4.2　认识一次函数 导学案（含答案） 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

4．2认识一次函数第1课时均匀变化第2课时一次函数的有关概念学习目标【知识与技能】1．认识“均匀变化”。2．了解“均匀变化”与一次函数的联系。3．了解一次函数，正比例函数的一般形式。【过程与方法】运用一次函数、正比例函数知识解决实际问题。学习重难点【重点】一次函数、正比例函数的一般形式。【难点】探索实际问题中的一次函数、正比例函数关系。学习过程一、创设情境，引入新课问题：某登山队大本营所在地的气温是5℃，海拔每升高1km，气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y℃，试用表达式表示y与x间的关系。解：每升高1km气温下降6℃，那么升高xkm，气温下降6x℃，因此所在位置的气温为5－6x，即y＝－6x＋5。在上述问题中，随着海拔的升高，气温在“均匀”地减少。所谓“均匀”变化是指：海拔升高1km(固定的高度)，气温下降6℃(相同的温度变化)。二、学习新课1．思考：下列问题中变量间的关系可用怎样的函数表示？这些函数有哪些共同点？(1)在20℃～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫的次数C与t(℃)有关，即C的值约是t的7倍与35的差，这个函数的关系式怎么写？C＝7t－35。(2)一种计算成年人标准体重G(kg)的方法是以厘米为单位量出身高h，再减去常数105，所得差是G的值，即G＝h－105。(3)某城市的市内电话的月收费y(元)，包括：月租费22元，拨打电话按0.1元/min收取，写出y与每月打电话x(min)的函数关系式。y＝0.1x＋22。(4)把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少xcm，宽不变，长方形的面积y(cm2)随x(cm)的变化的关系式是什么？y＝5(10－x)＝－5x＋50。结论：上述这些函数右边都是关于自变量的一次式，像这样的函数是一次函数。如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的一次函数，特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数。2．下面的函数是一次函数吗？哪些函数是“均匀”变化的？(1)y＝x－6；(2)y＝eq\f(2,x)；(3)y＝eq\f(x,8)；(4)y＝7－x。解：(1)y＝x－6是一次函数，其中k＝1，b＝－6，是“均匀”变化的。(2)y＝eq\f(2,x)不是一次函数。(3)y＝eq\f(x,8)是一次函数，其中k＝eq\f(1,8)，b＝0，是“均匀”变化的。(4)y＝7－x是一次函数，其中k＝－1，b＝7，是“均匀”变化的。值得注意的是y＝eq\f(x,8)也是一次函数，它是当b＝0时的特殊情况，所以也是正比例函数。“均匀”变化的函数都是一次函数。三、例题学习【例1】求出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数。(1)某农场种植玉米，每平方米种玉米6株，玉米株数y与种植面积x(m2)之间的关系；(2)正方形周长x与面积y之间的关系；(3)假定某种储蓄的月利率是0.16%，存入1000元本金后，本息和y(元)与所存月数x之间的关系。解：(1)y＝6x，y是x的一次函数，也是正比例函数。(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)))eq\s\up12(2)，y不是x的一次函数，也不是正比例函数。(3)y＝1000＋1.6x，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数。【例2】(1)已知函数y＝(k－2)x＋2k＋1，当k为何值时它是正比例函数？当k为何值时它是一次函数？(2)已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3，写出y与x的函数关系式并指出是什么函数。解：(1)当2k＋1＝0，即k＝－eq\f(1,2)时，为正比例函数。当k－2≠0，即k≠2时，为一次函数。(2)因为y与x－3成正比例，所以设y＝k(x－3)，代入得k＝3。所以y＝3(x－3)，即y＝3x－9，y是x的一次函数。【例3】某地个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元，他应缴纳个人工资、薪金所得税为(3860－3500)×3%＝10.8(元)。(1)当月收入大于3500元而又小于5000元时，写出应缴纳个人工资、薪金所得税y(元)与月收入x(元)之间的关系式；(2)某人月收入为4160元，他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元？(3)如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元，那么此人本月工资薪金收入是多少元？解：(1)当月收入大于3500元而小于5000元时，y＝(x－3500)×3%，即y＝0.03x－105(3500＜x＜5000)。(2)当x＝4160时，y＝0.03×4160－105＝19.8(元)。(3)因为(5000－3500)×3%＝45(元)，19.2＜45元，所以此人本月工资、薪金收入低于5000元。设此人本月工资、薪金收入是x元，则19.2＝0.03x－105，x＝4140。即此人本月工资、薪金收入是4140元。四、巩固练习写出下列函数关系式，并指出哪些是一次函数，其中哪些又属于正比例函数。(1)面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm)；(2)长为8cm的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm)；(3)食堂原有煤120t，每天要用去5t，x天后还剩下煤yt；(4)汽车每小时行40km，行驶的路程s(km)与时间t(h)之间的关系式；(5)汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系式；(6)圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系；(7)一棵树现在高50cm，每个月长高2cm，x个月后这棵树的高度为y(cm)。解：(1)～(7)答案略。第3课时分段函数的实际应用学习目标【知识与技能】1．能根据不同情况了解分段函数的含义。2．了解简单的分段函数，并能运用分段函数解决函数值的问题。3．能作出分段函数的图象，利用它解决生活中的简单应用问题。【过程与方法】1．通过对例题的探究，培养勤于动脑、乐于探究、主动参与学习的意识，体会数形结合思想在数学学习中的重要性。2．经过训练与学习，加深对分段函数的概念、图象的认识、应用，提高分析、解决问题的能力。学习重难点【重点】1．分段函数与一般函数的区别与联系。2．如何作分段函数的图象。3．分段函数的实际应用。【难点】1．理解分段函数的含义及会作分段函数的图象。2．利用分段函数解决日常生活中的实际问题。学习过程一、创设情境，引入新课作出函数y＝2x＋1(x＞0)的图象，命名为图①。在同一直角坐标系中，作出函数y＝2x＋1(x＞1)的图象，命名为图②。两者有怎样的联系？解：图略。两者是同一个函数。二、学习新课现在为了保护环境，鼓励节约用电，实行阶梯电价制度。规定每户居民每月用电量不超过160kW·h，则按0.6元/(kW·h)收费；若超过160kW·h，则超出部分每1kW·h加收0.1元。(1)写出某户居民某月应缴纳的电费y(元)与用电量x(kW·h)之间的函数表达式；解：当0≤x≤160时，y＝0.6x；当x>160时，y＝160×0.6＋(0.6＋0.1)×(x－160)＝0.7x－16。所以y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.6x（0≤x≤160），,0.7x－16（x>160）。))(2)小王家3月份，4月份分别用电150kW·h和200kW·h，应缴纳电费各多少元？解：当x＝150时，y＝0.6×150＝90，即3月份的电费为90元；当x＝200时，y＝0.7×200－16＝124，即4月份的电费为124元。小结：对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的表达式的函数叫作分段函数，写分段函数的表达式时要注明自变量的取值范围。三、例题学习【例】小芳以200m/min的速度起跑后，先加速跑5min，每分钟速度提高20m，又匀速跑10min。试写出这段时间里她的跑步速度y(单位：m/min)随跑步时间x(单位：min)变化的关系式。分析：本题y随x变化的规律分成两段：前5min与后10min。写y随x变化的函数关系式时要分成两段来写，且要注意各自变量的取值范围。解：跑步速度y与跑步时间x的函数关系式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20x＋200（0≤x≤5），,300（5＜x≤15）。))四、巩固练习为了加强公民的节水意识，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6m3时，水费按0.6元/m3收费，超过6m3时，超过部