2026年高考数学二轮复习专题05 利用导数研究切线与单调性问题（热点）（天津）（解析版）

专题05利用导数研究切线与单调性问题内容导航热点聚焦方法精讲能力突破热点聚焦·析考情锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。题型引领·讲方法系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。能力突破·限时练实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：1.

切线问题考频与位置：每年必考，多在选择/填空的第8-12题，偶尔作为解答题第1问（2024年解答题20题第1问），属于中档题。核心考法：①已知切点求切线方程；②未知切点（切线过定点）求参数；③切线斜率与倾斜角的关系；④公切线问题（2023年填空第12题）。命题特点：以多项式函数、指数/对数函数、三角函数为载体，侧重导数几何意义的直接应用，计算量适中，易因忽略“切点在曲线上”的隐含条件失分。2.

单调性问题考频与位置：解答题必考点，是导数解答题的核心基础（2023-2025年解答题20题第1问均考查），选择填空也会穿插考查（2025年选择第10题）。核心考法：①求不含参函数的单调区间；②含参函数的单调性讨论（按参数范围分类，是天津卷的高频难点）；③由单调性求参数范围（转化为恒成立问题）。命题特点：含参讨论是区分度所在，常结合二次函数的根的分布、判别式分析，2025年出现“单调性与函数极值点个数结合”的新考法。预测2026年：1.

切线问题难度小幅提升：公切线问题大概率回归，可能结合分段函数考查（如分段函数在分界点处的切线），增加“切线与坐标轴围成图形的面积”的衍生问法。载体创新：可能引入分式函数或指数-一次函数的复合形式，强调“设切点→求导写斜率→列切线方程→代入定点”的解题流程。2.

单调性问题：含参讨论仍是核心：参数范围的划分会更隐蔽，可能需要结合定义域限制（如对数函数的真数大于0）进行分类，避免“一刀切”的错误。综合度增强：单调性会与函数极值、最值、零点深度绑定，作为解答题的阶梯式设问基础；选择填空可能出现“由单调性判断函数图象形状”的逆向考法。新趋势预警：可能加入导数的导数（二阶导数）辅助判断单调性的考法，考查逻辑推理能力。题型01“在”点P处的切线问题解｜题｜策｜略求曲线“在”某点处的切线方程步骤第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率第二步（写方程）：用点斜式第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。例1（2026·天津河东·月考）曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为.【答案】【分析】先求得切线方程为，再作出对应的三角形，并计算面积.【详解】由题，，，所以曲线在点处的切线方程为，故得，即交点为；得，即交点为；得，即交点为；如图，阴影部分即为围成的三角形，面积为.故答案为：例2（2026·天津·月考）已知函数，．(1)求在处的切线方程；(2)若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；(3)已知函数有3个零点p，q，r，求证：．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）由函数求导，计算切线的斜率以及切点，根据点斜式方程，可得答案；（2）利用参变分离整理不等式，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，可得答案；（3）根据零点的定义，建立方程，求出零点以及构造函数，根据新函数的性质，等价消元整理不等式，可得答案.【详解】（1）由，求导可得，则函数在处的曲线斜率为，切点的纵坐标为，所以切线方程为，整理可得.（2）当时，等价于.令，则，.①当，时，，故，在上单调递增，因此，即不等式恒成立，.②当时，令，得，，由及得，故当时，，在上单调递减，因此，不满足题意.综上，的取值范围是.（3）由，令，易知，由题意可得，当时，由，整理可得，令，易知为方程的两个不同的根，由（2），且，则易知函数在上单调递减，在上单调递增，且，由，，且，，则，，，由，则，由，则，易知，由函数在上单调递减，则，不等式，可等价整理为，即，令，求导可得，当时，，则函数在上单调递增，，由，则，所以，即恒成立.【变式1】（2026·天津红桥·月考）已知，设函数的图像在点处的切线为，则l在y轴上的截距为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求导，得出切线的斜率，根据点斜式方程求出直线，得到在y轴上的截距.【详解】因为，所以，所以，又，所以函数的图像在点处的切线为，整理得：，故在y轴上的截距为.故选：D【变式2】（2026·天津河西·月考）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求曲线的单调区间和极值；(3)若函数在区间上为单调递增函数，求实数a的取值范围.【答案】(1)；(2)单调递增区间为，单调递减区间为，极小值为，无极大值；(3).