矩形的性质与判定综合练习题

矩形的性质与判定综合练习题在平面几何的学习中，矩形作为一种特殊的平行四边形，因其独特的性质和广泛的应用，始终是我们关注的重点。掌握矩形的性质与判定，不仅能够帮助我们更深入地理解平面图形之间的联系与区别，也是解决复杂几何问题的基础。今天，我们就通过一系列综合练习题，来巩固和深化对矩形相关知识的理解与应用能力。一、知识梳理与回顾在着手练习之前，让我们简要回顾一下矩形的核心性质与判定方法，这将是我们解决问题的“利器”。（一）矩形的性质我们知道，矩形是一个内角为直角的平行四边形。因此，它不仅具有平行四边形的所有性质，还具有其特殊性：1.角的特性：矩形的四个内角都是直角（90°）。这是矩形最显著的标志。2.边的特性：矩形的对边平行且相等。这一点继承自平行四边形。3.对角线的特性：矩形的对角线相等且互相平分。这是矩形非常重要的一个性质，常常在计算和证明中发挥关键作用。4.对称性：矩形既是中心对称图形（对称中心为对角线的交点），也是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是对边中点的连线。（二）矩形的判定判定一个四边形是否为矩形，我们通常有以下几种方法：1.定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形。这是最基本的判定方法，直接源于矩形的定义。2.对角线法：对角线相等的平行四边形是矩形。这是基于矩形对角线性质的逆命题。3.内角法：有三个角是直角的四边形是矩形。因为四边形内角和为360°，三个角为直角，则第四个角必然也是直角。在实际应用中，我们需要根据题目所给的条件，灵活选择合适的判定方法。有时，题目不会直接给出明显的条件，需要我们通过已知信息进行推导和转化。二、综合练习题（一）基础巩固练习1：已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4。求矩形对角线的长及BC的长。分析：这道题主要考查矩形对角线的性质以及等边三角形的判定与性质。我们知道矩形的对角线相等且互相平分，所以AO=BO=CO=DO。又因为∠AOB=60°，所以三角形AOB是等边三角形，由此可求出AO的长度，进而得到对角线AC的长度。在直角三角形ABC中，已知AB和AC，利用勾股定理即可求出BC。解答：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=CO=(1/2)AC，BO=DO=(1/2)BD，∠ABC=90°。∴AO=BO。又∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形。∴AO=AB=4。∴AC=2AO=8。在Rt△ABC中，AB=4，AC=8，根据勾股定理，BC=√(AC²-AB²)=√(8²-4²)=√(64-16)=√48=4√3。故矩形对角线的长为8，BC的长为4√3。练习2：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，且AF=DE。求证：平行四边形ABCD是矩形。分析：要证明平行四边形ABCD是矩形，根据矩形的判定方法，我们可以考虑证明它有一个角是直角，或者证明它的对角线相等。已知AF=DE，且四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AB、CD的中点，我们可以通过证明三角形全等，得到角相等的关系，进而推出直角。解答：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD。∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE=(1/2)AB，DF=(1/2)CD。∴AE=DF。又∵AB∥CD，∴四边形AEFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。∴AF∥DE。又∵AF=DE，∴四边形AEFD是矩形吗？不对，一组对边平行且相等，且这组对边也相等，只能说明是平行四边形，若要证其为矩形，还需一个直角。或者，我们换个思路，证明△ADE≌△BCF？或者，直接在平行四边形ABCD中，连接EF。∵E、F分别是AB、CD的中点，AB=CD，AB∥CD，∴AE=DF，且AE∥DF，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AD∥EF，AD=EF。同理，BC∥EF，BC=EF，所以AD=BC（平行四边形性质已具备）。已知AF=DE，AE=DF，EF为公共边，∴△AEF≌△DFE（SSS）。∴∠AEF=∠DFE。∵AB∥CD，∴∠AEF+∠DFE=180°（同旁内角互补）。∴∠AEF=∠DFE=90°。∵AD∥EF，∴∠BAD=∠AEF=90°（两直线平行，同位角相等）。∵四边形ABCD是平行四边形，且有一个角是直角，∴平行四边形ABCD是矩形。（二）能力提升练习3：在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OD。求证：四边形ABCD是矩形。分析：首先，由AB=CD，AD=BC，可判定四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。然后，在平行四边形中，对角线互相平分，即OA=OC，OB=OD。已知OA=OD，可推出OA=OB=OC=OD，即对角线AC=BD。根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可得证。解答：∵在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。∴OA=OC=(1/2)AC，OB=OD=(1/2)BD（平行四边形对角线互相平分）。∵OA=OD，∴OA=OC=OB=OD。∴OA+OC=OB+OD，即AC=BD。∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。练习4：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E。求证：四边形ADCE是矩形。分析：要证明四边形ADCE是矩形，我们可以尝试证明它有三个角是直角。已知CE⊥AN，所以∠AEC=90°。AB=AC，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD⊥BC，即∠ADC=90°。