高中数学函数专题精讲与练习

高中数学函数专题精讲与练习函数，作为高中数学的核心内容，贯穿了整个高中数学的学习过程，也是后续学习高等数学的重要基础。它不仅仅是一种数学工具，更是一种重要的数学思想方法。理解函数的概念，掌握其性质，并能灵活运用，对同学们数学思维的培养和数学成绩的提升至关重要。本专题将带你系统梳理函数的核心知识，并通过针对性练习巩固深化。一、函数的核心概念与表示方法1.1函数的概念：从“变量依赖”到“对应关系”在初中阶段，我们对函数的认知多停留在“两个变量之间的依赖关系”。进入高中，我们需要从更本质的“对应关系”角度来理解函数。函数的严格定义是：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。这里的关键词是“非空数集”、“任意”、“唯一确定”。集合A称为函数的定义域，即自变量x的取值范围；集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域，它是B的子集。定义域和对应法则f是确定函数的两个基本要素，而值域则由定义域和对应法则共同确定。理解要点：*定义域是函数的“灵魂”，研究函数必先考虑定义域。*“唯一确定”体现了函数的单值性，即一个x只能对应一个y（但一个y可以对应多个x）。*两个函数相同，当且仅当它们的定义域和对应法则完全一致，与表示自变量和因变量的字母无关（即函数的“字母无关性”）。1.2函数的表示方法：解析法、列表法与图像法函数的表示方法是我们认识和研究函数的桥梁。*解析法：用数学表达式（解析式）来表示两个变量之间的对应关系，如y=2x+1，y=x²-3x+2等。其优点是简洁、准确，便于进行理论分析和运算。我们遇到的大部分函数都是用解析法给出的。*列表法：通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如数学用表中的平方表、平方根表，以及生活中常见的工资表、成绩表等。其优点是直观、快捷，能直接找到对应值。*图像法：用平面直角坐标系中的图形来表示两个变量之间的对应关系。图像是函数的“可视化”，能直观地反映函数的变化趋势和某些性质（如单调性、奇偶性）。绘制函数图像通常采用“列表、描点、连线”的基本步骤，但对于一些基本函数，我们应能熟练画出其大致图像。注意：在用解析法表示函数时，可能会遇到分段函数。分段函数是指在定义域的不同子集上，对应法则用不同解析式表示的函数。分段函数是一个函数，而非多个函数，其图像可能由几段不同的曲线（或直线）组成。二、函数的基本性质深度剖析函数的性质是函数特征的具体体现，掌握这些性质是运用函数解决问题的关键。2.1函数的单调性：函数的“增减趋势”单调性描述的是函数值随自变量变化而变化的趋势。*增函数：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁，x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。*减函数：类似地，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁，x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)>f(x₂)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，我们就说函数y=f(x)在这个区间上具有（严格的）单调性，这个区间叫做y=f(x)的单调区间。理解与应用：*单调性是函数在某个区间上的局部性质，谈单调性必须指明区间。*定义中的“任意”二字至关重要，不能用特殊值代替。*判断或证明函数单调性的基本方法是定义法：取值（在区间内任取x₁<x₂）、作差（f(x₁)-f(x₂)）、变形（因式分解、配方等）、定号（判断差的正负）、下结论。*对于基本初等函数，我们可以通过观察图像直接得到其单调区间。对于复合函数的单调性，遵循“同增异减”的法则（后续专题会详细探讨）。*单调性的应用非常广泛，如比较大小、解不等式、求函数最值等。2.2函数的奇偶性：函数图像的“对称性”奇偶性是函数的一种整体性质，反映了函数图像关于原点或y轴的对称性。*奇函数：设函数f(x)的定义域为D，如果对于定义域D内的任意一个x，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。其图像关于原点对称。*偶函数：设函数f(x)的定义域为D，如果对于定义域D内的任意一个x，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。其图像关于y轴对称。理解与应用：*函数具有奇偶性的前提条件是其定义域关于原点对称。如果定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数。*判断函数奇偶性的步骤：首先检查定义域是否关于原点对称；若对称，再判断f(-x)与f(x)或-f(x)的关系。*既是奇函数又是偶函数的函数只有一种形式：f(x)=0，且其定义域关于原点对称。*奇函数若在x=0处有定义，则必有f(0)=0。*利用函数的奇偶性可以简化函数图像的绘制（只需画出一半，另一半利用对称性画出），也可以简化函数性质的研究。2.3函数的周期性：函数值的“重复出现”周期性主要考察函数值是否有规律地重复出现。*周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。*最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。理解与应用：*周期函数的定义域通常是无界的（除非是常函数）。*T是周期，则kT（k∈Z，k≠0）也是周期（若函数有最小正周期，则通常我们所说的周期指最小正周期）。*并非所有周期函数都有最小正周期，例如常函数f(x)=C，任何非零常数都是它的周期，但没有最小正周期。*三角函数是最典型的周期函数（后续三角函数专题会详细探讨）。