【分析】（1）求，，，利用点斜式求出在点处的切线方程；（2）求出，求，利用导数法求出的单调性，利用单调性得到极值；（3）求出，求出，由在区间上为单调递增函数，得到在区间上恒成立，从而得到在区间上恒成立，构造函数，利用导数法得到在区间上的单调性，从而得到，则有，即为实数a的取值范围.【详解】（1），，，，在点处的切线方程，即；（2），，，当，即时，为单调递增函数；当，即时，为单调递减函数；故的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，取极小值为，无极大值.（3），，，在区间上为单调递增函数，在区间上恒成立，在区间上恒成立，在区间上恒成立，设，，，，在区间上为单调递减函数，，，在区间上为单调递增函数，实数a的取值范围为.题型02“过”点P处的切线问题解｜题｜策｜略求曲线“过”某点处的切线方程步骤第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数；第三步：利用Q在曲线上和，解出及；第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．例1（2025·全国·模拟预测）已知函数与的图象都过点，且在点处有公切线．(1)求的表达式；(2)求点处的公切线方程；(3)过点作曲线的切线，使切点在第三象限，求点的坐标．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用两个函数有公共点，以及导数的几何意义，列式求解；（2）由（1）可求得，利用直线的点斜式方程可求切线方程；（3）首先设切点为，再结合导数的几何意义，即可求解.【详解】（1）由已知可得，得，则，．又在点处有公切线，故可得，即，得，则，所以．（2）由（1）知，，所以点处的公切线方程为，即．（3）设切点为，则切线的斜率为，故，解得或，又点在第三象限，故解得，即．例2（2025·天津和平·月考）已知函数(1)当时，若直线l过原点且与曲线相切，求的方程；(2)若函数在上恰有2个零点求a的取值范围；【答案】(1)(2)．【分析】（1）求出函数的导函数，设切点为，利用导数的几何意义求出，从而得到切线方程；（2）问题转化为恰有2个不相等的正实数根，，令，利用导数求出函数的单调性和最值，数形结合得解；【详解】（1）当时，，设直线l与曲线相切于点，因为，所以直线l的斜率，又，故l的方程为，又过原点，所以，所以，所以，故l的方程为，即．（2）因为在上恰有两个零点，所以关于x的方程有两个不相等的正根，即恰有2个不相等的正实数根，，令，则与的图象有两个不同的交点．因为，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，当从0的右侧无限趋近于0时，趋近于；当无限趋近于时，则趋近于，则图象如图所示，所以当时，直线与的图象有两个不同交点，所以实数a的取值范围为．【变式1】（2025·天津和平·调研）过原点的直线与及的图象都相切，则实数的值为.【答案】【分析】设出和的切点，求出切线方程为，再利用导数的几何意义得到，进而得到和的切点为，再代入中，求解即可.【详解】因为切线方程过原点，所以设切线方程为，且设和的切点为，因为，所以，由导数的几何意义得，则切线方程为，将代入方程，得到，解得，则切线方程为，设和的切点为，且，由斜率的几何意义得，解得，代入中，得到切点为，代入中，得到，解得.故答案为：.【变式2】（2025·天津蓟州·月考）已知函数，下列说法正确的个数是（）①函数的单调递减区间为②函数的切线过原点，则该切线的斜率为③若方程有两个不同的实数根，则④函数在区间上不单调，则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由函数解析式写出函数定义域和函数的导数，令导数小于0，求得函数的递减区间及递增区间，判断①；设切点坐标，由两点坐标和导数求得斜率，建立方程求得切点，然后得到其斜率，判断②；由函数单调区间得到函数最大值，从而知道满足题意的的范围，判断③；由函数单调区间建立不等式组，求得的取值范围，判断④.【详解】函数定义域为，，令，解得，即函数在单调递减，在单调递增，∴①错误；设切点为，则，即，解得，此时切线斜率，②正确；由函数单调性可知，，又∵当时，，，当时，，，∴当方程有两个不同的实数根时，，③正确；由单调区间可知，∴，∴④正确.故选：C.题型03切线的平行、垂直问题解｜题｜策｜略结合平行垂直的斜率关系解决与切线平行、垂直的问题。例1（2025·天津·月考）若曲线上存在两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】对函数求导，根据已知有，即可求参数范围.【详解】由，曲线上存在两条切线相互垂直，所以，只需且，即，所以，即.故选：A例2（2025·天津·调研）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若曲线与存在两条公切线，求整数的最小值；(3)已知，函数有3个零点为：，且，证明：.【答案】(1)单调递增区间是和，单调递减区间是(2)(3)证明见解析【分析】（1）先求导，然后根据导函数的正负判断的单调性，由此可确定出单调区间；（2）根据条件写出切线方程，通过联立思想求解出关于切点坐标的表示，由此构造函数分析单调性和最小值，即可确定出整数的最小值；（3）将问题转化为方程有三个根，借助图象分析出的范围，然后通过转化将待证明的问题变为证明，再通过构造函数分析单调性和最值完成证明.