安徽省示范高中培优联盟2024-2025学年高一数学下学期春季联赛试题理含解析

安徽省示范中学培优联盟2024-2025学年高一数学下学期春季联赛试

题理(含解析)

第I卷(选择题共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的)

1.设集合A="*2—2x—8<0},集合3={1册川>1},则Al8=()

A.{x|-l<x<2}B.{x|-2<x<-l)

C.{x|x>-2}D.{x|-l<x<4}

【答案】D

【解析】

【分析】

分别解出集合A,B的兀素，川由集合的交集运算得到结果.

【详解】A={x|V-2X—8<0}={X|(X+2)(X—4)<0}={X|-2<X<4},

B={x|x>-1),Ac8={x|-1<x<4}.

故选:I).

【点睛】这个题目考查了集合的交集运算，属于基础题.

2.实数X,>满意则下列不等式成立的是(〉

A.—<1B.2T<2->

x

2

C.lgx>lgyD.A;2>y

【答案】B

【解析】

【分析】

对于ACD选项，当x<0,y<0时，明显不成立：对于B可依据指数函数的单调性得到结果.

【详解】由题意，当x〈0,y〈0可得到上〉1,而IgxJgy没有意义，此时/<),2故A不正确

x

CD也不对；指数函数>=2、是定义域R上的单调递增函数，又由则rv—)，，所以

2-*<2-y.故B正确；

故选B.

【点睛】本题考查了比较大小的应用：比较大小常见的方法有：作差和0比，作商和1比，

或者构造函数，利用函数的单调性得到大小关系.

3.已知关于x的方程xcosAcosB—2cos2—+2=0的两根之和等于两根之积的一半，

2

则AABC肯定是()

A.直角三角形B.等腰三角形

C.钝角三角形D.等边三角形

【答案】B

【解析】

【分析】

依据题意利用韦达定理列出关系式,利用两角和与差的余弦函数公式化简得到/=反即可确

定出三角形形态.

【详解】设已知方程的两根分别为汨，即，

cc

22

依据韦达定理得：玉+x2=cosAcosB,x}x2=-2cos—+2=2sin-=\-cosC

1

,.,汨+也=-M尼,

2

/.2cosJcos2?=1-cosG

•・•1+加-n,

•\cosC=-cos(4+6)=-cos/lcos丹sin/fsinO,

/.cosJcos2?+sinJsin^=1,即cos(A-=1»

：.A-B=Qt即力=区

，△力颇为等腰三角形.

故选：B.

【点睛】此题考查了三角形的形态推断，涉及的学问有：韦达定理，两角和与差的余弦函数

公式，以及二倍角的余弦函数公式，娴熟驾驭公式是解本题的关键.

4.a=(cos6>,sin0),|/?|=3,且a_L(a+g〃)，则向量°与向量入的夹角为()

【答案】B

【解析】

【分析】

通过向量的垂直转化为向量的数量积的运算，利用向量夹角的余弦公式求出其余弦值，问题

得解.

【详解】:41"罚

a+-b\=0,HP：a+-a-b=O

I3)3

又同=1,:.ab=--

3

・•・向量。与向量人的夹角的余弦为cos(a,讣=/A=一=一直，

'/郦|1x732

*'•向量。与向量Z?的夹角为：--

6

故选：B

【点睛】本题考查向量夹角公式及向量运算，还考查了向量垂直的应用，考查计算实力.

5.函数f(x)=(»-2),丁一4为零点个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

先得到函数的定义域为：戈22或xW-2,解方程/(x)=0nx=2或一2.

【详解】要使困数有意义，则f-420,即工22或xW—2,由/(x)=0=x=2或工二-2

函数的零点个数为2个.

故选：B.

【点睛】这个题目考查了函数的零点的求解，函数的零点即方程的根，两者可以干脆转化.

6./(x)=log2(—)-COSX的部分图象大致为()

【答案】B

【解析】

【分析】

推断函数的奇偶性以及对称性，结合函数值的符号是否一样进行解除即可.

【详解】r(-"=r(幻，则函数r(外是偶函数，图象关于y轴对称，解除小D,

f(n)=7/231-COSJI=7z/n41>0,解除。，

故选：B.

【点睛】本题主要考查函数图象的识别和推断，利用函数的对称性以及特殊值的符号进行解

除是解决本题的关键.