*利用周期性可以将不在已知区间内的自变量转化到已知区间内，从而利用已知条件求解。三、几类重要的基本初等函数我们高中阶段学习的函数主要是基本初等函数及其复合函数。3.1一次函数与二次函数：最基础的“幂函数”*一次函数：形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数。其图像是一条直线，k为斜率，b为y轴截距。当b=0时，即y=kx（k≠0），为正比例函数，是奇函数。一次函数在整个定义域R上具有单调性，当k>0时为增函数，当k<0时为减函数。*二次函数：形如y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数。它是高中阶段研究最为深入、应用最为广泛的函数之一。*图像：抛物线。a决定开口方向（a>0开口向上，a<0开口向下）和开口大小（|a|越大，开口越窄）。*顶点式：y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。对称轴为直线x=h。*零点式（两根式）：若二次函数有两个零点x₁，x₂，则可表示为y=a(x-x₁)(x-x₂)。*性质：*定义域：R。*值域：当a>0时，值域为[k，+∞)；当a<0时，值域为(-∞，k]，其中k是顶点的纵坐标。*单调性：当a>0时，在(-∞，h]上单调递减，在[h，+∞)上单调递增；当a<0时，在(-∞，h]上单调递增，在[h，+∞)上单调递减。*奇偶性：当b=0时，二次函数为偶函数；当b≠0时，为非奇非偶函数。二次函数的应用极其广泛，如求解最值问题、不等式问题、方程根的分布问题等，常常需要结合其图像和性质进行分析。3.2幂函数：形式多样的“家族”幂函数：形如y=x^α（α为常数，α∈R）的函数。我们主要学习α为有理数的情形，如y=x，y=x²，y=x³，y=x^(1/2)（即y=√x），y=x^(-1)（即y=1/x）等。*图像与性质：幂函数的图像和性质与指数α密切相关，需要分别讨论：*当α>0时：图像过原点(0,0)和点(1,1)；在(0,+∞)上单调递增。*当α<0时：图像不过原点，但过点(1,1)；在(0,+∞)上单调递减；图像以坐标轴为渐近线。*研究方法：对于具体的幂函数，要能画出其在第一象限的图像，并结合定义域、奇偶性等分析其他象限的图像。3.3指数函数与对数函数：“互逆”的函数对*指数函数：形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数。*图像与性质：*定义域：R。*值域：(0,+∞)。*图像恒过定点(0,1)。*单调性：当a>1时，在R上是增函数；当0<a<1时，在R上是减函数。*函数值变化：当a>1且x>0时，y>1；x<0时，0<y<1。当0<a<1且x>0时，0<y<1；x<0时，y>1。*对数函数：形如y=logₐx（a>0且a≠1）的函数，它是指数函数y=a^x的反函数。*图像与性质：*定义域：(0,+∞)。*值域：R。*图像恒过定点(1,0)。*单调性：当a>1时，在(0,+∞)上是增函数；当0<a<1时，在(0,+∞)上是减函数。*函数值变化：当a>1且x>1时，y>0；0<x<1时，y<0。当0<a<1且x>1时，y<0；0<x<1时，y>0。指数函数与对数函数的关系：它们互为反函数，因此它们的图像关于直线y=x对称。它们的定义域与值域互换，单调性一致（即a>1时都为增函数，0<a<1时都为减函数）。运算性质：指数运算和对数运算是学习这两类函数的基础，必须熟练掌握。*指数运算：a^m·a^n=a^(m+n)；(a^m)^n=a^(mn)；(ab)^n=a^nb^n(a,b>0,m,n∈R)。*对数运算：logₐ(MN)=logₐM+logₐN；logₐ(M/N)=logₐM-logₐN；logₐMⁿ=nlogₐM(a>0且a≠1,M,N>0,n∈R)。*换底公式：log_bN=logₐN/logₐb(a>0且a≠1,b>0且b≠1,N>0)，常用log_ba=1/log_ab，以及log_(a^n)b^m=(m/n)log_ab。四、函数专题练习与解析4.1基础巩固练习1.求函数定义域：（1）f(x)=√(x+2)+1/(x-1)（2）g(x)=log₂(x²-4x+3)2.判断函数奇偶性：（1）f(x)=x³+x（2）g(x)=|x-1|+|x+1|3.求函数解析式：已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x+3，求f(x)的解析式。4.利用单调性比较大小：已知a=log₃2，b=log₅6，c=log₇10，比较a，b，c的大小。4.2综合提升练习5.二次函数最值问题：已知函数f(x)=x²-2ax+2，x∈[-1,1]。求函数f(x)的最小值g(a)的表达式，并求g(a)的最大值。6.函数性质综合应用：已知定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(1)=0。解不等式f(x-1)>0。---练习思路点拨与简要解答：1.求函数定义域：（1）要使根式有意义，则x+2≥0；分式有意义，则x-1≠0。联立解得x≥-2且x≠1。（2）对数的真数必须大于0，即x²-4x+3>0。解不等式(x-1)(x-3)>0，得x<1或x>3。2.判断函数奇偶性：（1）定义域为R，f(-x)=(-x)³+(-x)=-x³-x=-f(x)，故为奇函数。（2）定义域为R，g(-x)=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=g(x)，故为偶函数。3.求函数解析式：设f(x)=kx+b(k≠0)。则f(f(x))=k(kx+b)+b=k²x+kb+b=4x+3。所以有k²=4且kb+b=3。解得k=2,b=1或k=-2,b=-3。故f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3。4.利用单调性比较大小：a=log₃2<log₃3=1。b=log₅6=1+log₅(6/5)，c=log₇10=1