【详解】（1），令，解得或，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的单调递增区间是和，单调递减区间是.（2）设切线分别与和交于，的导数为，的导数为，所以处切线方程为，处切线方程为，由公切线可知，，所以，化简可得，因为公切线有两条，所以有两个根；设，所以，因为均在上单调递增，所以在上单调递增，且，所以存在唯一使得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以且，所以，由对勾函数性质可知在时单调递增，所以，所以，且时，，时，，所以若有两个根，则，故整数的最小值为.（3）的定义域为，由题意可知，是方程的三个根；当时，令，所以，令，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，且；当时，令，所以，由解得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，，作出的简图如下图所示，由图象可知，，要证，只需证，即证，因为，所以，又因为在上单调递增，所以只需证，且，所以只需证，即证（*）；设，所以，所以，因为，对称轴且开口向下，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递减，所以，所以对恒成立，所以（*）成立，即成立.【变式1】（2025·天津和平·月考）若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为【答案】【分析】由导数的几何意义将公共切线的斜率分别由两函数上的切点横坐标表示，并据此建立关系，将由切点坐标表示，进而将转化为关于的函数，通过求导求其最大值.【详解】由题意得，，．设公切线与的图象切于点，与的图象切于点，∴，∴，∴，∴，∴．设，则，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，∴实数的最大值为，故答案为：.【变式2】（2025·天津河西·调研）设函数（其中e是自然对数的底数），，已知它们在处有相同的切线．(1)求函数，的解析式；(2)求函数在上的最小值；(3)若对，恒成立求实数k的取值范围．【答案】(1)，(2)(3)．【分析】（1）由切点和切线斜率相同，利用导数求函数，的解析式；（2）利用导数求函数单调性，分类讨论求函数在上的最小值；（3）利用导数研究函数单调性，通过最值解决恒成立问题.【详解】（1）函数，，则有，，由题意，两函数在处有相同的切线，因为，，则，，解得，，所以，．（2），由得；由得，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，当时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，所以．当时，在上单调递增，所以，所以，（3）令，由题意知当时，，因为，恒成立，所以，所以．，因为，由，得，所以；由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，①当，即时，在上单调递增，，不满足．②当，即时，由①知，，满足．③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，满足．综上所述，满足题意的实数k的取值范围为．题型04切线的条数问题解｜题｜策｜略已知，过点，可作曲线的（）条切线问题第一步：设切点第二步：计算切线斜率；第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程；第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解；例1（2025·天津·一模）函数（）的图象关于点成中心对称，则下列结论正确的个数是（

）①在单调递减；②在有2个极值点；③直线是一条对称轴；④直线是一条切线.A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】B【分析】先利用函数的对称性求出函数的关系式，再根据正弦函数的性质，函数的极值定义和导数的几何意义判断各小题的结论即得.【详解】因为的图象关于点对称，所以，，解得，，因为，所以，故，对于①，令，解得，故在单调递减，故①正确；对于②，由，可得，根据正弦函数的图象，可知在区间只有一个极值点，故②不正确；对于③，因，故③不正确；对于④，由，求导可得，，因为，故在点处的切线方程为，即，故直线是曲线的一条切线，故④正确．故选：B．例2（2025·天津蓟州·调研）函数的斜率等于1的切线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．不确定【答案】B【分析】设切点为，根据导数的几何意义求出切线方程，可得切线的条数.【详解】由，得，设切点为，则切线的斜率为，所以，得，所以切点为或，当切点为时，切线方程为，即；当切点为时，切线方程为，即.所以函数的斜率等于1的切线有条.故选：B【变式1（2025·天津滨海新·月考）已知函数，则过点可以作出条图象的切线.【答案】二【解析】设出曲线的切点坐标，对函数求导，利用导数的几何意义，求出切线方程，把点坐标代入切线方程中，求出方程的根进行判断即可.【详解】设切点的坐标为：，，因此切线方程为：，把的坐标代入切线方程中，化简得：或，所以过点可以作出二条的切线.