7.函数N=lg(/+10式+6)的零点是％=tana和占=tan£,则tan(a+£)=()

A-1B-iD.

【答案】B

【解析】

【分析】

先由韦达定理得到《tanor+ta:n/7u=-10，再由两角和的正切公式得到结果.

tantztanp=5

【详解】因为y=lg(/+IOx+6)的零点是％=lana和々=tan/7,所以网，声是方程

tan«+tanZ?=-10

Y+心+5=°的两个根’依据韦达定理得到1皿。加四二5'再由两角和的正切公式

,小tana+tanZ?5

得到：39+0=匚嬴诋

故选B

【点睛】本题考查了二次方程的根，以及韦达定理的应用，涉及正切函数的两角和的公式的

应用，属于基础题.

8.A48C中，AB=5,AC=10,4346=25，点尸是A4BC内(包括边界)的一动点,

32

且=--义AC(4eR),则AP的最小值是()

a/a

A.历B.739C.3D.士

2

【答案】C

【解析】

【分析】

由题干条件和向量点积公式得到三角形的边长，再依据向量加法的平行四边形法则得到P所

在的轨迹，进而得到结果.

依题意A8♦AC=5xl0cosA=25ncosA=gnA=。.由余弦定理得5c=56，故

3

AA8c为直角三角形.设=过。作OP'//AC,交BC于P',过P'作即'//AB,

32

交AC于E.由于AP=-AB—AAC（AeR）,依据向量加法运算的平行四边形法则可知，

55

产点位于线段OP'上，由图可知最短时为4。，所以A。=3.

故选C.

【点睛】（1）向量的运匏将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合供应了前提，

运用向量的有关学问可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向

量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不

等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法；（3）向量的两个作用：①载体作用：关键是

利用向量的意义、作用脱去“向量外衣"，转化为我们熟识的数学问题：②工具作用：利用

向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

2x-y-3>0

9.设变量x,V满意约束条件<X一2>-44。，若目标函数2=0¥+切，3>0,〃>0）的最小

值为1，则』+：的最小值为（）

ab

A.7+276B.7+2&

C.3+276D.3+2收

【答案】D

【解析】

【分析】

作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的学问即可得到结论.

2x-y-3>0

【详解】变量右y满意约束条件—2.y—440的可行域如图，

”1

当直线£=々产"（々>0,〃>0）过直线y=1和2*-y-3=0的交点（2,1）时，有最小值为

1;

/.2C?+Z?=1,—+—=（2广力）：一+一）=3+—H—23+2」——x—=3+2-y/9•

ababba\ba

故选：D.

【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键.

10.若数列｛6｝为等差数列，｛a｝为等比数列，且满意：《+生0|9=万，422019=2,函数

/(x)=sinx,则了幺幽土4业=()

11+/?!OOQ^IOI])

11

I石R,6n

A.----B.-C.---D.---

2222

【答案】C

【解析】

【分析】

依据等差和等比数列的性质得到f]=/(?]进而得到结果.

J+^1009^1011JIJ，

【详解】依据等差数列性质得到4+。2019=4009+40"=丁，依据等比数列的性质有

Xb刈9=%—；4KU。"]=/(J]=4.

故本题选C.

【点睛】本题考查等比数列和等差数列的性质的应用，是基础的计算题，刻于等比等差数列

的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是视察各项间的脚

码关系，即利用数列的基本性质.

11.将函数=4sing—gx和直线g(x)=x-1的全部交点从左到右依次记为A，

IN乙)

4,…，A“，若。点坐标为(0,6)，则卜A+PA2+...+PA卜()

A.0B.2C.6D.10

【答案】I)

【解析】

【分析】

画出函数图像，依据对称性得到/人+叫+...+%=5%=5(1,々5),进而得到结果.

【详解】函数/(x)=4cos(]x)与g(x)=x-1的全部交点从左往右依次记为4、&、A,、

A]和4，且A1和4，4和儿，都关于点A,对称，如图所示：

则出+%+...+/=5P\=5(1,-V3),所以卜4+PA2+...+尸⑷=10.

故选：I).

