2025年高一数学期中

2025年高一数学期中考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x|-1<x<2},B={x|x≥1},则A∩B=?(A){x|x<-1}(B){x|1≤x<2}(C){x|x≥2}(D){x|-1<x≤1}2.“x>1”是“x²>1”的什么条件？(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件3.已知命题p:∃x∈ℝ,使得x²+x+1=0;q:∀x∈ℝ,x²+x+1>0.下列判断正确的是？(A)p∧q为真命题(B)p∨q为假命题(C)¬p为真命题(D)¬q为真命题4.函数f(x)=(x-1)³的图象关于哪个点中心对称？(A)(0,0)(B)(1,0)(C)(2,0)(D)(1,1)5.函数g(x)=log₃(x+1)的定义域是？(A)(-∞,-1)(B)(-1,+∞)(C)ℝ(D)[-1,+∞)6.若f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x²-2x,则当x<0时，f(x)等于？(A)x²+2x(B)-x²-2x(C)x²-2x(D)-x²+2x7.函数h(x)=|x-2|+|x+1|的最小值是？(A)1(B)3(C)-3(D)-18.设i是虚数单位，复数z=(3-2i)/i,则z的实部是？(A)-2(B)2(C)-1(D)19.已知函数y=a"-2x+3在x=1处取得极小值，则实数a的值是？(A)-4(B)-2(C)2(D)410.若函数m(x)=2^x+k在ℝ上单调递减，则实数k的取值范围是？(A)k<0(B)k>0(C)k<-1(D)k>-1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11.不等式|2x-1|<3的解集是__________________.12.若函数f(x)=ax³-3x+1在x=2处有极值，且极值为-3，则a=__________.13.若集合A={1,2,3,m},B={2,4,6},且A∪B={1,2,3,4,6},则实数m=__________.14.已知直线l₁:ax+2y-1=0与直线l₂:x+(a+1)y+4=0平行，则a=__________.15.计算：lim(x→2)(x²-4)/(x-2)=__________.三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）设集合A={x|ax+1>0},B={x|x²-2x-3≤0}。若A∩B=(1,+∞)，求实数a的取值范围。17.（本小题满分12分）已知函数f(x)=log₃|x|+a。(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(3)=1，求函数f(x)的解析式，并判断其在(0,+∞)上的单调性。18.（本小题满分12分）已知复数z₁=1+i,z₂=3-2i。(1)求z₁z₂的模；(2)若复数w满足|w-z₁|=|w-z₂|，且w的实部为1，求w。19.（本小题满分13分）讨论函数g(x)=x³-3x+2的单调性。20.（本小题满分13分）已知函数h(x)=eˣ-kx，其中e是自然对数的底数。(1)求函数h(x)的导函数h'(x)；(2)若函数h(x)在x=1处取得极值，求k的值，并判断该极值是极大值还是极小值。21.（本小题满分15分）已知函数F(x)=f(x)-x，其中f(x)是定义在ℝ上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x²-4x+3。(1)求f(x)的解析式；(2)求函数F(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值。试卷答案一、选择题：1.B2.A3.D4.B5.B6.B7.B8.D9.C10.A二、填空题：11.(-1,2)12.113.414.-215.4三、解答题：16.解：由ax+1>0，得x>-1/a(a≠0)。故A=(-1/a,+∞)。由x²-2x-3≤0，得(x-3)(x+1)≤0。故B=[-1,3]。由A∩B=(1,+∞)，得-1/a=1，即a=-1。经检验，a=-1时，A∩B=(1,+∞)成立。故实数a的取值范围是{-1}。17.解：(1)函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)。f(-x)=log₃|-x|+a=log₃|x|+a=f(x)。故函数f(x)是偶函数。(2)由f(3)=log₃|3|+a=1，得log₃3+a=1，即1+a=1，解得a=0。故f(x)=log₃|x|。在(0,+∞)上，f(x)=log₃x是增函数。18.解：(1)z₁z₂=(1+i)(3-2i)=3-2i+3i-2i²=3+i+2=5+i。|z₁z₂|=√((5)²+(1)²)=√(25+1)=√26。(2)设w=1+bi(b∈ℝ)。由|w-z₁|=|w-z₂|，得|(1+bi)-(1+i)|=|(1+bi)-(3-2i)|。|bi-i|=|bi-3+2i|。√((-1)²+(-1)²)=√((-3)²+(2)²)。√2=√(9+4)。√2=√13。此等式不成立。另解：设w=x+yi(x,y∈ℝ)。由|w-z₁|=|w-z₂|，得|(x-1)+(y-1)i|=|(x-3)+(y+2)i|。√((x-1)²+(y-1)²)=√((x-3)²+(y+2)²)。(x-1)²+(y-1)²=(x-3)²+(y+2)²。x²-2x+1+y²-2y+1=x²-6x+9+y²+4y+4。-2x-2y+2=-6x+4y+13。4x-6y=-11。由w的实部为1，得x=1。代入上式，得4(1)-6y=-11，即4-6y=-11，解得-6y=-15，y=2.5。故w=1+2.5i。19.解：函数g(x)=x³-3x+2。求导数，得g'(x)=3x²-3=3(x²-1)=3(x-1)(x+1)。令g'(x)=0，得x₁=-1,x₂=1。列表分析g'(x)和g(x)的变化情况：|x|(-∞,-1)|-1|(-1,1)|1|(1,+∞)||--------|----------|------|----------|------|----------||g'(x)|(+)|0|(-)|0|(+)||g(x)|递增|极大|递减|极小|递增|故函数g(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增，在区间(-1,1)上单调递减。20.解：(1)函数h(x)=eˣ-kx。求导数，得h'(x)=deˣ/dx-dkx/dx=eˣ-k。(2)由h(x)在x=1处取得极值，得h'(1)=0。e¹-k=0，即e-k=0，解得k=e。当x<1时，h'(x)=eˣ-e<0；当x>1时，h'(x)=eˣ-e>0。故当x=1时，函数h(x)取得极小值。21.解：(1)当x<0时，-x>0。f(-x)=(-x)²-4(-x)+3=x²+4x+3。由f(x)是奇函数，得f(-x)=-f(x)。故当x<0时，f(x)=-(x²+4x+3)=-x²-4x-3。综上，f(x)的解析式为：f(x)={x²-4x+3,x≥0}{-x²-4x-3,x<0}(2)函数F(x)=f(x)-x。当x≥0时，F(x)=(x²-4x+3)-x=x²-5x+3=(x-5/2)²-25/4。当x<0时，F(x)=(-x²-4x-3)-x=-x²-5x-3=-(x+5/2)²+25/4。在区间[-3,0]上，F(x)=-(x+5/2)²+25/4是开口向下的抛物线，对称轴为x=-5/2。在此区间上，F(x)在x=-5/2处取得最大值25/4。F(-3)=-(-3+5/2)²+25/4=-(-1/2)²+25/4=-1/4+25/4=6。F(-5/2)=25/4。在区间[0,3]上，F(x)=(x