智能控制系统与工程课件 3.3基于倒立摆的模糊控制设计

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2.2基于倒立摆的模糊控制设计2.2.1选择模糊控制器的输入和输出考虑回路中有个人来控制倒立摆，如图2-3-2所示。模糊控制器设计就是如何使z个能成功完成此任务的人类专家的工作自动化。首先，专家要确定在决策过程中选用哪些信息作为输入量。假设对于倒立摆，专家选用和变量作为决策的依据。当然，还有许多其它选择（例如偏差e的积分），但是一般选择有很好直观意义的量作为输入。接着要确定控制量。对于倒立摆，只有一个移动小车的外力，选择就简单了。

图2-2-2人工控制小车上的倒立摆

对于比较复杂的应用场合，控制器的输入和输出的选择就会相对困难。从本质上来讲，要保证控制器拥有能够做出好决策的合适信息，要有能够使系统获得高性能操作运行方向的合适控制量。2

2.2基于倒立摆的模糊控制设计实际上，系统的信息获取和有效控制都需要钱。如果设计者认为不能得到控制决策所需的合适信息，就要再花钱去买一个传感器，来测量系统的另一个变量，或者要对对象输出进行某些滤波或作其它处理方法。此外，如果设计者认为现在的控制器不能实现对过程的准确控制，就会更换一个能精确控制系统的执行器。因此，在某些学术角度来看，可能要求你选择某些量作为对象的输入和输出，而就实际应用情况来讲，你又要做灵活选择。这样的选择影响过程控制在线决策信息的获取，影响模糊控制器的设计。一旦模糊控制器的输入和输出选定，就要确定系统的参考输入。对于倒立摆，显然选择参考输入，不过你可以选择偏离垂直位置r(

)来平衡倒立摆。这样，为了使倒立摆不倒，控制器就要使小车保持在一个恒定的速度上。图2-3-3小车上倒立摆的模糊控制器3

2.2基于倒立摆的模糊控制设计定义了模糊控制器的输入和输出，也就确定了模糊控制系统。对于倒立摆，所选输入和输出的模糊控制系统如图2-3-3所示。现在就要在这样的框架中，寻找一个控制此系统的描述。在模糊控制设计中，模糊控制器输入和输出的选择可能会受到一定限制的。如果模糊控制器没有得到适当的信息，那么设计一个好的规则或者推理机的希望就很小。此外，即使有了控制决策的适当信息，如果控制器不能通过过程的输入影响过程变量，那也是没有用的。必须认识到控制器输入和输出的选择是控制器设计过程中最重要的一部分。4

2.2基于倒立摆的模糊控制设计2.2.2把控制知识融入规则中假设如图2-2-2所示的人类专家用某些自然语言，提供了一个控制对象的最好描述（例如汉语）。我们努力提取这个“语言”描述，把它放入模糊控制器中。1.语言描述专家提供的语言描述通常可以分为几部分。用“语言变量”来描述时变的模糊控制器的每个输入和输出。对于倒立摆“误差”用表示“误差变化”用表示“力”用表示注意用引号来强调某些字或者词是语言变量，加上时间标志是强调语言变量是随时间变化的。对于语言变量有许多种选择。有些人为了文档整理的方便，喜欢选择具有描述性的语言变量，不过这可能会导致变量名过长的问题。另有些人喜欢把语言变量变得尽可能短，且又能足够准确地代表语言变量。无论怎样，语言变量的选择都不会影响模糊控制器的操作，语言变量只是一个帮助我们通过模糊逻辑构造模糊控制器的符号。5

2.2基于倒立摆的模糊控制设计语言变量取值是随时间动态变化的。对于倒立摆的例子，“误差”、“误差变化”和“力”可取以下值：“负大”“负小”“零”“正小”“正大”注意用“正小”作为正的小的缩写。依此类推其它变量。这样的缩写使得语言描述简短而准确。为了描述更简短，可以选择整数来表示：“-2”表示“负大”“-1”表示“负小”“0”表示“零”“1”表示“正小”“2”表示“正大”因为这样的描述用数字量简短而准确地描述了所研究的语言变量，因此特别具有吸引力。这类语言值对于设计者是非常方便的，因此给它起了一个特定的名字“语言的数字值”。注意不要把此数值同任何弧度的误差联系在一起，在语言描述中这个数值只是作为误差量化符号来确定其相对其它语言值的大小。6