故答案为：二【变式2】（2026·天津·调研）已知函数(1)求曲线在点处的切线方程(2)设函数.（i）求的单调区间；（ii）判断的零点个数，并说明理由；(3)若存在条互相平行的直线与曲线相切，写出的最大值（只需写出结论）【答案】(1)(2)（i）答案见解析；（ii）2个零点，理由见解析(3)【分析】（1）只需求得，即可；（2）（i）直接求导，根据导数的符号判断即可；（ii）根据零点存在定理判断即可；（3）由（1）可得在上都是减函数，作出函数图象和切线，结合图象即可得解.【详解】（1）因为，所以，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为.（2）（i），定义域为，则，所以函数只有单调减区间为，无单调增区间；（ii）又，所以在区间上存在唯一的零点.因为，所以在区间上存在唯一的零点，因此恰有2个零点；（3）.由（1）可得在上都是减函数，作出函数图象，如图，现作出切线，可得最多有4条平行直线与函数图象相切.题型05两条曲线的公切线问题解｜题｜策｜略已知和存在（）条公切线问题第一步：求公切线的斜率，设的切点，设的切点；第二步：求公切线的斜率与；第三步：写出并整理切线（1）整理得：（2）整理得：第四步：联立已知条件消去得到关于的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；消去得到关于的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；例1（2025·天津·月考）若曲线与曲线存在公切线，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为求最值，求得的范围.【详解】由，得；由，得，因为曲线与曲线存在公切线，设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，则，又，则，将代入，得，则，所以，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，则的范围是.故选：D.例2（2025·天津和平·月考）已知函数有最大值，(1)求实数的值；(2)若与有公切线，求的值．(3)若有，求的最大值．【答案】(1)(2)(3)1【分析】（1）求导根据导函数的正负确定原函数的单调性，进而根据最大值为求解即可；（2）分别对两函数求导，设切点，并结合导数的几何意义列式，分别得出与即可求解；（3）转化可得在上恒成立，构造函数，求导分情况讨论的范围，从而分析的最小值可得；同理在上恒成立，构造，求导分析最大值可得，从而得到即可.【详解】（1）由题意为减函数，且，故在上，单调递增，在上，单调递减.故，即，解得，经检验，符合题意．故．（2）由（1），故，公切线公切线.设上切点为，则，代入切线，解得①.设上切点为，，切线方程，由于公切线解得，因此代回，可得，②再代入①，得，（3）对于，可得不等式在上恒成立，即在上恒成立，设，则，若，则，函数在上单调递增，且，符合题意；若，令，令，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，由，得，即①；对于，可得不等式在上恒成立，即在上恒成立，设，则，若，则，不符合题意；若，令，令，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，由，得，即②．当时，由①②得，，即，设，则，，故存在零点，故当且仅当，时等号成立．综上，的最大值为1．【变式1】（2026·天津和平·月考）已知函数(1)若，证明：；(2)若函数与函数的图象有且仅有一条公切线，求实数的取值集合；(3)设，若函数有两个极值点，且，求证：.【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）构造函数，并利用导数去证明即可解决；（2）先分别写出与切线方程，再构造函数，利用导数求其只有一个零点时实数的取值即可解决；（3）构造函数，并利用导数去证明即可解决【详解】（1）时，，即令，则当x变化时，，变化情况如下表10极小0则是唯一的极值点且是极小值点，所以.故（2）令在的切线方程与在，处的切线方程重合与切线方程分别为.有且仅有一解，则，故，代入第二个方程得：，记，则，时单调递减；时单调递增，，当时，即，且，则，若有唯一解，则，易得，综上，实数的取值集合为；（3），，当，即时，函数单调增，无极值点.当，即时，由得：两根，又，当时，只有一根，不合题意，舍去，当时，有两个极值点，且，，要证，即证，只需证，令，则，在上单调递增，故，，即原不等式得证.【变式2】（2026·天津滨海新·月考）直线与曲线相切也与曲线相切，则称直线为曲线和曲线的公切线，已知函数，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设切点求出两个函数的切线方程，根据这个两个方程表示同一直线，可得方程组，化简方程组，可以得到变量关于其中一个切点横坐标的函数形式，求导，求出函数的单调性，结合该函数的正负性，画出图象图形，最后利用数形结合求出的取值范围.【详解】设曲线的切点为：，，所以过该切点的切线斜率为，因此过该切点的切线方程为：；设曲线的切点为：，，所以过该切点的切线斜率为，因此过该切点的切线方程为：，则两曲线的公切线应该满足：，构造函数,当时，单调递减，当时，单调递增，所以函数有最大值为：，当时，，当，，函数的图象大致如下图所示：要想有若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为.故选：C题型06与切线有关的距离最值解｜题｜策｜略利用平行线间距离最短的原理，找寻与已知直线平行的曲线的切线。[例1（2025·天津·调研）已知点在函数的图象上，点在直线上，则两点之间距离的最小值是．【答案】/【分析】首先分析函数的图象，再利用导数的几何意义，转化为点到直线的距离.【详解】，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，函数取值最小值，如图画出函数和直线的图象，

