贵州六盘水市2026届高三上学期2月高三年级适应性考试数学试题（试卷+解析）

2026年2月高三年级适应性考试数学试题卷（考试时长：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知等差数列前三项的和为，则的公差为（）A3 B.2 C.2 D.33.数据1，2，3，4，5的方差为（）A.1 B.2 C.3 D.44.已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（）A. B. C.3 D.55.已知，则（）A. B. C. D.26.已知的面积为，则（）A.3 B.5 C.7 D.87.已知正三棱柱的内切球体积为，则此正三棱柱的表面积为（）A.108 B.108 C.162 D.8.已知垂直于轴的直线分别与曲线和相交于两点，则的最小值为（）A.1 B. C.2 D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数满足，则（）A.的虚部为 B.C.在复平面内对应的点在第二象限 D.10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.的最小正周期为B.的对称轴方程为C.D.若关于的方程在上有两个根，则11.在空间直角坐标系中，，线段的垂直平分线与射线相交于点，点满足，则（）A.若，则B设，则C当取最小值时，D.若过点的直线与点的轨迹相交于两点，则三棱锥体积的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.展开式中常数项为__________.13.已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为___________．14.如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形面积的最大值为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.“中国凉都·六盘水”有着丰富的特产、独特的文化和美丽的风景，根据旅游宣传需要，以乌蒙大草原、红心猕猴桃、布依族风情、岩脚面、牂牁江景区等为背景制作了形状大小相同的三类卡片（特产卡片、文化卡片、景区卡片），某游客持有5张不同的景区卡片，3张不同的特产卡片，2张不同的文化卡片，现从中随机抽取4张卡片．（1）求抽取的4张卡片中恰有3张是景区卡片的概率；（2）设抽取4张卡片中特产卡片的张数为，求随机变量的分布列与数学期望．16.如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，是等边三角形，平面平面，点是的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．17.已知函数．（1）当时，求极值；（2）讨论的单调性．18.已知椭圆的离心率为，短轴长为2．（1）求的方程；（2）如图，过上任意一点作圆的两条切线分别交于点和点，切点分别为，若点关于坐标原点对称．①证明：；②求的值．19.如图，第①个正方形的边长为1，第②个正方形的边长为1，第③个正方形的边长为2，第④个正方形的边长为3，第⑤个正方形的边长为5，……，照此规律，把每个正方形的边长按照从小到大的顺序排列成数列，此数列叫斐波那契（Fibonacci）数列，满足．（1）___________，___________；（2）已知可变形为，证明：是方程的两个根，并用含的代数式表示出的通项公式；（3）证明：或是一个完全平方数．

2026年2月高三年级适应性考试数学试题卷（考试时长：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解方程得集合，然后根据并集的定义即可求解.【详解】由题意，所以.故选：D2.已知等差数列前三项的和为，则的公差为（）A.3 B.2 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求解.【详解】由等差数列前三项的和为，得，解得，又，所以的公差.故选：D3.数据1，2，3，4，5的方差为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】首先求出平均数，然后根据方差的计算公式即可求解.【详解】这组数据的平均数，所以这组数据的方差.故选：B4.已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（）A. B. C.3 D.5【答案】B【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，进而求出，再求出离心率.【详解】双曲线的渐近线为，依题意，，所以的离心率.故选：B5.已知，则（）A B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】用表示，根据数量积的定义和运算律求解.【详解】已知，因为，所以.故选：A.6.已知的面积为，则（）A.3 B.5 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】由面积公式和余弦定理即可求解.【详解】由面积公式可知，即，解得，由余弦定理可知，，所以.故选：C7.已知正三棱柱的内切球体积为，则此正三棱柱的表面积为（）A.108 B.108 C.162 D.【答案】D【解析】【分析】首先由球的体积公式求出内切球半径，然后根据内切球的性质求出底面边长，最后分别求出底面积和侧面积即可求解.【详解】设正三棱柱的内切球的半径为，由题意可知，解得，设正三棱柱的底面边长为

