5.3　实际问题与一元一次方程 教案 2025-2026学年数学人教版七年级上册

5.3实际问题与一元一次方程第1课时配套问题与工程问题1．熟练掌握利用一元一次方程解决产品配套问题和工程问题的方法，抓住解决这两类问题的关键．2．熟练掌握列方程解决实际问题的一般思路．▲重点列方程解决实际问题．▲难点根据题意找等量关系．◆活动1新课导入48位大学生暑假到水利工地做义工，若每人每天平均挖土5m3或运土3m3，他们如何配合，才能使挖出的土及时运走？若设其中x人挖土，则运土的人数为__(48－x)__人，根据题意，可列方程__5x＝3(48－x)__．◆活动2探究新知1．教材P133例1.提出问题：(1)“1个螺栓配2个螺母”隐含着什么等量关系？(2)本题中有哪些等量关系？(3)如果设x名工人生产螺母，怎样列方程？学生完成并交流展示．2．教材P133例2.提出问题：(1)题目中把什么看作1?(2)题目中的已知量和未知量分别是什么？(3)题目中的等量关系是什么？(4)列出的方程是什么？(5)由此你能归纳出用一元一次方程解决实际问题的基本步骤吗？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．配套问题：关键是明确题目中的数量关系，根据数量关系列出方程．2．工程问题：常把总工作量看作1，再利用“工作量＝人均效率×人数×时间”的关系列出方程．3．用一元一次方程解决实际问题的基本步骤包括：(1)审清题意，找等量关系；(2)设未知数，一般设所求的量为未知数；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验、作答．◆活动4例题与练习例1某生产车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个，该如何分配工人生产镜片和镜架，才能使每天生产的产品配套？解：设安排x名工人生产镜片，则有(60－x)名工人生产镜架．由题意，得200x＝50(60－x)×2，解得x＝20，则60－x＝40.答：安排20名工人生产镜片，40名工人生产镜架，才能使每天生产的产品配套．例2整理一批数据，由一人做需80h完成，现在计划先由一些人做2h，再增加5人做8h，总共完成这项工作的eq\f(3,4)，应该怎样安排参与整理数据的具体人数？解：设开始安排x人做．依题意，得2×eq\f(1,80)x＋8×eq\f(1,80)(x＋5)＝eq\f(3,4)，解得x＝2.答：应该先安排2人做2h后，再增加5人做8h．例3超市原有某品牌纯牛奶和酸牛奶共80箱，其数量之比为9∶7，现新进一批纯牛奶和酸牛奶，箱数之比为2∶5，将新进牛奶分别放置于超市A，B两个空置区域(A区域放纯牛奶，B区域放酸牛奶)，在搬运过程中工作人员不小心将2箱酸牛奶放到了A区域，结果导致A，B两区域的牛奶箱数之比为3∶7，求目前超市中纯牛奶、酸牛奶各有多少箱．解：原有某品牌纯牛奶80×eq\f(9,9＋7)＝45(箱)，酸牛奶80×eq\f(7,9＋7)＝35(箱).设新进的纯牛奶为2x箱，酸牛奶为5x箱．根据题意，得(2x＋2)∶(5x－2)＝3∶7，解得x＝20.目前纯牛奶有20×2＋45＝85(箱)，目前酸牛奶有20×5＋35＝135(箱).答：目前超市中纯牛奶有85箱，酸牛奶有135箱．练习1．教材P134练习第1，2，3题．2．教室里有40套桌椅(一把椅子配一张桌子)，总价值2800元，每把椅子20元，则每张桌子多少元？设每张桌子x元，可列方程为(B)A．40x＋20＝2800B．40x＋40×20＝2800C．40(x－20)＝2800D．40x＋20(40－x)＝28003．一项工作中，甲单独做需要10h完成，乙单独做需要15h完成，那么甲每小时完成总工作量的__eq\f(1,10)__，乙每小时完成总工作量的__eq\f(1,15)__．若设甲、乙合作需要xh完成，则可列方程为__eq\f(x,10)＋eq\f(x,15)＝1__，解得x＝__6__．4．某配件厂原计划每天生产60件产品，改进技术后，工作效率提高了20%，这样不仅提前5天完成了生产任务，并且比原计划多生产了48件产品，求原计划要生产多少件产品．解：设原计划要生产x件产品．根据题意，得eq\f(x,60)－eq\f(x＋48,60×(1＋20%))＝5，解得x＝2040.答：原计划要生产2040件产品．◆活动5课堂小结1．利用一元一次方程解决产品配套问题．2．利用一元一次方程解决工程问题．1．作业布置(1)教材P140习题5.3第2，3，4，5题；(2)对应课时练习．2．教学反思第2课时销售中的盈亏问题1．熟练掌握利用一元一次方程解决销售类问题的方法，抓住解决这类问题的关键．2．熟练掌握列方程解决实际问题的一般思路．▲重点列方程解决实际问题．▲难点找等量关系列方程．◆活动1新课导入小明帮助爸爸出售了一件衣服，售价是60元，当他爸爸回来一看，盈利25%，你能算出这件衣服的原价吗？