如图，平移直线至与的图象相切时，此时切点到直线的距离为的最小值，此时，得，，即，所以点到直线的距离.故答案为：例2（2025·天津·一模）已知函数．(1)当时，讨论函数的单调性；(2)当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）．①求实数的值；②求证：．【答案】(1)函数的单调递增区间为，单调递减区间为(2)①；②证明见解析【分析】（1）对函数求导，结合a的取值范围分析可得函数的单调区间；（2）①利用导数的几何意义，结合动点到直线的最小值列等式即可求出a的值；②分和两种情况讨论，利用导数研究函数的单调性及最值，则不等式可得证.【详解】（1）函数的定义域为，因为，令，得：，令，得：，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）①由（1）知：．由，又，所以切点，由（1）可知，切点在直线的上方，所以，整理得，设，则，（也可构造）设，则在上恒成立．所以在单调递增．又，又，方程只有1解：．②依题意：要证，当时，，令，在上单调递增，所以不等式成立；当时，要证，即．设，则．设．则．当时，，所以．所以在上单调递减．所以，即．所以在上单调递减，，即当时，成立．综上：当时，在上恒成立．【变式1】（2024·天津·模拟预测）点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线上的点作曲线的切线与曲线交于，过点作曲线的切线与曲线交于点，依此类推，可得到点列：，，，…，，…，已知．(1)求数列、的通项公式；(2)记点到直线（即直线）的距离为，（I）求证：；（II）求证：，若值与（I）相同，则求此时的最小值．【答案】(1)，；(2)（I）证明见解析；（II）证明见解析，最小值为.【分析】（1）根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线方程，再联立切线方程与曲线方程求出切点的坐标，进而可得出数列、的通项公式；（2）（I）求出直线的方程，利用点到直线距离公式求出，再利用等比数列前和公式求解即得；（II）根据（I）再结合指数函数的性质即可得解.【详解】（1）曲线上点处的切线的斜率为，故得到的方程为，联立方程，消去y得：，化简得：，所以：或，由得到点的坐标，由就得到点的坐标，所以：，故数列是首项为1，公比为的等比数列，所以：，；（2）（I）由（1）知：，，所以直线的方程为：，化简得：，因为，所以，；（II），与（I）中相同，当时，此时最小值为．【变式2】（2025·天津·调研）已知点A在函数的图象上，点B在直线上，则A，B两点之间距离的最小值是．【答案】【分析】分析函数单调性得图象，确定A，B两点之间距离的最小值的情况，利用导数的几何意义可得切线方程，从而求得最小距离.【详解】由题意可得，令得所以当，，函数单调递减，当，，函数单调递增，所以，所以的图象如下图：

要使得A，B两点之间距离最小，即直线与平行时，当直线与曲线相切时，与的距离即为A，B两点之间最小的距离，令，解得．由，所以直线的方程为，即则与的距离的距离，则A，B两点之间的最短距离是．故答案为：．题型07求函数的单调区间或单调性解｜题｜策｜略1、求函数单调区间的步骤（1）确定函数的定义域；（2）求（通分合并、因式分解）；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．2、含参函数单调性讨论依据：（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；（3）导函数多个零点时大小的讨论。例1（2026·天津北辰·月考）以函数的图象与函数图象的所有交点的横坐标之和的绝对值为半径的圆的面积是.【答案】【分析】由函数解析式可得两函数图象均关于点对称，进而探讨函数的单调性，然后画出图象的大致形状，即可求得两图象所有交点的横坐标之和，进而得到圆的面积.【详解】易得函数的图象关于点对称，设函数.因为.所以，所以函数的图象关于点对称，，在区间上，此时函数单调递增，在区间和上，此时函数单调递减，当时有极小值；而，当时有极大值；而，画函数图像如图所示：所有交点的横坐标之和的绝对值为圆的面积是.故答案为：.例2（2026·天津北辰·月考）已知，都是定义在上的函数，，，且（且），，若数列的前项和大于1000，则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】利用导数求导法则及已知条件可知，由可求得，可判断数列以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的前项和公式即可求解.