广东汕尾市2025-2026学年度第一学期期末教学质量监测高一数学试题（原卷+解析）

广东汕尾市2025-2026学年度第一学期期末教学质量监测高一数学试题本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处．2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．考试结束后，请将本试题及答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.2.半径为1圆中，的圆心角所对的弧的长度是（）A. B. C.60 D.303.的值是（）A. B. C. D.4.下列各选项中，是必要不充分条件的是（）A. B.C. D.：四边形是长方形，：四边形对角线互相垂直且平分5.向一个下底面积小于上底面积的圆台形容器匀速注水（容器原本无水，注水速率恒定），设注水时间为，容器内水面高度为，则以下函数中，最能近似反映与这一变化现象的是（）A. B. C. D.6.已知连续的奇函数的定义域为在上单调递减，在[0,2]上单调递增，且，则下列判断正确的是（）A. B.C. D.7.关于的方程有且仅有2个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.，且8.已知方程和的根分别是，则的值是（）A.2 B.4 C.12 D.6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题中，是真命题的是（）A.必有算术平方根 B.是无理数C.为奇数 D.是无理数10.（多选）已知函数的定义域为，若存在常数使得函数为奇函数，则称的图象关于中心对称．下列说法正确的是（）A.若，则图象关于点中心对称B.若关于点中心对称，则C.若关于点中心对称，则D.若同时关于点与点中心对称，则是周期函数11.（多选）已知函数若关于的方程有4个不同的根，它们从小到大依次为，则（）A. B.C. D.有7个零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则的取值范围为___________．13.已知在[3,15]上具有单调性，则实数的取值范围为___________．14.已知函数和（其中且）．若函数和的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标之和为1，则实数的值为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知．（1）求的值；（2）求的值16.已知集合，其中．（1）求集合及；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的值．17.“百县千镇万村高质量发展工程”在广东持续深入推进，汕尾某驻村帮扶队结合当地“海丰油粘米”特色产业，推出“礼盒装油粘米”（每盒含1袋精品油粘米），通过电商助销拓展销路．经市场调研：该礼盒的种植、加工及包装成本为24元／盒，每万盒的销售收入（单位：万元）与销售量（单位：万盒）的关系为：（1）利润（单位：万元）＝销售收入-总成本，写出关于的函数关系式；（2）当销售量为多少万盒时，帮扶村落能获得最大利润？最大利润是多少万元？18.已知函数的定义域为，且对定义域内的所有均有成立，．（1）求的值；（2）规定：对于定义域为的函数，如果存在一个非零整数，使得对任意的，都有且，那么称是周期函数，称为的一个周期．根据（1）的计算结果，猜想的一个周期，并加以证明；（3）设函数，其中为实数，若的定义域为全体整数，求实数的取值范围．19.在函数性质中，我们定义两种函数变换：对于函数，定义其偶性分量，奇性分量为．设函数，其中．（1）求的偶性分量和奇性分量；（2）若的最小值为2，求的值；（3）设函数，且，求函数在区间上的值域．广东汕尾市2025-2026学年度第一学期期末教学质量监测高一数学试题本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处．2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀．考试结束后，请将本试题及答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用集合的补集、交集运算求解.【详解】集合，集合，则或,所以故选：D2.半径为1的圆中，的圆心角所对的弧的长度是（）A. B. C.60 D.30【答案】B【解析】【分析】根据弧长公式求出答案.【详解】因为，由弧长公式可得弧长为.故选：B3.的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值求解即可.【详解】因为，，，所以，故选：A4.下列各选项中，是的必要不充分条件的是（）A. B.C. D.