2.2基于倒立摆的模糊控制设计在选定了模糊控制器的输入和输出后建立的系统框架中，语言变量和语言值为专家提供了表达控制决策过程的语言。假设倒立摆的r=0，e=r-y，e=-y。下面首先研究如何用语言来描述倒立摆的动态特性，用语言描述来量化控制倒立摆的知识。对于倒立摆，下面的描述量化了倒立摆的不同状态：1、“误差是正大”的陈述可以代表倒立摆处在垂直轴左侧相当大角度的位置。2、“误差是负小”的陈述可以代表倒立摆处在垂直轴稍微偏右的位置，但是没有很接近垂直轴，以至于可以正好定量为“零”，也没有太远离垂直轴，以至于被定量为“负大”。3、“误差是零”的陈述可以代表倒立摆处在于非常接近垂直轴的位置（因为语言的量化不是精确的，因此把附近的任何值从语言上量化为“零”）。4、“误差是正大，且误差变化率为正小”的陈述可以代表倒立摆处在垂直轴的左侧，因为，倒立摆正朝着远离垂直位置的方向运动（注意在这种情况下，倒立摆是逆时针运动的）。5、“误差是负小，且误差变化率为正小”的陈述可以代表倒立摆处在垂直轴稍微偏右的位置，因为，倒立摆正朝着远离垂直位置的方向运动（注意在这种情况下，倒立摆是逆时针运动的）。7总之，我们应该明白只有对要控制的过程的物理本质有了一个很好的了解，才能对其动态特性恰当量化。对于倒立摆，了解其动态特性的任务相对比较简单。但是，用语言来量化过程的动态特性并不总是这么容易。当然，比较好地了解过程的动态特性一般都会有一个比较好的语言量化。假设你能恰当地测量系统的动态特性，自然就会得到一个比较好的模糊控制器，这样模糊控制器就会在适当的时间做出正确的决策。

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2.2基于倒立摆的模糊控制设计2.规则下面用上述语言量化量来定义一套规则（规则库）以表达专家如何控制对象的知识。实际上，针对如图2-3-4所示三种位置的倒立摆，构造下面规则：1.如果误差是负大，并且误差变化率为负大，那么力应是正大。这条规则量化了图2-3-4（a）中倒立摆处在大的正角度，并照着顺时针方向移动的情况；很显然，应该施加一个大的正力（从右侧）使得倒立摆沿正确的方向移动。2.如果误差是零，并且误差变化率为负小，那么力应是负小。这条规则量化了图2-3-4（b）中倒立摆处在接近于垂直轴呈零的角度（语言量化的零不意味着恰恰），并朝着逆时针方向移动的情况，因此应该施加一个小的负力（从左侧）来阻止倒立摆的运动，使得它朝着零的位置运动（正的力可能导致倒立摆超过期望的位置）。3.如果误差是正大，并且误差变化率为负小，那么力应是负小。这条规则量化了图2-3-4（c）中倒立摆处在垂直轴左侧比较远位置，并顺时针方向运动，因此应该施加一个小的负力（从左侧）来支持此运动，因为倒立摆已经朝正确的方向移动，就不能加大的力。9

2.2基于倒立摆的模糊控制设计因为上面三条规则中的每一条都是由语言变量和语言值构成的，因此称为“语言规则”。由于语言值不能准确代表它们所描述的数量值，因此语言规则也是不精确的。它们只是抽象出了如何取得好的控制效果的思想。对不同的人，规则可能会有所不同。不过规则采用了人们感觉比较舒服的词来定义过程的控制，因此受到人们的喜爱。语言规则的一般形式为如果条件，那么结论。正像你从上面三条规则中所看到的，条件（有时也称为“前提”或“前件”）与模糊控制器的输入有关，位于规则的左端。结论（有时也称为“行动”或“后件”）与模糊控制器的输出有关，位于规则的右端。注意每个条件（或者结论）都可以分解成若干“项”的合成（例如上述规则3中条件“误差是正大，并且误差变化率为负小”就是两项的合成）。模糊控制器输入和输出的数量决定了条件和结论中元素数目的上限。注意没有必要在每个规则中涉及所有的输入和输出。10

