陕西省西安市2025-2026学年高一第一学期期末考试数学试题（原卷+解析）

高一数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.是（）A第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若函数，则（）A. B. C. D.5.下列命题的否定是真命题的是（）A.是整数 B.若，则C.“”存在量词命题 D.函数在上为增函数6.函数值域是（）A. B. C. D.7.已知函数在上单调递增，则的取值范围为（）A. B. C. D.8.若，，则（）A.或 B.或 C.或 D.或2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若定义在上的函数满足恒成立，则（）A. B. C. D.10.已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再将所得图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（）A.B.C.图象的对称轴方程为D.的单调递增区间为11.已知函数，且，则（）A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某扇形的圆心角为，半径为33，则该扇形的弧长为__________.13.已知为定义在上的偶函数，的最大值为2，在上单调递减，且，则__________，不等式的解集为__________.14.如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）求函数的定义域；（2）求值：.16.（1）若，，求值.（2）设角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.（i）求的值；（ii）求的值.17.已知函数，.（1）求的最小值.（2）若的最小值为4，且，证明：.（3）若，讨论的单调性与值域.18.设函数.（1）求的最大值；（2）当时，求图象的对称中心的坐标；（3）若的最小正周期为，不等式对恒成立，求的取值范围.19.已知函数.（1）判断的奇偶性，并说明理由；（2）讨论函数零点的个数；（3）求不等式解集.

高一数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角【答案】D【解析】【分析】将负角转化为顺时针旋转的角，从而判断其终边落在第四象限.【详解】是从轴正方向顺时针旋转得到的角，这个角落在第四象限，因此是第四象限角，故选：D2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式化简集合A，再利用并集的定义求解.【详解】解不等式，即，得，则，而，所以.故选：C3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据“充分”和“必要”条件的定义判断即可.【详解】因为，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4.若函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】运用换元法求函数解析式即可.【详解】令，则，则有，故.故选：B.5.下列命题的否定是真命题的是（）A.是整数 B.若，则C.“”是存在量词命题 D.函数在上为增函数【答案】D【解析】【分析】根据原命题为假，则否定为真，依次判断各选项命题即可.【详解】对于A，是整数，为真命题，其否定是假命题，不符合题意；对于B，若，则为真命题，其否定是假命题，不符合题意；对于C，“”是存在量词命题，是真命题，其否定是假命题，不符合题意；对于D，函数在上为减函数，故函数在上为增函数是假命题，其否定是真命题，符合题意.故选：D6.函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】运用换元法，令，令，逐步求出该复合函数的值域即可.【详解】令，令，由二次函数的性质可知，当时，二次函数在上单调递减，在上单调递增，故，又易知在上单调递减，故，即函数的值域为.故选：A.7.已知函数在上单调递增，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据分段函数的单调性，列出不等式求解即可【详解】依题意，解得，故选：B8.若，，则（）A.或 B.或 C.或 D.或2【答案】D【解析】【分析】先由，运用正切的差角公式计算出，再利用正切的二倍角公式，解得.详解】，又因为，则，令，则有，解得或，即或.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若定义在上的函数满足恒成立，则（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】令，即可求；令，即求出.【详解】∵恒成立，令得：，，故B正确，A错误；令得：，，，，故C正确，D错误故选：BC10.已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再将所得图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（）A.B.C.图象的对称轴方程为D.的单调递增区间为【答案】ABD【解析】【分析】根据图像求出，结合余弦函数的图像与性质依次判断选项即可.【详解】由图可得，由，得．由，得，因为，所以，A正确．