椭圆的标准方程和性质教案中职数学拓展模块一（表格式）

5.1椭圆的标准方程和性质教学内容：椭圆的标准方程和性质教学目标：1．理解和掌握椭圆的标准方程和性质．2．掌握椭圆的几何性质，在习题中灵活运用．教学重难点：重点：椭圆的标准方程和性质．难点：灵活运用椭圆的定义和性质解决问题．核心素养：数学抽象教具准备：PPT教学环节：意图复备（一）引例导入图5-2如图5-2所示，取一条定长的细绳，把它的两端固定在图板上的两点F1和F2上(绳子长度大于丨F1F2|），然后用笔尖将细绳绷紧，并使笔尖在图板上慢慢移动一周，画出的轨迹是什么曲线呢？图5-2（二）椭圆的标准方程引例中笔尖画出的图形是我们常见的椭圆.引例中笔尖画出的图形是我们常见的椭圆.讨论：（1）F1,F2两个点是固定的,还是运动的？笔尖所对应的点呢？（2）笔尖到绳子两端的距离之和与绳子的长度有怎样的关系？（3）试验中为什么要有“绳子长度大于丨F1F2丨”这个限制条件？如果取消这个条件，结果会怎样？根据上面的讨论，我们得到椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点F1和F2叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距.下面，我们根据椭圆的图形特征，选择适当的坐标系，来求椭圆的方程.如图5-3所示，以过焦点F1,F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.设M（x,y）为椭圆上任意一点，它到两焦点F1和F2的距离之和是定长2a(a>0).设椭圆的焦距是2c(c>0),则F1,F2的坐标分别是(―c,0),(c,o).提出问题，引例导入，为学习新知识打基础。学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。教学环节：意图复备根据椭圆的定义，点M满足条件|MF1|+|MF2|=2a.由两点间距离公式，点M满足的条件可表示为(x+c移项，得(x+c两边平方，得(x+c)2+y2=4a化简，得a(x−c)2+两边再平方，得a2整理，得（a2−c2）x2+a2由椭圆定义可知，2a>2c>0,所以a2>c2,即a2-c2>0.设a2-c2=b2(b>0)，得b2x2+a两边同时除以a2b2,得x2这个方程叫做椭圆的标准方程.它的焦点在x轴上，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和是2a,两个焦点的坐标是F1(-c,0),F2(c,0),焦距是2c,这里c2=a2-b2,即c=a2−如图5-5所示，如果椭圆的焦点在y轴上，则焦点的坐标是F1(0,-c),F2(0,c).将焦点在x轴上的椭圆的标准方程中的x和y互换，就可以得到y2a2+x这个方程也是椭圆的标准方程.无论椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上，下面的式子总是成立的，即a2=b学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。教学环节：意图复备例题讲解例1已知椭圆的焦点坐标是F1(-4,0),F2(4,O)，椭圆上任意一点到F1和F2的距离之和是10,求椭圆的标准方程.解：根据题意可知,c=4,2a=10,a=5,且椭圆的焦点在x轴上,因为b2=a2-c2=25-16=9,所以椭圆的标准方程为如x例2已知椭圆的标准方程为x23+y解：因为a>b>0,根据椭圆的标准方程可知，a2=12,b2=3,所以c2=a2-b2=12-3=9,即c=3.又因为椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的焦点坐标为（0,-3）,（0,3）.例3求焦点在x轴上，a=4,且经过点A(2,2)的椭圆的标准方程.解：因为焦点在x轴上,且a=4,所以设所求椭圆的标准方程为x2又因为所求椭圆经过点A（2,3）,所以点A的坐标（2,3）满足椭圆方程，即22解得b2=4因此，所求椭圆的标准方程为x2深入理解教材P151练习椭圆的几何性质我们知道，解析几何是利用曲线的方程来研究曲线性质的.通过对曲线方程的讨论，了解曲线的形状、大小和位置关系.下面，我们就利用椭圆的标准方程x2a2+y2先观察图5-6,你能从图中看出椭圆的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上的哪些点比较特殊？巩固新知，通过例题深入理解。巩固新知。利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，总结分析性质解决教学重点。教学环节：意图复备图5-6（1）范围.图5-6由椭圆的标准方程可知，椭圆上任意一点的坐标（x,y），都适合不等式x2a2≤所以-a≤x≤a，-b≤y这说明，椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里，其中还有四个点在矩形上.