2.2基于倒立摆的模糊控制设计3.规则库对于倒立摆平衡问题，应用上面的方法，可以写出所有状态下的规则。注意因为只定义了有限数量的语言变量和语言值，所以可能有的规则是有限的。对于倒立摆问题，有两个输入和五个语言值，最多可能有个规则（两个输入所有可能有的语言项条件的合成）。对于没有太多输入的模糊控制器，列出所有可能存在的规则的方便方法就是使用表格。对于倒立摆，一套可能的规则如表2-3-1所示。注意表的左侧一列和上面一行是条件的数字化语言值，表的主体列出了规则的数字化结论。例如，位置（2，-1）（这里“2”表示数字化语言值为“2”的行，“1”表示数字化语言值为“1”的列）在表中取值为“-1”，代表了下面规则如果误差为正大，且误差变化率为负小，那么力为负小这就是上面讲到的规则3。表2--1代表了专家根据给定的误差及其微分，控制倒立摆的抽象知识。11

2.2基于倒立摆的模糊控制设计注意表的主对角线。把表的主体看作一个矩阵，它具有一定的对称性。当规则用表格列出时，出现对称性不是什么意外，它是控制倒立摆的抽象知识的一种表示，是由系统动态特性的对称性引起的。在其它复杂系统中还会看到。“力”“误差变化率”-2-1012“误差”e-222210-12210-10210-1-2110-1-2-220-1-2-2-2表2-3-1倒立摆的规则表表2-3-1倒立摆的规则表12

2.2基于倒立摆的模糊控制设计2.2.3知识的模糊量化

到目前为止，我们只是以一种抽象的方式量化了专家如何控制对象的知识。下面我们将说明如何利用模糊逻辑完全量化语言描述，使得我们在模糊控制器中可以自动生成由专家定义的规则。1.隶属函数首先，用“隶属函数”来量化语言值的含义。例如考虑图2-3-5，这是一个的隶属函数的图。隶属函数量化了从语言上量化为“正小”的的确定度，又称隶属度。为了说明隶属函数的工作原理，分析一下在不同值时的取值：

图2-3-5语言值“正小”的隶属函数13

2.2基于倒立摆的模糊控制设计若，则，这意味着确定不是“正小”。若，则，这意味着一半确定是“正小”（它可能还在某种程度上属于“零”，即此值处于“灰色区间”）。若，则，这意味着绝对确定是“正小”。若，则，这意味着绝对确定不是“正小”（实际上，它是“正大”）。隶属函数以连续的方式量化了的值是否属于值为“正小”的集合，因此它量化了语言描述“误差是正小”的意思。注意图2-3-5中的隶属函数只是一种定义方式，你还可以应用其它形式的隶属函数，如钟形的、高斯形的和梯形的等等。例如考虑如图2-2-6所示的隶属函数。对某一应用，设计者认为接近时，绝对确定是“正小”，而离开足够远时，才不认为它为“正小”。图2-3-6（a）中梯形隶属函数就定义了这种“正小”的含义。对于其它应用，可能考虑采用如图2-2-6（b）所示的高斯形状的隶属函数。对另外一些应用，如果你不准备接受远离的值作为“正小”，可以考虑采用如图2-2-6（c）所示的隶属函数。最后要说明的是，语言值含义一般具有对称的特点，但也可以是不对称的。例如，在图2-2-6（d）中我们表达了随着从向左移动，我们很快失去它为“正小”的信心，但是如果从向右移动，对为“正小”的信心减少地比较慢。14

2.2基于倒立摆的模糊控制设计图2-3-6表示“误差为正小”的几种隶属函数总之，由于应用的场合和设计者的习惯和喜爱不同，有多种隶属函数选择方法。强调一点，隶属函数的定义主观因素多于客观因素。15

2.2基于倒立摆的模糊控制设计用隶属度描述为“正小”的所有值的集合称为“模糊集合”，用A表示。注意从图2-3-5可以绝对确定是A的一个元素，但不能完全确定是A的一个元素。集合的特征关系是用隶属函数描述的，因此是模糊集合。“正小”的“普通”（相对模糊而言）量化可以用图2-3-7所示的隶属函数定义。这个隶属函数指示只在区间是“正小”。显然，普通集合的描述方法只是实数区间的另一种表示方法。图2-2-5中把纵轴称为确定度，横轴称为输入的“论域”，因为它提供了可以用语言和模糊集合量化的取值范围。用传统的术语，模糊系统的输入或者输出的论域就是输入和输出可能的取值范围。图2-3-7精确集合的隶属函数69

