运城市2025-2026学年第一学期期末调研测试高三数学试题（原卷+解析）

运城市2025-2026学年第一学期期末调研测试高三数学试题本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上.注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4．保持卡面清洁，不折叠，不破损.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知为等差数列，为等比数列，若，则（）A. B. C.4 D.123.如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，，点是弧的中点，则三棱锥的体积为（）A B. C. D.14已知复数z满足，则（）A.1 B. C. D.25.甲、乙、丙、丁、戊、己共6个班参加元旦合唱比赛，决出第1名到第6名的名次．甲、乙两个班的学生去询问成绩，评审老师对甲班学生说：“很遗憾，你们班和乙班都不是第1名．"对乙班学生说：“你们班当然不会是最后1名，”从这两个回答分析，6个班的名次排列可能的不同情况种数为（）A.480 B.384 C.360 D.2886.以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（）A. B. C. D.7.已知，则（）A. B. C. D.8.已知椭圆左、右焦点分别为、，点、、在椭圆上，且满足，，若椭圆的离心率，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的最小正周期是，则（）A. B.在上的最大值是C.是的一条对称轴 D.在上单调递增10.如图，在中，，BM交CN于点E，且，则（）A B.C.的最大值为 D.的最小值为11.已知函数的定义域为，定义集合，则（）A. B.若，则存在最小值C.若，则是增函数 D.若，则是偶函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.随机变量，且，则__________．13.已知函数，则__________．14.已知数列的前n项和为，若，则_________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角，，的对边分别为，，，且满足．（1）求；（2）设点为边的中点，，的面积为，求，．16.如图，三棱锥中，平面，为以B为顶角的等腰三角形，M为的中点，N为的中点，．（1）证明：点M为三棱锥的外接球球心；（2）求与平面所成角的正弦值．17.在新能源电动汽车的电池质量考核中，“典型里程衰减”是一个重要的指标．某公司的质检员甲从某型号电池的A批次产品中随机获取了一个容量为8的样本进行测试，并记录每个样本点在其性能衰减至初始值的80%时，汽车所行驶的总公里数，得到如下数据（单位：万公里）：24，23，26，22，24，23，26，28．（1）求样本第40百分位数，平均数和方差；（2）若行驶的总公里数超过24万公里，则认为该电池为优等品．用样本数据估计总体数据，现从A批次电池中随机抽取3个电池进行检测，求这3个电池中优等品的个数不少于2个的概率；（3）该公司的质检员乙同时测试了该型号电池的B批次产品，得到的样本平均数为24.4，方差为1．若A，B两个批次电池质量按照“高均值”和“低波动性”进行选择，你认为应选择哪个批次的电池？请说明你的理由18.已知双曲线的渐近线方程为，且该双曲线过点．（1）求双曲线的标准方程；（2）设，，过点的直线交双曲线于点，，直线，的斜率分别为，．（i）证明：为定值；（ii）过作轴的垂线分别交直线，于点，，证明：，，三点纵坐标成等差数列．19.已知函数．（1）若在区间上单调，求实数a的取值范围；（2）设，证明：（i）；（ii）．

运城市2025-2026学年第一学期期末调研测试高三数学试题本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上.注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4．保持卡面清洁，不折叠，不破损.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先化简集合A，B，再利用集合的补集和交集运算求解.【详解】由已知得，或，所以，所以．故选：D2.已知为等差数列，为等比数列，若，则（）A. B. C.4 D.12【答案】B【解析】【分析】根据等差数列和等比数列的定义求出公差和公比，进而得到对应的通项公式，将数值代入后作差即可求得.【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，所以，所以，所以，所以.故选：B.3.如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，，点是弧的中点，则三棱锥的体积为（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】根据题意得，且，进而得，再计算体积即可.【详解】因为是圆的直径，点是弧的中点，所以，且，所以，因为垂直于圆所在的平面，，所以三棱锥的体积为．故选：C4.已知复数z满足，则（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】设，得到，代入求解.【详解】设，则，所以，即，即，解得，即，所以，故选：A5.甲、乙、丙、丁、戊、己共6个班参加元旦合唱比赛，决出第1名到第6名的名次．甲、乙两个班的学生去询问成绩，评审老师对甲班学生说：“很遗憾，你们班和乙班都不是第1名．"对乙班学生说：“你们班当然不会是最后1名，”从这两个回答分析，6个班的名次排列可能的不同情况种数为（）A.480 B.384 C.360 D.288【答案】B【解析】【分析】根据分步乘法计数原理，先确定第一名的班级，再确定最后一名的班级，再确定没有要求的班级名次即可.【详解】分步乘法计数原理，分三步完成．第1名只能是丙、丁、戊、己这4个班，有种可能；乙班的名次只可能是第2，3，4，5名，有种可能；剩余4个班的名次有种可能．所以6个班的名次排列有种不同情况．故选：B6.以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的定义得，再整理即可得答案.【详解】设为抛物线上任意一点，根据抛物线的定义可得，即，化简得．所以，以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为故选：C7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】设函数，则函数在上单调递减，因为，所以，所以，即，即；设函数，则函数在上单调递减，因为，所以，即，所以.8.