5.2 解一元一次方程（习题）（原卷版）-华东师大版(2024)七下

5.2解一元一次方程教学目标1.掌握等式的基本性质和方程的变形规则，能正确进行方程变形；2.熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，能解各类基础及中档一元一次方程；3.理解含参数一元一次方程的核心条件，能解决简单的参数问题；4.会解含绝对值的一元一次方程，初步体会分类讨论思想；5.能运用一元一次方程解决简单实际问题，体会建模思想。教学重难点重点：（1）等式基本性质的灵活应用；（2）解一元一次方程的一般步骤（去分母、去括号、移项的易错点把控）；（3）移项“变号”和去分母“不漏乘”的规则；（4）一元一次方程定义中参数的取值条件。难点：（1）含参数一元一次方程的参数求解（如同解、整数解、无解问题）；（2）含绝对值的一元一次方程的分类讨论；（3）去分母时分子为多项式漏加括号、去括号时漏乘项或符号错误；（4）实际问题中准确提炼等量关系并转化为方程。知识点01：等式的基本性质性质1：等式两边同时加（或减），结果仍是等式（若a=b，则a±c=b±c）；性质2：等式两边同时乘，结果仍是等式（若a=b，则a=b，ac拓展：传递性（若a=b、b=c，则）；对称性（若a=b，则b=a）。【即学即练】1．（甘肃省白银市2025-2026学年上学期期末七年级数学试卷）下列等式变形正确的是（

）A．若12x=6，则x=3 BC．若cx=cy，则x=y D知识点02：方程的变形规则1.规则1：方程两边同时加（或减），解不变（同等式性质1）；2.规则2：方程两边同时乘（或除以），解不变（同等式性质2）。【即学即练】1．（24-25七年级上·河北唐山·期末）下列变形正确的是（

）A．4x-B．-3xC．3x-D．23x知识点03：移项、合并同类项与系数化为11.移项：把方程中的项后从一边移到另一边（依据变形规则1）；2.合并同类项：将含未知数的项和常数项分别合并，化为ax=b(a≠0)的形式；3.系数化为1：方程两边同时除以未知数的，得解x=ba（依据变形规则【即学即练】1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（

）A．3x=5+2可以由B．1-x=2C．由5x=16得D．1-7x=2-6知识点04：解一元一次方程的一般步骤1.去分母：方程两边乘各分母的（不漏乘不含分母的项，分子为多项式时加括号）；2.去括号：按“先小后大”顺序，遵循（括号前是负号时，括号内各项变号）；3.移项：含未知数的项移到左边，常数项移到右边（移项必变号）；4.合并同类项：化为ax=b(a≠0)的形式；5.系数化为1：得方程的解x=b【即学即练】1．（25-26六年级上·上海闵行·月考）解方程：(1)-(2)1-知识点05：一元一次方程的解的情况当_____时，方程有唯一解x=b当_____且当_____且_____【即学即练】1．（23-24七年级上·全国·期末）已知关于x的方程ax=3x+b-知识点06：含参数的一元一次方程相关概念1.一元一次方程定义：未知数次数为且系数（如(m-2)x|m-1|+5=0中，|m-1|=12.常见参数问题：同解问题、整数解问题、错解求参、解与参数无关问题。【即学即练】1．（25-26七年级上·广东深圳·月考）如果方程k-3xk-2+3=0知识点07：含绝对值的一元一次方程解法通过分类讨论去掉绝对值符号（分绝对值内式子大于0、等于0、小于0三种情况），转化为普通一元一次方程求解，结果需检验是否符合分类条件。【即学即练】1．（2025六年级上·全国·专题练习）解下列方程：(1)x-(2)2x题型01：利用等式性质判断变形正误方法技巧：紧扣性质2的“除数不为0”，性质1的“同时加减同一个量”；否定变形需举反例（如ax=ay，当a=0时不能得x=y）。【典例1】.（25-26七年级上·河南商丘·月考）下列等式变形，不一定正确的是（