接下来只需证明∠DAE=90°即可。AN是外角∠CAM的平分线，AD是顶角平分线（由等腰三角形三线合一），可推出∠DAN=90°。解答：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC（等腰三角形底边上的中线垂直于底边），∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的中线重合）。∴∠ADC=90°。∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAN=∠CAN。∵∠BAC+∠CAM=180°（平角定义），∠BAD+∠CAD+∠MAN+∠CAN=180°，又∵∠BAD=∠CAD，∠MAN=∠CAN，∴2∠CAD+2∠CAN=180°，∴∠CAD+∠CAN=90°，即∠DAE=90°。∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°。在四边形ADCE中，∠ADC=∠DAE=∠AEC=90°，∴四边形ADCE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）。（三）拓展应用练习5：如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P从点A出发沿AD向点D匀速运动，速度为每秒1个单位；同时点Q从点C出发沿CB向点B匀速运动，速度为每秒2个单位。设运动时间为t秒（0<t<4）。连接PQ，DQ，BP。当t为何值时，四边形PBQD是矩形？分析：四边形ABCD是矩形，AD∥BC，AD=BC=8，AB=CD=6。点P从A出发，速度1单位/秒，t秒后AP=t，PD=8-t。点Q从C出发，速度2单位/秒，t秒后CQ=2t，BQ=8-2t。要使四边形PBQD是矩形，已知PD∥BQ（因为AD∥BC），所以只需PD=BQ且∠DPB=90°？或者，更简单的，因为在平行四边形的基础上，若对角线相等或有一个角是直角则为矩形。首先判断四边形PBQD是否为平行四边形。PD∥BQ，若PD=BQ，则四边形PBQD是平行四边形。然后，若为平行四边形，再证其对角线相等或一个角为直角。解答：由题意得：AP=t，CQ=2t。∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=8，AD∥BC，∠A=∠ABC=90°，CD=AB=6。∴PD=AD-AP=8-t，BQ=BC-CQ=8-2t。∵AD∥BC，即PD∥BQ，∴当PD=BQ时，四边形PBQD是平行四边形。即8-t=8-2t，解得t=0。但t>0，所以此情况不成立？或者，我们考虑BP和DQ是否相等？另一种思路：若四边形PBQD是矩形，则∠BPD=90°？或者，对角线PQ=BD？或者，在矩形ABCD中，BD是对角线，BD=√(AB²+AD²)=√(6²+8²)=10。若四边形PBQD是矩形，则其对角线相等，即PQ=BD=10。但这样计算可能复杂。或者，我们用坐标法试试会更清晰。以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系。则A(0,0)，B(6,0)，C(6,8)，D(0,8)。P点坐标为(0,t)，Q点坐标为(6,8-2t)。四边形PBQD的四个顶点坐标为P(0,t)，B(6,0)，Q(6,8-2t)，D(0,8)。要使四边形PBQD是矩形，根据矩形的性质，其相邻两边应垂直。比如，向量BP和向量BQ是否垂直？或者，向量PB和向量PD是否垂直？向量PB=B-P=(6-0,0-t)=(6,-t)向量PD=D-P=(0-0,8-t)=(0,8-t)若∠BPD是直角，则PB·PD=0。6*0+(-t)(8-t)=0→-t(8-t)=0→t=0或t=8。均不在0<t<4范围内。向量BP=P-B=(-6,t)向量DQ=Q-D=(6-0,(8-2t)-8)=(6,-2t)若四边形PBQD是矩形，则BP·DQ=0？似乎不是这样直接判断。回到最初，四边形PBQD的对边分别是PB与DQ，PD与BQ。PD=8-t，BQ=8-2t，PB的长度：√(AP²+AB²)=√(t²+6²)=√(t²+36)DQ的长度：√(CQ²+CD²)=√((2t)²+6²)=√(4t²+36)若四边形PBQD是矩形，则PB=DQ且PD=BQ？当PD=BQ时，8-t=8-2t→t=0（舍去）。看来PD≠BQ，所以四边形PBQD不是以PD、BQ为对边的平行四边形。那么它可能是平行四边形吗？AP=t，CQ=2t，AQ的长度？不，P在AD上，Q在BC上。连接PQ。要使四边形PBQD是平行四边形，应该是PB∥DQ且PD∥BQ。PD∥BQ是显然的（AD∥BC）。所以只需PB∥DQ。PB的斜率：(t-0)/(0-6)=-t/6。DQ的斜率：[(8-2t)-8]/(6-0)=(-2t)/6=-t/3。令PB斜率=DQ斜率：-t/6=-t/3→t/3-t/6=0→t/6=0→t=0。还是t=0。这说明，在P、Q运动过程中，四边形PBQD一般不是平行四边形。那么要使其为矩形，只能是三个角为直角的四边形。∠PDQ=90°？D点处，PD⊥DQ。PD是AD方向，DQ是从D到Q。Q在BC上，坐标(6,8-2t)，D(0,8)。DQ向量为(6,-2t)，DP向量为(0,t)（P(0,t)，D(0,8)，所以DP=P-D=(0,t-8)，PD=D-P=(0,8-t)）。∠PDQ即PD与DQ的夹角。PD向量(0,8-t)，DQ向量(6,-2t)。PD·DQ=0*6+(8-t)(-2t)=-2t(8-t)。若∠PDQ=90°，则PD·DQ=0→-2t(8-t)=0→t=0或t=8（舍去）。∠PBQ=90°？B点处，PB⊥BQ。PB向量(-6,t)，BQ向量(0,(8-2t)-0)=(0,8-2t)（Q(6,8-2t)，B(6,0)，所以BQ向量为(0,8-2t)）。PB·BQ=(-6)*0+t*(8-2t)=t(8-2t)=0→t=0或t=4。t=4时Q与B重合，也舍去。∠QPB=90°或∠QDP=90°？看来常规思路有点卡壳。换个角度，当四边形PBQD是矩形时，PQ=BD。P(0,t)，Q(6,8-2t)，则PQ²=(6-0)²+[(8-2t)-t]²=36+(8-3t)²。BD²=10²=100。所以36+(8-3t)²=100→(8-3t)²=64→8-3t=±8。8-3t=8→-3t=0→t=0（舍去）。8-