【详解】又，即又，得，解得，,由得，所以，则，则数列以为首项，为公比的等比数列，所以，，则的最小值为.故选：D.【变式1】（2026·天津和平·月考）已知函数，，若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由导数知识可得在R上单调递增，然后比较三者大小关系结合单调性可得答案.【详解】，则在R上单调递增.又，，注意到，则，则，因为在R上单调递增.所以，即.故选：A【变式2】（2026·天津·月考）函数，则函数的单调增区间为．【答案】和【分析】利用导数求已知函数的单调增区间即可.【详解】函数的定义域为..令，则.解得，或.所以函数的单调增区间为和.故答案为：和.题型08根据函数的单调性求参数解｜题｜策｜略已知函数的单调性求参数（1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立；（2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立；（3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点（4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点例1（2025·天津滨海新·调研）（1）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是；（2）若函数的单调递增区间为，则实数a的值是.【答案】【分析】（1）根据二次函数的性质得出求解即可.（2）根据二次函数的性质得出求解即可.【详解】（1）函数的图象开口向上，对称轴方程为，且函数在区间上单调递增，所以，解得，即实数a的取值范围是．（2）因为函数的单调递增区间为，所以，所以．故答案为：；例2（2026·天津南开·开学考试）若函数在上单调递增，则实数的最小值为．【答案】【分析】根据复合函数的单调性得出恒成立，结合指数函数的最值得出的最值.【详解】令，因为单调递增，且函数在上单调递增，所以在上单调递增，所以在上，所以恒成立，在上单调递减，所以，所以，则实数的最小值为.故答案为：.【变式1】（2025·天津西青·调研）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题可得在上恒成立，据此可得答案.【详解】，由题，恒成立，即在上恒成立，则.对于函数，其在上单调递减，在上单调递增，所以，则.故选：B【变式2】（2025·天津和平·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题可得在上恒成立，再根据分离参数法并构造函数求出最值即可．【详解】依题可知在上恒成立，当时，在上恒成立，不合要求，舍去；故，则，设，可得，即在上单调递增，，故，即，即a的最小值为．故选：B（建议用时：20分钟）1．（2025·天津·二模）已知函数，其中．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)当时，证明对于任意的实数x，总有；(3)若是的极值点，求a的值．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）利用导数求得，求得，可求切线方程；（2）利用二次求导可得在R上单调递增，结合，可得的单调性，进而可得结论；（3）分，两种情况讨论，对，再分，，讨论可求得结论.【详解】（1）当时，，，则，，所以曲线在处的切线方程为，即．（2）当时，，则，令，则，当且仅当时等号成立．所以在R上单调递增．又，所以当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．所以．（3），则．当时，可证恒成立，令，则，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以，所以，所以，当且仅当时取到等号，所以，．所以．可得在R上单调递增，与题意矛盾，舍去；当时，令，则，且．令，则．显然，在R上单调递增．令，解得．①当时，，可得当时，，故在上单调递增．又，故当时，，当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．又，所以当时，，在上单调递增，故不是极值点，不合题意；②当时，，可得当时，，故在上单调递减．又，故当时，，当时，．所以在上单调递增，在上单调递减．又，所以当时，，在上单调递减，故不是极值点，不合题意；③当时，，可得当时，，当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．又，所以，则在R上单调递增．又，所以当时，，当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．所以是的一个极小值点，满足题意．综上，当且仅当时，是的极值点．2．（2025·天津宁河·模拟预测）已知函数，(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；(2)当时，讨论函数单调性(3)当时，若对任意，不等式恒成立，求的最小值；(4)若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围．