5.3 第1课时 和差倍分问题 学案（含答案）2025-2026学年数学北师大版（2024）八年级上册

PAGE1PAGE第1课时和差倍分问题学案班级姓名组别总分【学习目标】1.通过分析鸡兔同笼问题中的数量关系，归纳建立方程组解决问题的方法，发展归纳能力。2.通过列方程组解决实际问题的过程，感受方程(组)是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，发展模型思想和应用意识。【学习过程】任务一：鸡兔同笼问题活动1《孙子算经》大约产生于一千五百年前，现在保存的《孙子算经》共三卷，其中下卷第31题，可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖，书中是这样叙述的：“今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉兔各几何？”问题1：“上有三十五头”的意思是什么？“下有九十四足”呢？问题2：你能根据(1)中的数量关系列出方程组吗？问题3：你能解决这个有趣的问题吗？请你分别用算术法、一元一次方程、二元一次方程组解决这个问题。【方法归纳】用二元一次方程组解答优点：【即时测评】1．《孙子算经》中有一道题，大意为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，y辆车，可列方程组（）A．x4−1=yx+93C．x4+1=yx−92．古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱，九百九十九文钱，甜果苦果买一千．试问甜苦果几个？”该问题意思是：已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了x个，苦果买了y个，根据题意，可列方程组是． 评价任务一得分：任务二：和差倍分问题活动2尝试·思考列方程组求解下面的问题：若甲从乙处得到7个钱币，则甲拥有的钱币数是乙的5倍；若乙从甲处得到5个钱币，则乙拥有的钱币数是甲的7倍。甲、乙两人原来各拥有多少个钱币？（选自意大利数学家斐波那契的《计算之书》）问题1：这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的数量关系？问题2：你能列方程解决这个问题吗？你是怎样做的？与同伴进行交流。活动3例1今有甲、乙怀钱，各不知其数。甲得乙十钱，多乙余钱五倍。乙得甲十钱，适等。问甲、乙怀钱各几何？（选自《张丘建算经》）题目大意：甲、乙两人各带了若干钱。如果甲得到乙的10钱，那么甲钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等。甲、乙两人各带了多少钱？问题1：题目涉及哪些数量关系？你能用含未知量的式子表示这些数量关系吗？【即时测评】3．“昔锦官之地，有匠作弓与箭．作一弓需三日，作一箭需二日．共费四十日，成弓箭十五．”题目大意是：从前在锦官城这个地方，有工匠制作弓和箭．制作一张弓需要三天时间，制作一支箭需要两天时间．总共花费四十天时间，制成弓和箭共计十五件．设弓有x件，箭有y件，则可列方程组为．4．根据下列语句，列出二元一次方程或方程组：（1）甲数的12比乙数的2倍多2，设甲数为x，乙数为y，可列方程（2）某校七年级（1）班有男生和女生共50人，其中男生比女生的2倍少4人，设男生有a人，女生有b人，可列方程组．评价任务二得分：自我反思：一节课的学习中，你收获了什么？当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）1．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：“用一根绳子去量一根木条的长，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量木条，则木条还剩余1尺，问木条长多少尺？”现设木条长尺，绳子长y尺，则可列方程组为（）A．x−y=4.52x−y=1 B．x−y=4.5C．y−x=4.52x−y=1 D．2．《九章算术•盈不足》载，其文曰：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？“意思为：几个人一起去买东西，如果每人出8钱，就多了3钱；如果每人出7钱，就少了4钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（）A．x−8y=3y−7x=4 B．8x−y=3C．8x−3=y4−7x=y D．3．古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．意思是：77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱等于5斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉x元，每斤鱼y元，可列方程组为．4．已知甲处干活的有31人，乙处干活的有20人，现调来18人支援，使甲处干活的人数是乙处干活的人数的2倍．若向甲处分配x人，向乙处分配y人，则根据题意列出的方程组为．5．一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，设∠1＝x°，∠2＝y°，