数（5）和所取的份数（4），对应了第二个分数。最终结果，可以通过数“小格子”得到。任务二：归纳联系，猜想算法教师活动：教师利用实物投影展示几位学生规范的作品。引导观察：“同学们，仔细观察图形和算式，你有什么惊人的发现？结果\frac{8}{15}的分子8、分母15，分别与原来两个分数的分子、分母有什么关系？”组织小组讨论。可以进一步启发：“看看长方形被平均分成了多少份？这个总数是怎么来的？双重涂色部分有多少这样的小份？这个数又是怎么来的？”当学生发现“3×5=15”，“2×4=8”时，追问：“这仅仅是巧合吗？”学生活动：学生观察图形与算式，积极思考与讨论。他们可能会发现：长方形被平均分成的总小格数（15）正好是原两个分数分母3和5的乘积；双重涂色部分的格数（8）正好是原两个分数分子2和4的乘积。由此猜想：分数乘分数，可能就是用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。即时评价标准：1.观察的细致度：能否发现分子、分母与图形中格数的对应关系。2.猜想的合理性：猜想是否基于图形事实，并能用语言初步解释。3.小组协作的有效性：能否在讨论中倾听并整合不同组员的发现。形成知识、方法清单：★算法初步猜想：基于图形直观，归纳猜想分数乘分数的计算方法：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。★算理的图形对应：分母相乘（3×5），对应的是将单位“1”总共平均分成的份数；分子相乘（2×4），对应的是连续两次所取份数相乘得到的总份数。这正是“\frac{2}{3}的\frac{4}{5}”在图形上的精确数学表达。▲思维过渡：从具体的、特殊的例子中寻找规律，提出猜想，是数学发现的重要方法。但一个例子不足以证明规律，我们需要更多验证。任务三：多样验证，确认算法教师活动：提出验证要求：“我们的猜想对吗？请各小组任选一个新的分数乘法算式（如\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}、\frac{3}{4}\times\frac{1}{3}），再次利用长方形图画一画、算一算，看结果是否仍然符合‘分子乘分子，分母乘分母’的规律。”巡视指导，关注学生操作的准确性与思考的深度。收集不同的验证案例。学生活动：小组合作，选择算式，共同完成画图验证。记录操作过程与计算结果。通过对比画图得到的面积分数与按猜想计算的结果，确认两者一致，从而强化对猜想的信心。各小组准备汇报验证过程与结论。即时评价标准：1.验证的严谨性：所选算式是否合理，画图操作是否规范、准确。2.结论的明确性：能否清晰地陈述验证过程，并得出支持猜想的结论。3.表达的条理性：汇报时逻辑是否清晰，图示与讲解能否结合。形成知识、方法清单：★算法的验证与确认：通过多个不同算例的独立操作与计算，验证了“分子相乘作分子，分母相乘作分母”这一算法的普遍适用性。此时，算法从猜想变为被确认的计算法则。★探究路径的完整性：经历“具体问题→操作感知→观察发现→提出猜想→实例验证→确认规律”的完整科学探究过程，体验数学结论的得出需要严谨的逻辑支撑。▲教学提示：验证环节至关重要，它让学生从被动接受变为主动建构，亲历“再创造”过程，对算法和算理的理解将更为牢固。任务四：抽象提炼，规范表达教师活动：组织各小组汇报验证结果，教师板书核心算式与计算过程。在此基础上，引导学生脱离具体图形，进行抽象概括：“现在，谁能用最简洁的数学语言，总结一下分数乘分数的计算方法？”师生共同提炼，并板书计算法则。强调书写格式与约分的提示：“计算时，可以先约分再相乘，这样能使计算更简便。比如\frac{3}{4}\times\frac{2}{9}，我们可以先让分子3和分母9约分，分母4和分子2约分。”展示范例。学生活动：参与集体总结，用规范的数学语言表述计算法则。观察教师范例，学习先约分再乘的简便技巧，并理解约分的原理（本质是在图形操作前就进行等分单元的合并）。尝试口头计算几个包含可约分因子的算式。即时评价标准：1.语言概括的准确性：能否完整、精炼地复述计算法则。2.简便计算的意识：能否识别出可先约分的算式，并正确进行约分操作。形成知识、方法清单：★分数乘分数的计算法则：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。用字母表示为：\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\timesc}{b\timesd}(b,d\ne0)。★计算优化策略——先约分：在相乘之前，先观察分子与分母之间是否存在公约数，进行交叉约分。这不仅能简化计算，也体现了对分数基本性质的灵活运用，是运算能力的重要体现。▲易错点警示：约分是分子与分母约，必须是“相乘关系”的分子和分母之间进行。计算结果是假分数的，通常要化成带分数或整数。任务五：回归问题，综合应用教师活动：回到导入的菜地问题，请学生完整解答。出示变式应用题：“一个长方形桌面，长\frac{4}{5}米，宽\frac{1}{2}米，它的面积是多少平方米？”提问：“这题和刚才的有什么不同？长方形的面积公式是什么？如何列式？”引导学生理解分数乘分数同样可以解决求面积等实际问题，其意义是相通的。学生活动：独立完成导入问题的解答。分析面积问题，明确这是“\frac{4}{5}的\frac{1}{2}”或“\frac{1}{2}的\frac{4}{5}”，列式为\frac{4}{5}\times\frac{1}{2}，并计算得出面积。体会分数乘法在实际生活中的应用。即时评价标准：1.问题解决的完整性：能否规范写出算式、计算过程和答句。2.意义迁移能力：能否将“求一个数的几分之几”的意义成功迁移到几何度量情境中。形成知识、方法清单：★意义与算法的统一应用：无论是“部分的部分”情境，还是“长×宽”的几何度量情境，只要是“求一个数（分数）的几分之几”，都可以用分数乘法解决。算法是工具，算理是灵魂。★完整的解题规范：在实际问题中应用分数乘法，需遵循“审题→列式→计算（可先约分）→作答”的步骤，培养严谨的解题习惯。第三、当堂巩固训练