【点睛】这个题目考杳了向量加法的平行四边形法则，涉及函数的图像的交点问题，属于综

合题.向量的两个作用：①我体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化

为我们熟识的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

12.对于数列｛《』，若随意机,〃£"(〃?>〃)，都有金一。,？“加一〃)(，为常数)成立，则

称数列｛q)满意，级收敛，若数列｛〃”｝的通项公式为〃“=bg2〃，且满意/级收敛，则/的最

大值为()

A.6B.3C.2D.0

【答案】D

【解析】

【分析】

依据题干中对收敛数列的定义得到｛log?〃-〃?｝是递增数列或常数列，相邻两项相减得到

2+|-〃=log，"—，N°，进而得到结果•

'n

【详解】由题意：K与二％对随意的和〃£*（〃?>〃）恒成立，凡二k）g,〃，且/级收敛,

m-n

则三1。氏吁1。叱恒成立,即（晦加一加）一（晦〃一叽。恒成立,据此可知数列

tft-nm-n

｛10g2〃-加｝是递增数列或常数列，令a=10g2〃T〃，依据数列是单调递增的得到

=l°g2（〃十1）一.（〃十1）也”_d=1og2笠TNO

据此可得：，41。8，四<1。幺1=0恒成立，故f40,/的最大值为0.

n

故选D.

【点睛】这题目考查了数列单调性的应用，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性探讨

数列的单调性，必需留意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性右.所不同：也

可以通过q川一%差值的正负确定数列｛a,｝的单调性.

第H卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）

13.已知函数/（工）=（2加-1）/"为累函数，贝U/（4）=_______.

【答案】16

【解析】

【分析】

依据某函数定义求出m的值，写出f（x）的解析式，即可计算f（4）的值.

【详解】由题意，函数f（x）=（2m—l）xm"为寻函数，—1=1,解得m=l，

/.f（x）=x2,/.f（4）=42=16,

故答案为：16.

【点睛】本题考杳了家函数的定义，及索函数的求值问题，其中解答中熟记案函数的定义，

用定义求得辕函数的解析式是解答本题的关键，着重考查了推理与计算实力，属于基础题.

14.已知函数/（x）=2sinyx,则/（1）+/（2）+...+/（2019）=________.

【答案】26

【解析】

【分析】

依据函数表达式得到函数的周期，得到/⑴+/'(2)+...+/(6)=0,进而得到结果.

【详解】依题意可得/(x)=2singx,其最小正周期7=6,且/(1)+/(2)+...+/(6)=0,

故/⑴+/(2)+...+/(2019)=/⑴+/(2)+八3)=273.

故答案为：2.

【点睛】这给题目考查了正弦函数的周期的求法和应用，属于基础题.

15.设非零向量〃，。的夹角为。，idf(a,b)=acossin<9.若q,4均为单位向量，

且q=~~，则向量与/(e2，—5)的夹角为•

7T

【答案】g

2

【解析】

分析】

依据题意得到了(qgheiCOsO-.sin。，/仁,-")sin。-62cos〃，再依据向量点

积的公式得到向量夹角即可.

【详解】由题设知，若向量e,e；的夹角为。，则电，一百的夹角为乃-6.由题意可得

/(epe2)=qcos6^-e2sin0,

f(e2,-q)=e2cos("一0)+qsin(〃一0)=qsin0—e?cos0，

/(<?!,e2)-fe，-q)=(e]cos0-e2sin6)•(qsin0-e2cos6)

22

=e：cosOsinJ-q-e2cos0-e{-e2sing+e；cos®sin夕=2sin夕cos夕一

*：=@~，cos0-»sine=1,2sin^cos^-^^=2x—=0>向量

1■2222222

—•—•—•冗

/(qq)与/(G，-q)夹角为

故答案为：—

【点睛】这个题目考查了向量数量积的应用，以及向量夹角的求法，平而对量数量积公式,有

两种形式，一是。电=同网3氏二是。力=中2+）；）’2,主要应用以下几个方面：⑴求向

量的夹角，cos°=7T7I（比时〃乃往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a在.b上的投

影是-[7丁；（3）〃向量垂直则〃./?=0;（4）求向量〃?〃+汕的模（平方后需求〃•/?）.

16.已知函数/（幻=一/+⑪+。+2,g（%）=2口若关于x的不等式/（x）>g（x）恰有两

个非奥擎鳌解，则实数〃的取值范围是.

10

【答案】2

35

【解析】

【分析】

由题意可得/•（*）,g（X）的图象均过（-1,1）,分别探讨a>0,aVO时，f（x）>g（x）

的整数解状况，解不等式即可得到所求范围.