2.2基于倒立摆的模糊控制设计对于倒立摆的例子，既然知道了通过隶属函数去定义语言值的含义，就可以很容易地对所有15个语言值（每个输入5个语言值，每个输出也是5个语言值）分别定义其隶属函数。图2-3-8就是一种可选择的隶属函数。注意为了以后方便，我们同时标出与每个隶属函数相关的语言值和对应的语言值的数字量。图2-3-5中，看到描述“正小”的隶属函数和描述其它值的隶属函数交迭在一起。注意隶属函数有多种选择，只要有意义就行。要特别注意图2-3-8中最外侧的隶属函数。对于输入和，最外侧的隶属函数在某一值“饱和”。这是有直观意义的，因为从某种意义上讲，人类专家会从语言上把所有大的值归纳在一起，称为“正大”。最外侧的隶属函数恰当地描述了这一现象。对于输出，为了恰当定义模糊系统，最外侧的隶属函数不能饱和。这样做的根本原因是因为所研究的决策过程是寻找过程输入的准确值，采取相应的实际行动。一般不会让过程执行器输出大于某个值。要注意的是我们经常在一张图中画出一个输入或者输出的所有隶属函数，默认纵坐标是描述相关语言值含义的隶属函数。用表示与语言值“零”有关的隶属函数，其它的以此类推。

2.2基于倒立摆的模糊控制设计模糊控制器的规则库包含语言变量、语言值、相关的隶属函数和所有语言规则的集合。以上完成了倒立摆的简单语言描述。下面讲述模糊化过程。

图2-3-8小车上倒立摆的隶属函数7018

2.2基于倒立摆的模糊控制设计2.模糊化模糊化过程可以简单理解成为输入变量的某一值，找到其隶属函数的数字值的过程。例如，若且＝π/16，模糊化过程就是寻找它们对应输入量的隶属函数的值，即

可以把隶属函数看作模糊系统数字化输入值的编码器。编码后的信息在模糊推理过程中进行匹配。

2.2.4规则的匹配在下面这部分，解释图2-1-1中推理机的操作。推理过程一般分两步：1.把所有规则的条件和控制器输入进行比较，确定当前状态应该应用哪一条规则。“匹配”过程要确定所有应用规则的确定度。2.由目前状态下采用的规则决定结论（要采取的控制作用）。结论用表示被控对象输入（控制器输出）应取各种值的确定度的模糊集合描述。我们将分别详细的讲解这两步。1.用模糊逻辑量化条件为了完成推理，必须用模糊逻辑量化每个规则。为了做到这些，首先要量化由若干项（每个都涉及到模糊控制器的一个输入）组成的规则的条件。在图2-3-9中，列出下面规则条件的两项如果误差为零，且误差变化率为正小，那么力为负小。已经用图2-3-8中的隶属函数量化了语言项“误差为零”和“误差变化率为正小”的含义。现在尝试量化规则条件“误差为零且误差变化率为正小”。要解决的主要问题是如何实现两个语言项的逻辑“与”合成操作。因为已经用模糊集合（即量隶属函数）比较准确地量化了这些项，因此可以用标准的布尔逻辑合成这些语言项。72

2.2基于倒立摆的模糊控制设计20

2.2基于倒立摆的模糊控制设计图2-2-9条件项的隶属函数为了看清如何量化“与”操作，假设，，由图2-2-8（或者图2-2-9）得到，，对于这些和，要找下面叙述的确定度：“误差为零，且误差变化率为正小”，即上面规则的条件。用来表示这一确定度。有几种定义方式74

2.2基于倒立摆的模糊控制设计最小化：定义，即用两个隶属值的最小值来表示。乘积：定义，即用两个隶属值的乘积。注意这两种量化“与”的操作方式确定的合成项的确定度不比组成它的任一项的确定度高。这是符合常理的。如果非常不确定一个叙述的真实性，又如何能确定它与其它叙述的“与”呢？因此，上面的量化是有意义的。接着简单说明如何量化和的“与”操作。如果考虑所有的值，对于每条规则，会得到由函数和组成的多维隶属函数。就该例子而言，如果选择最小化操作来代表条件中的“与”，那么将得到如图2-2-10所示的多维隶属函数。注意如果对和选值，条件的确定度值就代表了对下面这条规则的确定度如果误差为零且误差变化率为正小，那么力为负小根据图2-2-10，随着和的变化，的值发生变化，对这条规则适用的确定度也发生变化。75