，高为

，内切球的球心位于棱柱的几何中心，由于球与两个底面相切，球心到底面的距离为

，且等于半径

，则，球与侧面相切，底面为正三角形，其内切圆半径（即几何中心到边的距离）为

，由于侧面垂直于底面，球心到侧面的距离等于底面内切圆半径，且等于

，则，正三棱柱的表面积由两个底面和三个侧面组成，两个底面的面积为：，侧面为矩形，侧面的面积为

，所以总表面积为故选：D8.已知垂直于轴的直线分别与曲线和相交于两点，则的最小值为（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】由条件求出点的坐标，进而求得的表达式，再利用导数求其最小值即可.【详解】令直线分别与曲线和曲线交于两点，则点，点，，令函数，求导得，函数在上都为增函数，则函数在为增函数，而，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，因此，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数满足，则（）A.的虚部为 B.C.在复平面内对应的点在第二象限 D.【答案】BD【解析】【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算求出，再结合复数的意义、几何意义、共轭运算逐项求解判断.【详解】由，得，对于A，的虚部为，A错误；对于B，，B正确；对于C，在复平面内对应的点在第一象限，C错误；对于D，.故选：BD10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.的最小正周期为B.的对称轴方程为C.D.若关于方程在上有两个根，则【答案】ABD【解析】【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数的解析式，再借助余弦函数的图象性质逐项求解判断.【详解】观察函数的图象，函数的最小正周期，则，由，得，而，解得，因此，对于A，的最小正周期为，A正确；对于B，由，得的对称轴方程为，B正确；对于C，，C错误；对于D，当时，，函数在上单调递减，函数值从减小到，在上单调递增，函数值从增大到，当且仅当时，直线与函数在上的图象有两个交点，即在上有两个根，D正确.故选：ABD11.在空间直角坐标系中，，线段的垂直平分线与射线相交于点，点满足，则（）A.若，则B.设，则C.当取最小值时，D.若过点的直线与点的轨迹相交于两点，则三棱锥体积的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】首先求出的垂直平分面方程，然后把射线从沿方向的参数方程代入的垂直平分面方程可判断B；由两点间距离公式可判断A；把问题转化为的最值，然后结合二次函数的性质以及空间向量的坐标运算可判断C；设过的直线在平面，方程为，与的轨迹联立，利用韦达定理表示出，然后再利用向量的内积表示出，最后根据二次函数的性质可判断D.【详解】线段的中点为

，的方向向量为，因此的垂直平分面方程为：，射线从沿方向，参数方程为：，代入平面方程：，因此，点，则点的轨迹为：在平面，方程

，故B正确；当

，则，，，故A错误；点满足

，即在以

为球心、半径1的球面上，最小为（因为

），，令

，最小值在

时取得：，

，，此时，最小

，对应在上，，单位向量，（因为

)，故C正确；设过

的直线在平面（否则无两交点），方程为，点

，，

联立得：，判别式，两根满足：，高为到平面的距离为2，体积

，当时，最小值为，故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.展开式中常数项为__________.【答案】-160【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【详解】由于的展开式中，通项公式为，令，求得，可得展开式的常数项为.故答案：-160.13.已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为___________．【答案】【解析】【分析】先由偶函数定义得到时解析式，求出切点坐标，再求导得到切线的斜率，由点斜式求出切线方程.【详解】任取，则，，又为偶函数，，所以，所以，所以切点坐标为，又，所以，即切线的斜率，所以切线的点斜式方程为，整理得，故答案为：.14.如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形面积的最大值为___________．【答案】【解析】【分析】利用三角函数的定义表示出点，，在直角三角形中表示出，进而得出，最后写出矩形的面积表达式，利用三角恒等变换化简从而得到最大值.【详解】设点，，因为，所以，，所以矩形的面积，，因为，所以.，所以，所以矩形的面积的最大值为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.“中国凉都·六盘水”有着丰富的特产、独特的文化和美丽的风景，根据旅游宣传需要，以乌蒙大草原、红心猕猴桃、布依族风情、岩脚面、牂牁江景区等为背景制作了形状大小相同的三类卡片（特产卡片、文化卡片、景区卡片），某游客持有5张不同的景区卡片，3张不同的特产卡片，2张不同的文化卡片，现从中随机抽取4张卡片．（1）求抽取的4张卡片中恰有3张是景区卡片的概率；（2）设抽取的4张卡片中特产卡片的张数为，求随机变量的分布列与数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用组合计数问题及古典概率公式计算得解.（2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望.【小问1详解】依题意，从10张卡片中任取4张的试验有个基本事件，恰有3张是景区卡片的事件有个基本事件，所以抽取的4张卡片中恰有3张是景区卡片的概率为.【小问2详解】依题意，的可能值为，，，所以的分布列为：0123数学期望.16.如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，是等边三角形，平面平面，点是的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，证得，再利用线面平行的判定推理得证.（2）取中点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解.【小问1详解】在四棱锥中，取的中点，连接，由点是的中点，得，而，则，四边形是平行四边形，因此，而平面，平面，所以平面.【小问2详解】取中点，连接，由正三角形，得，由，得四边形是矩形，则，由平面平面，平面平面，平面，得平面，则直线两两垂直，设，以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，令，得，又，则，所以直线与平面所成角的正弦值.17.已知函数．（1）当时，求的极值；（2）讨论的单调性．【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值.（2）求出函数的导数，再按分类求出导函数值为正为负的解集即可.小问1详解】当时，函数的定义域为，求导得，由，得或；由，得，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极大值为，极小值为.【小问2详解】函数的定义域为，求导得，当时，由，得；由，得，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，由，得；由，得或，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，恒成立，函数在上单调递增；当时，由，得；由，得或，函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.18.已知椭圆的离心率为，短轴长为2．（1）求的方程；（2）如图，过上任意一点作圆的两条切线分别交于点和点，切点分别为，若点关于坐标原点对称．①证明：；②求的值．【答案】（1）（2）①证明见解析②【解析】【分析】（1）由离心率的公式，短轴的定义结合的关系即可求解；（2）①首先证明进而得到，然后由角平分线性质可得，最后由等腰三角形三线合一即可得证；②设，直线，，根据直线与圆相切得出是方程的两根，最后根据点在椭圆上结合韦达定理即可求解.【小问1详解】由题意可得，解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】①因为是圆的切线，所以，又，，所以，所以，由角平分线性质可知，结合