矩形的两组对边长分别为2a和2b,对角线交点是坐标原点.（2）对称性.在曲线方程中，如果把x换成-x方程不变，这说明当点M(x,y)在曲线上时，它关于y轴的对称点M’(-x,y)也在曲线上，即曲线关于y轴对称.同理，如果把y换成-y,方程不变，说明曲线关于x轴对称.如果同时把x换成-x,y换成-y,方程不变，说明曲线关于原点对称.在椭圆的标准方程中，把x换成-x,或把y换成-y,或同时把x,y换成-y,方程都不变，这说明椭圆曲线关于y轴,x轴和原点都是对称的.由此可知，椭圆x2a2+y2b2=1（3）顶点.研究曲线上某些特殊点的位置，可以帮助我们确定曲线的位置.要确定曲线在坐标系中的位置，常常需要求出曲线与坐标轴的交点坐标.在椭圆的标准方程x2a2+y2b2=1中,令x=0中，得y=±b,可知椭圆与y轴的两个交点是B1(0,-b)和B2(0,b).同样，在椭圆的标准方程中，令y=0,得x=±a,可知椭圆与x轴的两个交点是A1(-a,0)和A1,,A2，B1,B2是椭圆与它的对称轴的四个交点，它们叫做椭圆的顶点.线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做长半轴长和短半利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，总结分析性质解决教学重点。教学环节：意图复备轴长.综合上述讨论，再根据x,y的对应值的变化情况，我们即可断定椭圆的形状.同样，还可以对椭圆y2a2+x离心率讨论：图5-7所示是三个不同的椭圆.我们发现，它们的扁平程度是不一样的，那么用什么量来刻画椭圆的扁平程度呢？请同学们完成表5-1后回答这个问题.表5-1acb草图a1=10c1=221b1=4图5-7图5-7a2=10c2=91b2=3a3=10c3=311b3=1可以发现，c越接近于a,椭圆越扁，因此我们可以利用a,c两个量来刻画椭圆的扁平程度.椭圆的焦距与长轴长的比e=2c2a=ca因为a>c>0,所以0<e<l,即椭圆的离心率是一个小于1的正数.根据椭圆的几何性质，可以简单地画出椭圆的草图：以椭圆的长轴、短轴为邻边，利用对称性在坐标系中画出矩形；由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；用曲线将四个顶点连成一个椭圆.画图时要注意图形的对称性以及顶点附近的平滑性.由于e=ca,因此当e接近于1时,c接近于a,从而b=a2−c2接近于0,因此椭圆越扁；反之,e接近于0时,c接近于0,从而b=a2−c2接近于a,椭圆越接近于圆.特别地，当c=0,即a=b例题讲解例4求椭圆x225+y利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，总结分析性质解决教学重点。巩固新知，通过例题深入理解。教学环节：意图复备解：根据椭圆的标准方程x225+y29=1及a>a=5,b=3.根据a2=b2+c2,得c2=25-9=16,故于是，椭圆的长轴长为10,短轴长为6,焦距为8;顶点坐标为A1(-5,0),A2(5,0),B1(0,-3),B2(0,3)；焦点坐标为F1(-4,0),F2(4,0)；离心率为e=ca=4例5已知椭圆的离心率e=12，焦距为10,焦点在y轴上，求椭圆的标准方解：由已知，得2c=10,e=ca=1于是,c=5,a=10,b2=100-25=75.所以椭圆的标准方程为y2100+x例6如图5-8所示，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是一个椭圆，地球的中心F2是它的一个焦点，近地点A距地面439公里，远地点B距地面2384公里，并且F2,A,B三点在同一条直线上.已知地球半径为6371公里，求卫星的轨道方程.(结果保留整数)解：如图5-8所示，建立直角坐标系，使点F2,A,B在x轴上，F2为椭圆的右焦点(记F1为左焦点)，则a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|=6371+439=6810,a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6371+2384=8755.解得a=7782.5,c=972.5.∴b=a2−=8755×6810,利用计算器求得b因此，卫星的轨道方程为x277832+例7点M（x,y）与定点(c,0)的距离和它到定直线l:a2c的距离的比是常数ca(a>c>0)，求点巩固新知，通过例题深入理解。教学环节：意图复备解：如图5-9所示，设d是点M到直线l的距离，根据题意可知,所求轨迹就是集合，即P={M||MF|d=由此得(x−c)2+将上式两边平方并化简，得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).图5-9设a2-c2=b2，就可化成x2a2图5-9这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴为2a，短轴为2b的椭圆.这个例题告诉我