：四边形是长方形，：四边形的对角线互相垂直且平分【答案】A【解析】【分析】由必要不充分条件的定义逐一判断即可.【详解】对于A，因为，所以或，即由不能推出，但由能推出，所以是的必要不充分条件，故A正确；对于B，由等式的性质可知由能推出，由能推出，不满足是的必要不充分条件，故B不正确；对于C，因为，所以，，则，或，即由能推出，但由不能推出，不满足是的必要不充分条件，故C不正确；对于D，因为长方形的对角线互相平分，但不一定垂直，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，而菱形不一定是长方形，即由不能推出，由不能推出，不满足是的必要不充分条件，故D不正确.故选：A.5.向一个下底面积小于上底面积的圆台形容器匀速注水（容器原本无水，注水速率恒定），设注水时间为，容器内水面高度为，则以下函数中，最能近似反映与这一变化现象的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先分析注水过程中水面高度与注水时间的关系，再分析各函数的图像特征，逐一判断即可.【详解】圆台形容器下底面面积小于上底面面积，当匀速注入水时随着注水时间的增加，水面高度的增长速度会逐渐变慢，对于A，，指数函数，增长速度越来越快，呈爆炸式增长，故A错；对于B，，二次函数，当时，增长速度越来越快，故B错；对于C，，幂函数，增长速度越来越慢，且始终递增，故C正确；对于D，对数函数，虽然增长速度越来越慢，但其定义域为，不满足初始时刻时水面高度的实际情况，故D错.故选：C6.已知连续的奇函数的定义域为在上单调递减，在[0,2]上单调递增，且，则下列判断正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用奇函数的性质可得在上单调递减，结合单调性即可判断选项.【详解】连续的奇函数的定义域为，所以,因为在上单调递减，在[0,2]上单调递增，所以在上单调递减，因为，，所以,,所以;故选：B7.关于的方程有且仅有2个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.，且【答案】D【解析】【分析】将问题转化为与有两个交点，结合分析即可求解.【详解】若关于的方程有且仅有2个不同的实数根，则函数与有两个交点，作出函数的图像如下：当时，则，当且仅当时等号成立，要使函数与有两个交点，则，解得：且，当时，则，当且仅当时等号成立，要使函数与有两个交点，则，解得：且，当时，无意义，综上，实数的取值范围是，且；故选：D8.已知方程和的根分别是，则的值是（）A.2 B.4 C.12 D.6【答案】D【解析】【分析】将方程的根转化为函数与函数的交点问题，再根据互为反函数的两个函数关于对称，可以得到两个交点横坐标之间的关系，即可求解.【详解】设和的根分别为，即和分别与的交点的横坐标；又因为与互为反函数，即两个函数图像关于对称；又图像也关于对称，则和与的交点也关于对称，即两交点与关于对称（两交点横纵坐标交叉相等），故，，所以.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题中，是真命题的是（）A.必有算术平方根 B.是无理数C.为奇数 D.是无理数【答案】AD【解析】【分析】根据算术平方根定义、命题的真假判断AD；举例判断BD；【详解】对于A，必有算术平方根为，命题真命题，A正确；对于B，取，是有理数，命题是假命题，B错误；对于C，因为，且是连续整数且其中必有一个是偶数，所以一定是偶数，不可能是奇数，命题是假命题，C错误；对于D，取是无理数，是无理数，故该命题是真命题，D正确；故选：AD.10.（多选）已知函数的定义域为，若存在常数使得函数为奇函数，则称的图象关于中心对称．下列说法正确的是（）A.若，则的图象关于点中心对称B.若关于点中心对称，则C.若关于点中心对称，则D.若同时关于点与点中心对称，则是周期函数【答案】ABD【解析】【分析】对于A，令，利用中心对称的定义判断；对于BC，由定义可知是奇函数，利用奇函数的性质判断；对于D，利用奇函数和周期性的概念判断.【详解】对于A，令，易知奇函数，所以的图象关于点中心对称，A说法正确；对于B，若关于点中心对称，由定义可知是奇函数，所以，即，所以，B说法正确；对于C，若关于点中心对称，由定义可知是奇函数，所以，即，整理得，所以，C说法错误；对于D，若关于点对称，则是奇函数，①，若关于点中心对称，则是奇函数，，由可得，即②，①②联立得，所以是周期为2的周期函数，D说法正确；故选：ABD11.（多选）已知函数若关于的方程有4个不同的根，它们从小到大依次为，则（）A. B.C. D.有7个零点【答案】ABC【解析】【分析】方程有4个不同的根，即的图象与直线有4个交点，画出函数的大致图象判断A，根据图像通过求解判断B，根据图象得到，，进一步计算求解判断C，令，求出的根，代入，再根据图象可求得零点个数判断D.