）A．若m=n，则m+2=n+2C．若m=n，则3m=3n【变式1】.（25-26七年级上·广东潮州·月考）下列各式变形正确的是（

）A．若x-5=6，则x=11 B．若C．若a2=b3，则2a【变式2】.（25-26七年级上·陕西西安·月考）下列运用等式的性质变形中，正确的是（

）A．如果a=b，那么a+c=C．ac2=bc2，那么【变式3】.（25-26七年级上·甘肃平凉·期末）下列运用等式的性质进行的变形中，错误的是（

）A．若2a=b，则b=2aC．若a=b，则a-c=题型02：解方程一元一次方程方法技巧：先移项（含未知数项左、常数项右，变号），再合并同类项，最后系数化为1；步骤可灵活简化。【典例2】.（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）解方程：12【变式1】.（牡丹江市初中课改联盟第一子联盟2025-2026学年上学期七年级期末考试数学试卷）解下列方程：(1)5x(2)y-【变式2】.（25-26七年级上·甘肃金昌·期末）解方程：(1)5x(2)x【变式3】.（25-26七年级上·广东潮州·月考）解下列方程：(1)3x(2)5x(3)5x(4)1-3x题型03：含括号的一元一次方程求解方法技巧：先去括号（先小后大），括号前是负号时括号内各项变号；再按“移项→合并→系数化1”求解。【典例3】.（25-26七年级上·陕西西安·月考）解方程：(1)3(2)3x【变式1】.（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）解下列方程：(1)5x(2)5y【变式2】.（25-26六年级上·上海普陀·月考）已知方程5x+1-1=4x【变式3】.（25-26七年级上·河北唐山·月考）解方程：(1)5x(2)4-x题型04：含分母的一元一次方程求解方法技巧：先找各分母最小公倍数，两边同乘时不漏乘不含分母的项；分子为多项式时加括号，再去括号、移项、合并、系数化1。【典例4】.（25-26七年级上·河南商丘·月考）（1）计算：8÷-（2）解方程：x-【变式1】.（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）解方程：x+5【变式2】.（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）解方程：(1)2x(2)x-【变式3】.（25-26七年级上·广东深圳·月考）（1）计算：-1（2）解方程：5x题型05：根据一元一次方程定义求参数方法技巧：满足两个条件：①未知数次数为1（如|m|-2=1）；②未知数系数不为0（如【典例5】.（25-26七年级上·山东青岛·月考）若关于x的方程m+1xm-3【变式1】.（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）已知关于x的方程k-2xk【变式2】.（25-26七年级上·山东滨州·月考）已知关于x的方程m-3x【变式3】.（25-26七年级上·重庆南川·期中）已知关于x的方程m+1xm=7题型06：一元一次方程的同解问题方法技巧：先分别解两个方程（或一个用参数表示解），根据“解相同”列关于参数的方程，求解参数。【典例6】.（25-26七年级上·山东菏泽·月考）若关于x的一元一次方程ax-3=2x的解与方程5x【变式1】.（25-26七年级上·陕西榆林·期中）若关于x的方程3x+2m+5=0的解与方程2x【变式2】.（25-26七年级上·陕西西安·月考）已知关于x的方程a-2xa-1+4A．x=-2 B．x=-1 C．x=0【变式3】.（25-26六年级上·上海·月考）如果方程3x-42-题型07：利用整体代换（换元法）解同类结构一元一次方程方法技巧：观察两个方程的结构，找出同类整式（如1-y、2y+1等）作为整体，设为新未知数（如t、1-【典例7】.（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的一元一次方程2025x-3=4x+3b的解为A．y=-4 B．y=5 C．y=4【变式1】.（25-26七年级上·浙江温州·月考）若关于x的方程x3=12-ax的解为x=7A．y=6 B．y=-6 C．y=8【变式2】.（25-26七年级上·湖北黄石·月考）已知关于x的一元一次方程x2021+3=2021x+m的解为x=3，那么关于A．3 B．-3 C．2 D．【变式3】.（25-26七年级上·湖北武汉·期中）若关于x的一元一次方程12025x+3=2x+b的解为x=-3，则关于yA．y=1 B．y=-1 C．y=-2题型8：含绝对值的一元一次方程求解方法技巧：分情况讨论绝对值内式子的符号（＞0、＝0、＜0），去掉绝对值符号转化为普通方程；解得结果后检验是否符合分类条件，舍去不合理解。【典例8】.（25-26六年级上·山东济宁·月考）若|x-2|=4，则【变式1】.（25-26七年级上·重庆·月考）已知a+2=3，b=3(1)若ab<0且a-b(2)若a+b=-a+【变式2】.（2025七年级上·全国·专题练习）解方程：x【变式3】.（25-26七年级上·山东枣庄·期中）阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道5-3可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理5--2可以表示5与-2之差的绝对值，同时也可以理解为5根据材料利用绝对值的几何意义在数轴上探究下面的问题：【初步探究】（1）x+3表示数轴上与（2）若x+3=4，则x值为【拓展探究】（3）求使x+3=x（4）求使x+3+x题型9：一元一次方程的解与参数无关问题方法技巧：将方程整理为(k⋅m+n)x=p⋅m+q形式，令参数的系数为0（如【典例9】.