基础层（全员必做）：1.看图写算式并计算。（提供两幅分数乘分数的长方形图）2.直接写出得数：\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}，\frac{2}{5}\times\frac{5}{6}（强调先约分），\frac{3}{8}\times\frac{4}{9}。

综合层（多数学生挑战）：3.解决问题：一杯纯果汁重\frac{3}{4}千克。小华喝了这杯果汁的\frac{2}{3}，他喝了多少千克果汁？画图表示你的思考过程。4.判断并改正：小明认为\frac{2}{7}\times\frac{3}{5}=\frac{2\times3}{7+5}=\frac{6}{12}，他错在哪里？

挑战层（学有余力选做）：5.探究：\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}的积与因数\frac{a}{b}、\frac{c}{d}比，大小有什么规律？（a,b,c,d均为正整数）你能举例说明并尝试解释原因吗？

反馈机制：学生完成后，小组内交换批改基础题，教师巡视指导。综合题与挑战题通过实物投影展示不同解法，重点讲评第4题（典型错误辨析）和第3题（如何画图表征）。对挑战题，邀请有想法的学生分享发现（如：真分数乘真分数，积小于任何一个因数），并鼓励学生用长方形图进行直观解释。第四、课堂小结

引导学生进行结构化总结：“同学们，今天我们这趟‘分数乘分数’的探险之旅即将到站。谁能用一张简单的思维导图或几个关键词，来梳理一下我们的收获？”鼓励学生从“我们学到了什么（知识）？”“我们是怎样学到的（方法）？”“学习过程中有什么深刻的体会？”三个层面进行反思。学生可能会提到：意义、算法、先约分、画图帮助理解等。

教师进行升华：“看来大家都抓住了核心。我们用‘数形结合’这把金钥匙，打开了分数乘分数计算法则的大门。今后遇到复杂的分数问题，别忘了可以请‘图形’这位老朋友来帮忙。”

作业布置：必做题：1.完成练习册基础部分相关题目。2.任选一道今天做过的题，用文字把它的算理讲给家人听。选做题：1.研究：\frac{5}{6}\times\frac{6}{5}等于多少？像这样的两个分数有什么特点？2.数学日记：记录你今天对“先约分再乘”这一技巧的理解和感受。六、作业设计

基础性作业：1.计算：\frac{3}{7}\times\frac{5}{8},\frac{9}{10}\times\frac{2}{3}(要求先约分)，\frac{4}{11}\times\frac{11}{4}。2.根据算式\frac{3}{4}\times\frac{1}{2}在方格纸上画出长方形示意图，并标出结果。