【详解】因为，当时，，当时，，画出的大致图象如图所示，对于A，方程有4个不同的根，即的图象与直线有4个交点，则由图象可知，A说法正确；对于B，由图象可知，即，解得，B说法正确；对于C，由题意可得，，所以，，所以，，C说法正确；对于D，函数，令，则，即，令可得或，令可得或，所以对于可得，，，，当时，由图可得有0个根，当时，由图可得有2个根，当时，由图可得有4个根，当时，由图可得有3个根，综合可得函数有9个零点，D说法错误；故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则的取值范围为___________．【答案】【解析】【分析】利用不等式的性质求解即可.【详解】由于，则，所以,即,则的取值范围为;故答案为：13.已知在[3,15]上具有单调性，则实数的取值范围为___________．【答案】【解析】【分析】根据二次函数的性质结合条件即得.【详解】由题意可得，或，得或，故实数的取值范围为故答案为：14.已知函数和（其中且）．若函数和的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标之和为1，则实数的值为___________．【答案】##【解析】【分析】由函数，可得是其中一个交点，则另一个交点的横坐标为，利用求出的值即可.【详解】由可知由反比例函数向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，由可知由指数函数向下平移2个单位得到，结合函数图象易知，即对于任意且，是函数和的图象的其中一个交点，又因为这两个交点的横坐标之和为1，所以另一个交点的横坐标为，所以，即，解得，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知．（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式将题干化简，即可求得（2）对所求的式子两边同时除以，再将（1）得到得结果代入即可.【小问1详解】由诱导公式，，以及，所以，即.【小问2详解】将分子分母同时除以，（因为，否则无意义），所以，又由（1）知代入上式得，故.16.已知集合，其中．（1）求集合及；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的值．【答案】（1），或．（2）（3）【解析】【分析】（1）结合一元二次不等式求出集合，利用补集的定义即可求解；（2）将问题转化为，分和两种情况讨论即可求解；（3）首先得到，由，得求解即可.【小问1详解】由，得，解得，故，故或．【小问2详解】由，得，若，即，解得，若，即时，解得，此时，解得，联立可得，综上所述，实数的取值范围是．【小问3详解】由，得，即，，得，即，又因为当时，，符合题意，故．17.“百县千镇万村高质量发展工程”在广东持续深入推进，汕尾某驻村帮扶队结合当地“海丰油粘米”特色产业，推出“礼盒装油粘米”（每盒含1袋精品油粘米），通过电商助销拓展销路．经市场调研：该礼盒的种植、加工及包装成本为24元／盒，每万盒的销售收入（单位：万元）与销售量（单位：万盒）的关系为：（1）利润（单位：万元）＝销售收入-总成本，写出关于的函数关系式；（2）当销售量为多少万盒时，帮扶村落能获得最大利润？最大利润是多少万元？【答案】（1）（2）15万盒，170万元【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合利润=销售收入－成本，分和，两种情况讨论，即可求解．（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．【小问1详解】总成本=每盒成本×销售量，即24x万元．当时，，当时，，因此利润函数为【小问2详解】当时，，可知该二次函数图象为开口向下抛物线，其对称轴为直线，由于区间在对称轴左侧，函数单调递增，故在的最大值为（万元）；当时，，因此，，当且仅当，即（负值舍去）时等号成立，即最大值为170万元．比较两段的最大值：，故当销售量为15万盒时，利润最大，最大利润为170万元．18.已知函数的定义域为，且对定义域内的所有均有成立，．（1）求的值；（2）规定：对于定义域为的函数，如果存在一个非零整数，使得对任意的，都有且，那么称是周期函数，称为的一个周期．根据（1）的计算结果，猜想的一个周期，并加以证明；（3）设函数，其中为实数，若的定义域为全体整数，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）4是函数的一个周期，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用递推关系及依次代入求解即可；（2）观察（1）中结果猜想函数是周期函数，且是的一个周期，利用周期函数的定义及递推关系