设这件衣服的原价为x元，则根据题意，可列方程__x(1＋25%)＝60__．◆活动2探究新知教材P135探究1.提出问题：(1)如何判定是盈利还是亏损？(2)盈利率、亏损率指的是什么？(3)哪些是已知量？哪些是未知量？如何设未知数？等量关系是什么？如何列方程？(4)你能总结一下商品销售问题中有关利润的关系式吗？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．产品销售利润问题中的关系式：(1)利润＝__售价__－__进价__；利润率＝eq\f(（利润）,（进价）)×100%；(2)打x折后的售价＝标价×eq\f((x),10).2．用方程解决问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的__实际意义__．◆活动4例题与练习例1甲、乙两种商品的单价之和为100元，因为季节变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两商品的单价之和比原来的单价之和提高了2%，甲、乙两种商品原来的单价各是多少元？解：设甲商品原来的单价为x元，则乙商品原来的单价为(100－x)元．依题意，得(1－10%)x＋(100－x)(1＋5%)＝100(1＋2%)，解得x＝20，则100－x＝80.答：甲商品原来的单价为20元，乙商品原来的单价为80元．例2某商场销售的一款空调每台的标价是3270元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%.(1)求这款空调每台的进价；(利润率＝eq\f(利润,进价)＝eq\f(售价－进价,进价))(2)在这次促销活动中，商场销售了这款空调共100台，问盈利多少元？解：(1)设这款空调每台的进价为x元．根据题意，得3270×0.8－x＝9%x，解得x＝2400.答：这款空调每台的进价为2400元；(2)100×2400×9%＝21600(元).答：盈利21600元．练习1．教材P136练习第1，2题．2．一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件服装仍可获利15元，则这种服装每件的成本是(B)A．120元B．125元C．135元D．140元3．一件商品标价200元，若以六折销售，仍可获利20%，则这件商品的进价是(A)A．100元B．105元C．108元D．118元4．工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元．按标价的八五折销售该工艺品8件与按标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？解：设该工艺品每件的进价是x元，则标价是(45＋x)元．依题意，得8(45＋x)×0.85－8x＝(45＋x－35)×12－12x，解得x＝155，则45＋x＝200.答：该工艺品每件的进价是155元，标价是200元．◆活动5课堂小结1．谈谈本节课学到了哪些知识？学后有何感受？2．商品销售中的基本等量关系有哪些？1．作业布置(1)教材P141习题5.3第10，14题；(2)对应课时练习．2．教学反思第3课时球赛积分表问题与图表信息问题1．探索球赛积分与胜、负场之间的数量关系，体会方程是解决实际问题的数学模型.2．利用一元一次方程解决积分、图表问题．▲重点弄清题意，理解积分与场次间的数量关系．▲难点根据题意从图表中获取有用信息并列方程解决问题．◆活动1新课导入教师：操作视频课件、播放篮球比赛片段．学生：欣赏球赛．◆活动2探究新知教材P136探究2.提出问题：(1)胜一场和负一场各积多少分？(2)用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系．(3)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．球赛积分：积分越高，名次越好．(1)比赛总场数＝胜场数__＋__负场数__＋__平场数；(2)比赛总积分＝胜场积分__＋__负场积分__＋__平场积分．2．用方程解决问题，必须检验方程的解是否符合实际意义．◆活动4例题与练习例1某项球类比赛，每场比赛必须分出胜负，其中胜1场得2分，负1场得1分．某队在全部16场比赛中得到25分，求这个队胜、负场数分别是多少．解：设这个队胜x场，则负(16－x)场．根据题意，得2x＋1×(16－x)＝25，解得x＝9，则16－x＝7.答：这个队胜9场，负7场．例2某班一次数学小测验中，共出了20道选择题，每答对一题得5分，总分为100分，现从中抽出5份试卷进行分析，如下表所示：试卷正确个数错误个数得分A19194B18288C17382D14664E101040(1)某同学得70分，他答对了多少道题？