【答案】(1)(2)在区间上单调递增，在区间上单调递减(3)(4)【分析】（1）利用导数求切线斜率即可得到等式求值；（2）利用导数与单调性的关系即可求解；（3）利用同构函数思想，结合函数的单调性，再用分离参变量求解即可；（4）先分离参变量，再利用韦达定理消元，最后化成单变量函数进行最值分析即可求解.【详解】（1）由得：，则，又由直线的斜率为，根据题意可知：；（2）由（1）可知，令，得，故函数在区间上单调递增，令，得，故函数在区间上单调递减，综上，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；（3）当时，不等式可化为，变形为同构函数，求导得，所以在上是增函数，而原不等式可化为，根据单调性可得：，再构造，则，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，所以，即满足不等式成立的,所以的最小值为；（4）因为存在两个不同的极值点所以由可得：，，因为，而的对称轴是，所以可得，根据对称性可得另一个零点，此时有，故，又由可得，而令，则，，即，，则，即在区间上单调递减，所以有，即，所以实数取值范围.3．（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】对各选项的单调性与函数值的情况一一判断，利用排除法即可得解；【详解】对于A：，当时，，故排除A；对于B：当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，故排除B；对于D，当时，，，所以在上单调递增，故排除D；对于C，为偶函数，由可得，满足图象，故C正确.故选：C．4．（2025·天津·一模）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据常见不等式，结合对数与指数的运算，可得答案.【详解】由在上恒成立，当且仅当时等号成立，则，即，综上可得，故选：B.5．（2024·天津河西·模拟预测）已知定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：①当时，；

②函数有2个零点；③的解集为；

④，都有．其中正确的命题个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用奇函数的定义与性质可判定①②，通过导数研究函数的单调性、最值可判定③④.【详解】不妨令，则因为为奇函数，所以，即①错误；由上可知，令可得或0，有三个零点，即②错误；对于，显然时，此时单调递减，时，此时单调递增，不难发现时，，时，所以，时，，所以时，，由奇函数的性质可知的解集为；且时，，故时有，则，都有，所以恒成立，即③④正确；故选：B6．（2025·天津·一模）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若恒成立，求实数的取值范围；(3)利用（2）的结论证明：．【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）由不等式恒成立，分离参数构造函数，再求出函数的最大值即得.（3）结合（2）的结论得，，再利用不等式的性质推理即得.【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程为.（2）函数的定义域为，，令，依题意，，恒成立，求导得，由，得；由，得，则函数在上单调递增，在上单调递减，，所以.（3）由（2）知，，即，当且仅当时取等号，则当时，，，…，，因此，所以原不等式成立.7．（2025·天津北辰·三模）设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是.【答案】【分析】等价转化为的整数解唯一，再对分和讨论即可.【详解】存在唯一使的整数解唯一，令，则有有解，而绝对值不等式知，当且仅当同号时等号成立，故此时异号，，图象如下所示：①当时，，即有唯一整数解，（i）若，知过定点，，令与相切，切点为，其中，，易得，即，解得，时，无解.时，若使有唯一解，而，故该解只能为或，若解为，则有，即，解得，如图2所示，若解为，有，即，无解，故舍去.（ii）若，知整数解为，此时有，即，解得，②当时，，即有唯一整数解，由图（1）中①知该整数解为，此时有，即，解得，即.综上所述，的取值范围为.故答案为：.8．（2025·天津·二模）已知函数，其中.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求证：在上单调递增；(3)求证：，且，.【答案】(1)(2)证明见详解(3)证明见详解【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）利用导数研究函数的单调性即可；（3）构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而证明不等式.【详解】（1）当时，又曲线在点处的切线方程为：即．（2）在恒成立，在上单调递增.（3）令，则原不等式等价于令则令，则由（2）知，在恒成立又在恒成立，在单调递减，，在单调递减，，即，9．（2025·天津南开·二模）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)若恒成立，求实数的取值范