拓展性作业：3.情境应用题：一块长方形黑板，长2\frac{1}{2}米，宽\frac{4}{5}米。(1)黑板的面积是多少平方米？(2)如果给黑板四周镶上铝合金边框，需要多长的铝合金条？（此题涉及带分数乘分数及长方形周长，具有综合性）。4.小调查：在生活中（如食谱、药品说明书、布料裁剪说明等）寻找一个涉及分数乘法的例子，记录下来并尝试计算。

探究性/创造性作业：5.数学魔术：设计一个“分数乘法猜数”小魔术。准备几张写有分数乘法算式的卡片（结果需要计算），你能不直接说出答案，而是通过描述图形变化的过程，让同伴猜出算式或结果吗？写下你的魔术脚本。6.算法推演：不借助图形，尝试用纯算术推理（利用分数基本性质和整数乘法意义）解释为什么\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\timesc}{b\timesd}。（提示：将\frac{a}{b}看作a个\frac{1}{b}）七、本节知识清单及拓展★1.分数乘分数的意义：求一个分数的几分之几是多少。例如，\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}表示求\frac{2}{3}的\frac{4}{5}是多少。这是乘法意义的一致性体现。★2.核心探究模型——长方形面积模型：将单位“1”视为一个长方形，分数乘分数可通过两次不同方向的平均分与取部分来直观演示。第一次分取对应第一个分数，第二次对第一次取的部分进行分取，对应第二个分数。★3.分数乘分数的计算法则：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。公式：\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\timesc}{b\timesd}(b,d\ne0)。这是本课必须掌握的核心算法。★4.算法背后的算理：分母相乘(b×d)，表示将单位“1”总共平均分成的份数；分子相乘(a×c)，表示最终所取的份数。这完美对应了长方形模型中被分成的总小格数和双重涂色格数。★5.计算优化技巧——先约分：在计算过程中，先观察分子与分母之间是否有公因数，进行交叉约分，然后再相乘。这能使计算简便，是运算熟练度的重要标志。例如，\frac{3}{8}\times\frac{4}{9}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{6}。★6.规范解题步骤：解决分数乘法的实际问题，应遵循：审清题意→根据分数乘法的意义列出算式→正确计算（可先约分）→写出完整答句。▲7.积与因数的大小关系规律（拓展）：一个数（0除外）乘一个真分数（小于1的数），积小于它本身。两个真分数相乘，积小于其中任何一个因数。可用“取部分”的意义或长方形面积模型直观理解。▲8.与分数乘整数的联系：分数乘整数可以看作分母为1的分数乘分数，即\frac{a}{b}\timesc=\frac{a}{b}\times\frac{c}{1}。因此，分数乘分数的法则是分数乘法更一般的形式。▲9.易错点提醒：避免将算法误记为“分子加分子、分母加分母”。计算结果是假分数时，一般要化为带分数。注意运算顺序，在混合运算中，分数乘法的优先级与整数乘法相同。▲10.思想方法提炼：本课核心思想是数形结合。通过“以形助数”理解算理，通过“以数解形”抽象算法。探究过程体现了从特殊到一般、猜想与验证的数学思维方法。八、教学反思

（一）目标达成度分析。从课堂反馈与当堂练习看，绝大多数学生能正确计算基础的分数乘分数算式，尤其是掌握了先约分的技巧，表明知识与技能目标基本达成。在小组汇报和解决实际问题环节，约七成学生能较为准确地将算式意义与图形表征联系起来进行说明，推理意识与几何直观能力得到了有效锻炼，过程与方法目标初见成效。情感目标方面，学生在合作画图、验证猜想时表现积极，课堂参与度高。

（二）环节有效性评估。导入环节的情境成功引发了认知冲突，驱动了探究欲望。新授环节的五个任务构成了逻辑严密的认知阶梯：任务一（操作感知）是基础，任务二（观察猜想）是飞跃，任务三（多样验证）是关键，任务四（抽象法则）是结晶，任务五（回归应用）是深化。其中，任务二到任务三的过渡是难点也是亮点，学生从“发现一个特例的规律”到“主动验证其普遍性”，思维经历了质的跨越。我意识到，这里留给学生讨论和猜想的时间必须充足，教师的“急”会扼杀学生的“悟”。巩固训练的分层设计满足了不同学生的需求，挑战题关于“积与因数大小关系”的讨论，意外地激发了优等生的深度思考，为后续学习埋下了伏笔。

（三）学生表现深度剖析。在巡视中，我注意到三类典型学生：A类（基础较好）能迅速完成操作并主动发现规律，甚至能尝试解释“分母相乘”的几何意义。对他们，我通过