(2)有一同学H说他得86分，另一同学G说他得72分，谁在说谎？解：设某同学答对了x道题，则答错了(20－x)道题．根据表格分析得答对一题得5分，答错一题扣1分，由此得出答对x道题得分为5x－(20－x)＝6x－20.(1)当6x－20＝70时，解得x＝15；(2)当6x－20＝86时，解得x＝17eq\f(2,3)；当6x－20＝72时，解得x＝15eq\f(1,3).因为x是整数，所以两个同学都在说谎．练习1．教材P137练习第1，2题．2．足球赛胜一场积2分，平一场积1分，负一场积0分，某中学足球队共比赛15场，其中胜的场数为负的场数的2倍，共得17分．设这个足球队共负x场，则下列方程正确的为(A)A．2x×2＋(15－2x－x)×1＝17B．2x×2＋(15－2x)×1＝17C．2x×2＋(15－x)×1＝17D．2x×1＋(15－2x－x)×2＝173．在女排世界杯比赛中，中国队以11场全胜积32分的成绩成功卫冕．女排世界杯比赛积分规则如下表所示：大比分胜(积分)负(积分)3∶0303∶1303∶221若中国队以大比分3∶2取胜的场次有x场，则根据以上信息列方程为__3(11－x)＋2x＝32__．4．爷爷与孙子下12盘棋(未出现和棋)后，得分相同，爷爷赢一盘记1分，孙子赢一盘记3分，两人各赢了多少盘？解：设爷爷一共赢了x盘象棋，则孙子赢了(12－x)盘象棋．根据题意，得x＝(12－x)×3，解得x＝9，则12－x＝12－9＝3.答：爷爷赢了9盘，孙子赢了3盘．◆活动5课堂小结1．谈谈本节课的收获．2．用方程解决实际问题时，不仅要注意列出正确的方程，还要注意方程的解是否符合日常实际．1．作业布置(1)教材P140～141习题5.3第12题；(2)对应课时练习．2．教学反思第4课时空调综合费用与方案选择问题1．利用一元一次方程解决生活中的分段计费问题和方案决策问题．2．将实际问题转化为数学问题，通过列方程解决问题．3．了解分类讨论思想．▲重点用方程解决生活中分段计费问题．▲难点将实际问题转化为数学问题，利用一元一次方程做决策．◆活动1新课导入我市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费，若每月用水量不超过7m3，则按每立方米1元收费；若每月用水量超过7m3，则超过部分按每立方米2元收费．如果某户居民今年5月份缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月份的用水量为多少立方米？解：设这户居民今年5月份用水量为xm3，则超出7m3的部分为(x－7)m3.根据题意，得7×1＋(x－7)×2＝17，解得x＝12.答：这户居民今年5月份的用水量为12m3.◆活动2探究新知教材P138探究3.提出问题：(1)从表中你能获得哪些信息？(2)你能分别把能效等级不同的空调综合费用表示出来吗？(3)使用年数为多少时？购买1级能效空调更省钱？(4)使用年数为多少时？购买3级能效空调更省钱？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳解决方案决策问题的一般方法：(1)将题目中变化的一个量设为未知数x，并用含x的__代数式__表示其他相关的量；(2)列方程求出特殊情况下未知数的值；(3)研究在特殊情况之外的未知数的值产生的结果，并比较这些结果；(4)根据比较出的结果决定最优方案．◆活动4例题与练习例1出租汽车4km起步价10元，行驶4km以后，每千米收费1.2元(不足1km按1km计)．小红乘坐出租车下车时付给司机16元(不计等候时间)，则小红乘坐出租车最远可行驶多少千米？解：设小红乘坐出租车最远可行驶xkm.由题意，得10＋1.2×(x－4)＝16，解得x＝9.答：小红乘坐出租车最远可行驶9km.例2请根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？(2)甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动．甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯．若某单位想要买4个暖瓶和15个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由．解：(1)设一个暖瓶x元，则一个水杯(38－x)元．由题意，得2x＋3(38－x)＝84，解得x＝30，则38－x＝38－30＝8.答：一个暖瓶30元，一个水杯8元；(2)到乙商场购买更合算，理由如下：若到甲商场购买，则共需(4×30＋15×8)×90%＝216(元)；若到乙商场购买，则共需4×30＋(15－4)×8＝208(元).因为208＜216.所以到乙商场购买更合算．练习1．教材P139练习第1，2题．2．某市出租车起步价是5元(3km及3km以内为起步价)，以后每千米收费1.