【详解】由函数/（幻=一/+以+。+2,g（x）=2向可得/（/）,以幻的图象均过（—11），

且/（x）的对称轴为工=2,当。>0时，对称轴大于0.由题意可得fW>g（x）恰有0,1两

2

斐；当”0时，对称轴小于。.因为/（T）=g（T），

个整数解，可得〈

由题意不等式恰有-3,-2两个整数解，不合题意，综上可得〃的范围是（|,与.

故答案为：.

【点晴】本题考查了二次函数的性质与图象，指数函数的图像的应用，属于中档题.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.记S“为等比数列｛为｝的前〃项和,4=8,53=2（«2+3）.

（I）求｛4｝的通项公式：

（II）已知，=<生…外,且（K2"'（〃】eZ）,求〃?的最小值.

4

【答案】（I）an=2-"；（II）6.

【解析】

【分析】

（I）依据题干条件得到4+久=。2+6,进而求得公比，得到通项；（II）结合第一问得到

（7-n）n

1=2丁，依据指数函数的单调性和二次函数的性质得到最大值为64,进而得到结果.

【详解】（I）设伍”｝的公比为九由题意§3=2（%+3）得：％+%=4+6,依据等比数列

通项公式得到：q=g,所以%=2-”.

<H）7；=qa,..q=2F-，y=,当〃=3或4时，7；取得最大值64.

所以2"'之64=>〃726，故〃，的最小值为6.

【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的题，常用到

的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是视察各项间的脚码关系，即利用

数列的基本性质.

18.已知函数/W=4sin?sin竽一g-1（0<co<6）的图象的一条对称轴为x=巳.

2123yz6

<I）求f（x）的最小正周期及单调递增区间：

（II）求/（X）在区间一上的最大值和最小值.

【答案】（I）肛—+k7t——+k7r,keZ：（II）0,-2.

_6y3

【解析】

【分析】

（1）通过两角和差的正弦公式得到化简之后的式子，进而求得周期和单调区间；（［【）结合

第一问得到函数的单调性，进而得到函数最值.

【详解】(I)/(x)=4sin与sin-2sinCDX+—

I6

71C0717171

x=一是对称轴，——+—=k7r+—,ZwZ,且0<<wv6,k=0,(o=2,

6662

/(x)=-2sin2K+£,其最小正周期为乃：单调递增区间为：二+4乃,拶+&4,keZ.

V6/63

(II)由(I)可知,/(X)在一今菅递减，在H递增，f--^)=0,/g=-i.

63\1\/

可知当戈二一二时得最大值为0；当户刍时得最小值-2.

126

7T7T

故f(x)在区间一方7上的最大值为0,最小值为-2.

【点睛】已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简洁化原则，将解析

式先化简，并留意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如片力sin(3叶。)(其中SO)

的单调区间时，要视为一个整体，通过解不等式求解.但假如3<0,那么肯定先

借助诱导公式将3化为正数，防止把单调性弄错：③若3<0,利用诱导公式二把y=/lsin(3x

+0)中x的系数化为大于0的数.

19.如图，AA8C的三个内角A，B,C对应的三条边长分别是叫b,c,角3为钝角,

(I)求sinA的值：

(II)求ABC。的而枳.

【答案】(DsinA=@(2)|

55

【解析】

【分析】

3

（1）依据余弦的二倍角公式求出cos3=一《，利用余弦定理求出a=2,再依据三角形的形

态和二倍角公式，求得siM

（2）由（1）可求出cosA二述，RfMBD中,求得4。=不，述，再由

55

SABCD=^axC£）sinC,即可求出面积.

77

【详解】解：（1）由cos28=-六得：2cos2B-l=--,且角4为钝角,

3

解得：cosB=--

64,(3

由余弦定理c、2=/+/-2accosB得：—=a2+4-4a--

35\>

解得4=2

可知A48C为等腰三角形，即A=C

所以cosB=-cos2A=—(1—Zsin")=-],

解得sinA=@

5

⑵由sinA=可知cosA=上亚

55

在R/A/48。中，一—=cosA,AD=y/5»CD=b—4£)='亚一#>=石

AD55

三角形面积S&BCD=g°xCOsinC=；x2x半点=|

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积计算问题，考查余弦的二倍角和三

角形的内角和定理，三角形中的求值问题，须要结合已知条件选取正、余弦定理，敏捷转化

边和角之间的关系，达到解决闪题的目的.其基本步骤是：

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，然后确定转化的方向；

其次步：定工具，即依据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化：

第三步：求结果，即依据已知条件计算并判定结果.