2.2基于倒立摆的模糊控制设计图2-3-10单一规则的条件隶属函数总之，在规则库中对于每条规则都有不同的条件隶属函数，但每个都是和的函数，这使得对于给定的和值，都能获得目前状态下规则库中应用每个规则的确定度。当和随时间动态变化时，对于每条规则()也是变化的。因此，规则库中确定倒立摆输入力的每条规则的适用性也随着时间变化。23

2.2基于倒立摆的模糊控制设计2.确定应用哪些规则确定每条规则适用性称为“匹配”。如果一条规则的条件隶属函数，我们说这条规则是“在时刻t是激活的”。因此，推理机就是去发现哪条规则与目前状态有关，然后激活相应的规则。最后推理机把所有推荐的规则合并给出一个结论。考虑倒立摆的例子，怎么计算激活的规则呢？图2-3-11输入值的隶属函数24

2.2基于倒立摆的模糊控制设计假设，，图2-2-11显示输入的隶属函数，并用粗的黑色垂直线指示和的隶属值。注意输入的其它隶属函数均为零，。对于输入，，，其它的隶属函数均断开。这意味着具有下列条件项的规则都激活了（其它规则的条件隶属函数）“误差为零”“误差变化率为零”“误差变化率为正小”查表2-2-2，发现激活了以下两条规则：1.若误差为零，且误差变化率为零，则力为零；2.若误差为零，且误差变化率为正小，则力为负小。注意因为对于倒立摆，只有两个隶属函数交迭，因此不会同时有超过4条的规则被激活（这个概念可以推广到多输入系统）。实际上，会同时有一个、两个或者四个规则激活。78

2.2基于倒立摆的模糊控制设计表2-2-2具有激活规则的倒立摆规则表“力”“误差变化率”-2-1012“误差”e-222210-12210-10210

-1

-2110-1-2-220-1-2-2-2表2-2-2是把表2-2-1中激活的规则（与上面列出的被激活的规则相同）用方框圈起来得到的。注意因为（位于隶属函数“正小”和“负小”中间），所以这两个隶属函数均断开。如果稍微向正（负）方向推一下倒立摆，为了平衡倒立摆，就应该激活圈起来的这两条规则。随着和的变化，表2-2-2中被激活的规则是动态变化的。这就是推理机的匹配过程。262.2.5

结论的确定

272.2.5

结论的确定

图2-3-13(a)结论隶属函数；(b)规则（2）具有隶属函数的蕴含模糊集合总之，推理过程的输入是由所有激活规则组成的集合，输出是由所有激活规则所得到结论的模糊蕴含集合组成。

282.2.6

结论装换成控制作用（解模糊）图2-3-14蕴含模糊集合

292.2.6

结论装换成控制作用（解模糊）

推荐量的合并这实际上是计算蕴含模糊集合的重心。

302.2.6

结论装换成控制作用（解模糊）

三点重要的说明：1.既使输出隶属函数在蕴含的最小化操作（或者乘积操作）中“切掉了”顶，面积仍然可以是无限的。实际应用中，不允许输出隶属函数面积无限。这就是不允许控制器输出语言变量的隶属函数面积无限的原因（例如在图2-3-8中，不允许输出有饱和的隶属函数）。2.对于模糊控制器输入和输出的定义，必须非常小心，以保证无论模糊控制器的输入是任何值时，公式（2-3-1）的分母不为零。实际上，这意味着对于所遇到的任意控制情况，必须有对应的控制量输出。3.因为输出隶属函数是对称三角形，峰值为1，底宽为w，用简单的几何学就能得到在高度h“切掉顶”的三角形（如图2-3-12和图2-3-13所示）面积的计算公式如下：

312.2.6

结论装换成控制作用（解模糊）

322.2.6

结论装换成控制作用（解模糊）

画出如图2-3-15所示的输出隶属函数。注意尽管在最外侧-20和+20扩展了隶属函数，但是COG方法从不计算超过外侧的值。这是因为在公式（2-3-1）的定义中，这些图形的重心不会扩展到-20和+20