《用数学归纳法证明不等式》参考学案2

1/6§4.2.2用数学归纳法证明不等式☆学习目标：1.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;2.会运用数学归纳法证明不等式重点：应用数学归纳法证明不等式.☻知识情景：关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：10.验证n取时命题(即n＝时命题成立)(归纳奠基）；20.假设当时命题成立，证明当n=k＋1时命题(归纳递推）.30.由10、20知，对于一切n≥的自然数n命题！(结论）要诀:递推基础,归纳假设,结论写明.数学归纳法的应用：例1.求证：，其中，且．例2已知数列的各项为正，且.（1）证明;（2）求数列的通项公式.例3(06湖南）已知函数,数列满足:证明:(ⅰ);(ⅱ).例4（09山东）等比数列{}的前n项和为,已知对任意的,点均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值；（11）当b=2时，记证明：对任意的，不等式成立

参考答案1.关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：10.验证n取第一个值时命题成立(即n＝时命题成立)(归纳奠基）；20.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立(归纳递推）.30.由10、20知，对于一切n≥的自然数n命题都成立！(结论）要诀:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.例1.求证：，其中，且．分析：此题是2004年广东高考数学试卷第21题的适当变形，有两种证法证法一：用数学归纳法证明．（1）当m=2时，，不等式成立．（2）假设时，有，则，∵，∴，即．从而，即时，亦有．由（1）和（2）知，对都成立．证法二：作差、放缩，然后利用二项展开式和放缩法证明．∴当，且时，．例2（2005年江西第21题第（1）小题，本小题满分12分）已知数列（1）证明（2）求数列的通项公式an.分析：近年来高考对于数学归纳法的考查，加强了数列推理能力的考查。对数列进行了考查，和数学归纳法一起，成为压轴题。解：（1）方法一用数学归纳法证明：1°当n=1时，∴，命题正确.2°假设n=k时有则而又∴时命题也正确.由1°、2°知，对一切n∈N时有方法二：用数学归纳法证明： 1°当n=1时，∴；2°假设n=k时有成立，令，在[0，2]上单调递增，所以由假设有：也即当n=k+1时成立，所以对一切．（2）下面来求数列的通项：所以则又bn=－1，所以．本题也可先求出第（2）问，即数列的通项公式，然后利用函数的单调性和有界性，来证明第（1）问的不等式．但若这样做，则无形当中加大了第（1）问的难度，显然不如用数学归纳法证明来得简捷．例3（06年湖南卷.理.19本小题满分14分）已知函数,数列{}满足:证明:(ⅰ);(ⅱ).证明:（I）．先用数学归纳法证明，ｎ＝1,2,3,…(i).当n=1时,由已知显然结论成立.(ii).假设当n=k时结论成立,即.因为0<x<1时,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在[0,1]上连续,从而.故n=k+1时,结论成立.由(i)、(ii)可知，对一切正整数都成立.又因为时，，所以，综上所述．（II）．设函数，．由（I）知，当时，，从而所以g(x)在(0,1)上是增函数.又g(x)在[0,1]上连续,且g(0)=0,所以当时，g(x)>0成立.于是．故．点评：不等式的问题常与函数、三角、数列、导数、几何等数学分支交汇，综合考查运用不等式知识解决问题的能力，在交汇中尤其以各分支中蕴藏的不等式结论的证明为重点.需要灵活运用各分支的数学知识.例4解(1):因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,（2）当b=2时，,则,所以下面用数学归纳法证明不等式成立.当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.假设当时不等式成立,即成立.则当时,