20.2024年春节期间，由于人们燃放烟花爆竹，致使一城镇空气出现污染，须喷洒肯定量的去

污剂进行处理.据测算:，每喷洒1千克的去污剂，空气中释放的浓度)'(单位：亳克/立方米)

l+p0<.v<4

随着时间x(单位：天)改变的函数关系式近似为)，=19°,若多次喷洒，则

某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.经测试，当

空气中去污剂的浓度不低于41亳克/立方米)时，它才能起到去污作用.

(I)若一次喷洒4T克的去污剂，则去污时间可达几天？

(H)若第一次喷洒2千克的去污剂，6天后再喷洒千克的去污剂，要使接下来

的4天中能够持续有效去污，试求。的最小值.

【答案】⑴7天:(2)y.

【解析】

【分析】

(

41+-,0<x<4

⑴空气中释放的浓度为/(')=,'",0<x<4时，

-^-,4<x<IO

x+2

4(1+2)24,4<x<10时，^24,分别解不等式即可；(2)设从第一次喷洒起，经

8x+2

x(6<xK10)天，浓度g(x)=2.-^+小］+三9=a+爪+2),由不等式得到最

x+2I8)x+28

值.

【详解】(1)因为一次喷洒4个单位的去污剂,

X

41+-,0<x<4

I

所以空气中释放的浓度为了(招二'

36

,4<A<10

.x+2

当0<x«4时，4(1+^)>4,解彳导x20,.•.0<x<4,

o

当4<x<10时，-^->4,解得工47,二工〈工"？，综上得0vx<7,

x+2

即一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天.

(2)设从第一次喷洒起，经x(6<xW10)天,

浓度ga）=2.\+di+H=_iL+31>2、”.31

x+218Jx+28VA+28

=2ci=3\[7I24,即白之为，a£0,4],「.慨〈aW4

当时，Jg=2（x+2）+2）2=92,工+2=9,，户7满意题意，

9x+29'）

所以”的最小值为3.

9

【点睛】本题考行了实际应用问题，涉及到不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，要

特殊留意“拆、拼、凑”等技巧，使其满意基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、

“定”（不等式的另一边必需为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出

现错误.

21.若对定义域内随意x,都有/（x+a）>/（x）（a为用其数）,则称函数/U）为“。距”增

函数.

<I）若/（幻=/一1x+4,XER是距”增函数，求。的取值范围；

（II）若/（幻=3人烟，]£（-1，+8）,其中ZeR，且为“2距”增函数，求女的取值范围.

【答案】（I）d>l；（IDk>-2.

【解析】

【分析】

（I）依据题干条件得到3ad+3。、+/恒成立，故只须要判别式小于0即可；（II）

4

原题等价于3*+2/+妙+21>3?+*w恒成立，（x+2）2+攵IX+21>/+%|X|恒成立，分X20和

-1<%<0两种状况得结果即可.

【详解】（I）f（x+a）-f（x）=3ax2+3a2x+a^--a.

4

因为/（幻是“〃距”增困数，所以3ad+3。24+"一,。>。怛成立，由。>0,

4

所以AcOnga'—<0na>l.

（II）因为/（的二345，x=（-l,+oo）,其中&eR,且为“2距”增函数，即x>-l时,

3(x+2)F|x+2|>3/+*国恒成立，所以(工+2)2+攵|%+2|>/+&|1|,当XNO时，即

4x+4+2Q0=Q—2x—2=%>-2,

当一IvxvO时，(x+2)2+k(x+2)>x2-kx,所以(x+1)(左+2)>0=%>—2.

综上所述，得A>一2.

【点睛】这个题目考查了恒成立求参的问题，恒成立有解求参常见的方法有：变量分别，转

化为函数最值问题，或者干脆将不等式化为一边为0的式子，使得函数最值大于或者小于0

即可.

22.己知数列伍,满意1--：I-，…1wM),S“是数列｛为｝的前〃项

I4大ai)Ian)4

和.

<I)求数列伍“｝的通项公式：

(H)若力,,30,Sg成等差数列，4，18,Sg成等比数列，求正整数〃，q的值；

(III)是否存在攵eN,，使得J4%5+16为数列｛4｝中的项?若存在，求出全部满意条件

的力的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)。”=〃+1.(2)〃=5,q=9.(3)Z=3或14.

【解析】