王凤珍余角和补角的学案

王凤珍余角和补角的学案引言在平面几何的入门学习中，角的关系是构建空间观念与逻辑推理能力的基础。余角与补角作为两种基本的角的数量关系，不仅在理论层面具有重要地位，在实际问题的解决中也有着广泛的应用。本学案旨在引导同学们在王凤珍老师的教学思路指引下，通过自主探究、合作交流等方式，系统理解余角与补角的概念，掌握其性质，并能运用所学知识解决相关问题，为后续几何知识的学习奠定坚实基础。一、学习目标1.理解余角和补角的定义，能准确识别一个角的余角和补角。2.掌握余角和补角的基本性质，并能运用这些性质进行简单的推理和计算。3.经历观察、操作、猜想、验证、归纳等数学活动过程，体会数形结合与转化的思想方法。4.在探究活动中，培养严谨的逻辑思维能力和合作交流意识，激发学习几何的兴趣。二、学习重点与难点*学习重点：余角和补角的定义及其性质。*学习难点：余角和补角性质的灵活运用，以及在复杂图形中准确辨认余角和补角。三、学习过程（一）温故知新，引入概念1.回顾旧知：*我们已经学习了角的概念和角的度量。请回忆一下，一个平角的度数是多少？一个直角的度数又是多少？*若∠A是一个锐角，它的度数范围是怎样的？2.情境设问：*观察教室里的三角板，其中一块三角板的两个锐角分别是多少度？它们的和是多少度？另一块呢？*王老师在黑板上画了一个∠1，度数为30°，然后又画了一个∠2，度数为60°。同学们，你们发现∠1和∠2的度数之间有什么特殊的关系吗？如果∠1是45°，那么∠2是多少度时，它们的和会是90°呢？*若老师画的∠1是120°，那么∠2是多少度时，它们的和会是180°呢？（二）深入探究，理解概念1.余角的定义：通过上面的思考，我们发现有些角的和具有特殊的度数。定义：如果两个角的和等于一个直角（90°），那么这两个角互为余角（简称互余）。也就是说，若∠α+∠β=90°，则∠α是∠β的余角，∠β也是∠α的余角。*思考：*“互为”一词如何理解？能否说∠α是余角？*一个角的余角是否唯一？若∠α是30°，它的余角是多少度？若∠α是n°（n为锐角），它的余角可以表示为多少度？*钝角（大于90°小于180°）有没有余角？为什么？2.补角的定义：类似地，我们来定义补角。定义：如果两个角的和等于一个平角（180°），那么这两个角互为补角（简称互补）。也就是说，若∠γ+∠δ=180°，则∠γ是∠δ的补角，∠δ也是∠γ的补角。*思考：*若∠γ是60°，它的补角是多少度？若∠γ是m°，它的补角可以表示为多少度？*直角有没有补角？它的补角是多少度？*比较余角和补角的定义，它们有什么相同点和不同点？（三）合作交流，探究性质1.探究余角的性质：*如图1，已知∠AOB=90°，直线CD经过点O，且∠COE=∠DOF。请问∠AOE与∠BOF有什么关系？为什么？*由此，你能得出关于余角的什么性质？余角的性质：同角（或等角）的余角相等。*尝试用几何语言描述：若∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，则∠2______∠3（依据：________________）。若∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，且∠1=∠3，则∠2______∠4（依据：________________）。2.探究补角的性质：*类比余角性质的探究方法，请同学们两人一组，画图并思考：补角具有怎样的性质？*补角的性质：同角（或等角）的补角相等。*尝试用几何语言描述：若∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，则∠2______∠3（依据：________________）。若∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，且∠1=∠3，则∠2______∠4（依据：________________）。（四）例题解析，巩固应用例1：已知一个角的补角是它的3倍，求这个角的度数。（分析：设这个角的度数为x°，则它的补角为(180-x)°，根据题意可列出方程求解。）例2：如图2，点A、O、B在同一条直线上，OD平分∠AOC，OE平分∠COB。（1）求∠DOE的度数；（2）指出图中∠DOC的余角和补角（如果存在）。（分析：利用角平分线的定义以及平角的性质进行计算和判断。）解题反思：通过以上例题，你认为在解决与余角、补角有关的问题时，需要注意哪些方面？四、知识梳理与总结1.余角与补角的定义对比：角的关系数量关系图示（示意）:-------:-------------:-----------互为余角和为90°互为补角和为180°2.重要性质：*同角（或等角）的余角相等。*同角（或等角）的补角相等。3.数学思想方法：本节课主要运用了________思想和________思想。五、巩固练习1.基础演练：*判断题（对的打“√”，错的打“×”）：(1)若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1、∠2、∠3互为余角。（）(2)一个角的补角一定大于这个角。（）(3)若∠α=35°，则它的余角是55°，补角是145°。（）*一个角的余角是40°，则这个角的度数是______，它的补角的度数是______。*若∠A与∠B互补，且∠A=2∠B，则∠A=______，∠B=______。2.能力提升：*已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，∠1=65°，求∠3的度数。*如图3，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，若∠EOD=35°，求∠AOC的度数。六、拓展思考1.一个角的补角与它的余角的度数之差是多少度？请说明理由。2.如图4，将一副三角尺的直角顶点重合在一起。（1）若∠AOD=125°，则∠BOC=______°；（2）写出图中与∠AOC相等的角，并说明理由；（3）∠AOD与∠BOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由。七、学习反思1.通过本节课的学习，我掌握了哪些知识？还有哪些地