（25-26七年级上·山东东营·月考）【知识回顾】在学习代数式求值时，遇到这样一类题，“代数式ax-y+6+3x-5y-1的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x，y看作字母，把a看作系数合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x【知识应用】（1）当m=_____，n=_____时，关于x的多项式3x4-（2）已知A=-3x2+3xy+3y+1，【知识拓展】（3）元旦快到了，某商场计划购进甲、乙两种学习机共30台进行销售，甲种学习机每台进价600元，每台售价920元；乙种学习机每台进价400元，销售利润率为60%（利润率=利润进价100%）．购进学习机后，商场决定：每售出一台甲种学习机，返还顾客现金b元，乙种学习机售价不变．设购进甲种学习机x台，当销售完这30台学习机的利润与x的取值无关时，求出此时b的值及售完这30【变式1】.（25-26七年级上·江西抚州·期中）知识回顾：七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“关于x，y的代数式ax-y+6+3x-5y-1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是把x，y原式=(a+3)x-6理解应用：(1)若关于x的多项式-6x+2mx-1(2)已知：A=2①计算：A-②当m取何值时，A-2B【变式2】.（22-23七年级下·安徽六安·期中）【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式ax-y+6+3x-通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．具体解题过程是：原式=(a∵代数式的值与x的取值无关，∴a+3=0解得：a=-3【理解应用】（1）若关于x的多项式(2m-4)x+2（2）已知A=(2x+1)(x-2)-x(1-3m【解决实际问题】请利用上述问题中的数学方法解决下面问题：初春是感冒的多发季，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，已知甲型号口罩每箱进价为800元，乙型号口罩每箱进价为600元，该医药公司决定，决定购进两种口罩共20箱，有多种购进方案．现销售一箱甲型口罩，利润率为45%，乙型口罩的售价为每箱1000元．为了尽快完成销售，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金m元，甲型口罩售价不变，要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，求m的值．【变式3】.（24-25七年级上·安徽亳州·期中）已知，数轴上的点M在原点右边，与原点的距离为7个单位长度，点N在原点左边，点M、N相距9个单位长度．(1)若点M、N在数轴上所表示的数分别为m，n，则m=_________，n=(2)情境：有一个玩具火车AB如图所示，放置在数轴上，左右两端点A、B分别对应数a、b，现将玩具火车沿数轴左右水平移动，当端点A所对应的数为b时，端点B所对应的数为m；当端点B所对应的数为a时，端点A所对应的数为n，则玩具火车AB的长为_________个单位长度；(3)探究：在（2）的条件下，当火车AB匀速向右以每秒3个单位长度运动，同时点P和点Q分别从N、M出发，以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车AB运动后对应的位置为A1B1．是否存在常数k使得kPQ-B1A的值与它们的运动时间无关？（PQ表示P，Q两点之间的距离；B题型10：整体思想解一元一次方程方法技巧：将含未知数的整式（如x+1、x-【典例10】.（25-26七年级上·广西南宁·月考）阅读材料并解答下列问题：“整体思想”是中学数学的一种重要思想方法，运用其解决问题，可以使复杂问题简单化．我们知道，5x-3x+(1)把(a-b)看成一个整体，合并4((2)已知a-b=-3,(3)把(2x-1)看成一个整体，运用“整体思想”【变式1】.（24-25七年级下·山西临汾·月考）阅读与思考阅读下列材料，完成后面任务．整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规方法不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如：已知x2+x=1，求x2任务：(1)如图，若a-b=4，求长方形A与(2)当x=1时，代数式ax5+bx3+cx(3)A，B两地相距60千米，某日，甲从A地出发前往B地，同时，乙从B地出发前往A地．已知甲每小时行a千米，乙每小时行b千米，经过2小时，甲、乙两人相遇．若经过t小时，甲、乙两人相距20千米，请直接写出t的值．【变式2】.（25-26七年级上·河北邢台·月考）阅读理解：我们知道．5x-2x+x=5-2+1x尝试应用：(1)把2x-1看成一个整体，运用“整体思想(2)已知x2-2y(3)已知a-2b=2【变式3】.（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）阅读理解：我们知道，5x-2x+x=5-2+1x(1)尝试应用：已知x2-2y在解一元一次方程时，有时根据方程的特点，巧妙利用“整体思想”，可以达到简化计算的效果．例如：在解方程512x令m=12移项，得5m合并同类项，得-m系数化为1，得m=2故12x+(2)请用同样的方法解方程：20258(3)已知关于x的方程7x+2026+n3=30x+1一、单选题1．若x=1是方程ax+3x=2的解，则A．-1 B．5 C．1 D．2．下列式子中是一元一次方程的是