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点、、在椭圆上，且满足，，若椭圆的离心率，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解法一：设、、，利用平面向量的坐标运算得出，同理得出，由此得出，令，则，即可得出的取值范围；解法二：利用二级结论得出，推导出，，由此得出，结合可得出的取值范围.【详解】解法一：设、、，易知、，由可得，所以，整理得，又因为，所以，则，所以，由，可得，同理，所以，所以．因，令，则，，所以．解法二：因为，所以．又（二级结论），其中，故，所以，故，同理，所以．由，则，可得．故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的最小正周期是，则（）A. B.在上的最大值是C.是的一条对称轴 D.在上单调递增【答案】ACD【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数的周期公式求出的值，可判断A选项；利用正弦型函数的最值可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项.【详解】对于A选项，，因为该函数的最小正周期为，故，所以，A正确；对于B选项，当时，，当时，取得最大值，B错误；对于C选项，当时，，此时函数取得最大值，所以是函数的对称轴，C正确；当时，，在上单调递增，故函数在上单调递增，D对.故选：ACD.10.如图，在中，，BM交CN于点E，且，则（）A. B.C.的最大值为 D.的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】取CN的中点H，连接MH，易得，，从而，再逐项判断.【详解】如图，取CN的中点H，连接MH，则，且，所以，且，所以，所以，即．对于A，，故A选项正确；对于B，，故B选项正确；由，可得，即，即，所以，当且仅当，即时，取得最小值为，故C选项错误，D选项正确．故选:ABD11.已知函数的定义域为，定义集合，则（）A. B.若，则存在最小值C.若，则是增函数 D.若，则是偶函数【答案】ABC【解析】【分析】根据可判断A；等价于，从而可判断B；根据增函数的定义可判断C；举反例可判断D.【详解】，所以，故A选项正确；若，则，故存在最小值，故B选项正确；，且，可知，即，故是增函数，故C选项正确；对于函数，作出函数的图象，如图：，令，由图知解集为，即，而，即不是偶函数，故D选项错误．故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.随机变量，且，则__________．【答案】0.3##【解析】【分析】利用正态分布的对称性有，即可求.【详解】因为，即，且，所以，则.故答案为：13.已知函数，则__________．【答案】##05【解析】【分析】将和分别代入，然后对进行化简求值.【详解】，故．故答案为：14.已知数列的前n项和为，若，则_________．【答案】【解析】【分析】根据题设结合与的关系化简可得，进而得到数列是以为首项，2为公比的等比数列，进而求解即可.【详解】当时，，变形得，故数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，即，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角，，的对边分别为，，，且满足．（1）求；（2）设点为边的中点，，的面积为，求，．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简可得，再结合，即可求得，从而可求解；（2）由题可得，两边同时平方后化简可得，再结合，即可求解.【小问1详解】因为，所以，所以，即.因为，所以，所以，则，又因为，则，所以，解得.【小问2详解】由题得，所以，所以.又因为，则①由，得，②由①②得.16.如图，三棱锥中，平面，为以B为顶角的等腰三角形，M为的中点，N为的中点，．（1）证明：点M为三棱锥的外接球球心；（2）求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据已知及线面垂直的性质确定、均为直角三角形，即可证；（2）构建合适的空间直角坐标系，标出相关点坐标，应用向量法求线面角的正弦值.【小问1详解】因为平面，平面，所以，又，所以．因为为以B为顶角的等腰三角形，所以，所以，所以，又M为PC的中点，所以在中，，同理，在中，所以，则点M为三棱锥的外接球球心；【小问2详解】如图，以A为原点，过点A且垂直于平面PAC的直线为x轴，AC，AP所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系，则，所以，所以．设平面PBC一个法向量为，则，取，解得，则，所以，故AN与平面PBC所成角的正弦值为.17.在新能源电动汽车的电池质量考核中，“典型里程衰减”是一个重要的指标．某公司的质检员甲从某型号电池的A批次产品中随机获取了一个容量为8的样本进行测试，并记录每个样本点在其性能衰减至初始值的80%时，汽车所行驶的总公里数，得到如下数据（单位：万公里）：24，23，26，22，24，23，26，28．（1）求样本的第40百分位数，平均数和方差；（2）若行驶的总公里数超过24万公里，则认为该电池为优等品．用样本数据估计总体数据，现从A批次电池中随机抽取3个电池进行检测，求这3个电池中优等品的个数不少于2个的概率；（3）该公司的质检员乙同时测试了该型号电池的B批次产品，得到的样本平均数为24.4，方差为1．若A，B两个批次电池质量按照“高均值”和“低波动性”进行选择，你认为应选择哪个批次的电池？请说明你的理由【答案】（1）24，24.5，3.5（2）（3）B批次，理由见解析【解析】【分析】（1）根据百分位数，平均数和方差的定义求解即可；（2）先得到从样本中随机抽取1个电池，该电池为优等品的概率为，可估计从A批次电池中随机抽取1个电池，该电池为优等品的概率为，进而求解即可；（3）求出平均值和方差降低的百分比，即可进行选择.【小问1详解】把样本数据按从小到大的顺序排列：22，23，23，24，24，26，26，28，因为，所以样本的第40百分位数取第4个数据，为24．样本的平均数为，方差为．【小问2详解】样本数据中超过24的有3个，故从样本中随机抽取1个电池，该电池为优等品的概率为，用样本数据估计总体数据，所以从A批次电池中随机抽取1个电池，该电池为优等品概率为，故所求概率为．【小问3详解】虽然B批次产品的平均值比A批次降低了，但B批次产品的方差比A批次降低了，说明B批次电池的质量更好，所以应选择B批次的电池．18.已知双曲线的渐近线方程为，且该双曲线过点．（1）求双曲线的标准方程；（2）设，，过点的直线交双曲线于点，，直线，的斜率分别为，．（i）证明：为定值；（ii）过作轴的垂线分别交直线，于点，，证明：，，三点纵坐标成等差数列．【答案】（1）（2）（i）证明见解析（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）根据渐近线方程设出双曲线系方程，代入点坐标求解即可.（2）（i）设出直线方程与双曲线联立，利用韦达定理得到两根之和