由A的分析可得，令，得，所以图象的对称轴方程为，C错误．，B正确．令，得，所以的单调递增区间为，D正确．故选：ABD11.已知函数，且，则（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件，利用零点的意义，结合函数的图象可得，再利用指对数运算及指数函数、对数函数性质，结合零点存在性定理逐项分析判断即可.【详解】函数，由，得，在同一坐标系内作出函数的图象，如图：观察图象得函数的图象有两个交点，函数有两个零点，且，则，，即，，对于A，，因此，A正确；对于B，，，而，则由零点存在性定理得，B正确；对于C，函数在上都单调递减，则函数在上单调递减，，，而，因此，C错误；对于D，，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某扇形的圆心角为，半径为33，则该扇形的弧长为__________.【答案】【解析】【详解】由弧长公式，可得.13.已知为定义在上的偶函数，的最大值为2，在上单调递减，且，则__________，不等式的解集为__________.【答案】①.2②.【解析】【分析】根据给定条件，利用偶函数的性质求出即得，再结合求解不等式.【详解】定义在上的函数的最大值为2，且在上单调递减，得，所以；又，不等式，则，解得或，所以所求不等式的解集为.故答案为：2；14.如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.【答案】【解析】【分析】设，，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长.【详解】设，，则，所以，所以，，即，解得，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）求函数的定义域；（2）求值：.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用函数有意义列出不等式组求解.（2）利用对数运算性质及指数运算计算得解.【详解】（1）函数有意义，则，解得或，所以所求函数定义域为.（2）.16.（1）若，，求的值.（2）设角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.（i）求的值；（ii）求的值.【答案】（1）或；（2）（i）；（ii）.【解析】【分析】（1）利用诱导公式及特殊角的三角函数值求出.（2）（i）利用三角函数定义及诱导公式计算得解；（ii）利用三角函数定义，和角的余弦公式，结合齐次式法求解.【详解】（1）由，得，解得，而，所以或.（2）（i）角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则，，所以.（ii）由（i）得，所以.17.已知函数，.（1）求的最小值.（2）若的最小值为4，且，证明：.（3）若，讨论的单调性与值域.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）分类讨论，答案见解析.【解析】【分析】（1）利用指数函数性质，结合基本不等式求出最小值.（2）由（1）的结论求出，进而求得，再利用指数函数、对数函数单调性推理得证.（3）按分类，利用复合函数的单调性，结合指数函数、对数函数单调性确定函数的单调性.【小问1详解】函数定义域为R，，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.【小问2详解】由（1）得，解得，则，，函数的定义域为R，，，而函数是增函数，因此，所以.【小问3详解】当时，函数的定义域为R，的取值集合为，当时，函数在R上单调递减，函数在R上单调递减，而函数是减函数，，因此函数在R上单调递增，值域为；当时，函数在R上单调递增，函数在R上单调递增，而函数是增函数，，因此函数在R上单调递增，值域为，所以当时，函数在R上单调递增，值域为；当时，函数在R上单调递增，值域为.18.设函数.（1）求的最大值；（2）当时，求图象的对称中心的坐标；（3）若的最小正周期为，不等式对恒成立，求的取值范围.【答案】（1）8（2）（3）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简，结合正弦函数的性质求解；（2）由结合（1）得，利用正弦函数的性质求解；（3）求出在上的值域，由得恒成立，列式求解.【小问1详解】，当，即时，取得最大值，最大值为8.【小问2详解】由（1），当时，，令，得，所以图象的对称中心的坐标为.【小问3详解】因为的最小正周期，所以，得，，当时，，，所以，又，所以，即，因为不等式对恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围为.19.已知函数.（1）判断的奇偶性，并说明理由；（2）讨论函数零点的个数；（3）求不等式的解集.【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）见解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义即可得解；（2）将零点个数问题，转化为方程的解的个数问题，再在平面直角坐标系中画出函数的图象，数形结合即可得解；（3）令，则等价于，再分类讨论的范围，利用函数的奇偶性与单调性，将得到与的大小关系，即可得解.【小问1详解】易知函数的定义域为，且，故为奇函数.【小问2详解】，等价于方程有解，因此函数零点的个数，等价于方程的解的个数.，在平面直角坐标系中作出函数的图象