基于素养立意的“立方根”概念建构与探究教学设计-以北师大版数学八年级上册为例

基于素养立意的“立方根”概念建构与探究教学设计——以北师大版数学八年级上册为例一、教学内容分析  本节课隶属《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域，是“实数”单元的重要组成部分。从知识技能图谱观之，立方根是平方根概念的纵向延伸与数系认识的再度拓展，是构建完整开方运算体系的关键一环。它要求学生不仅掌握立方根的概念、表示与性质，更需理解其与立方运算的互逆关系，并初步运用开立方运算解决简单实际问题。这一知识节点上承平方根的探究经验，下启实数运算的深入学习，具有显著的认知桥梁作用。从过程方法路径审视，课标强调通过具体情境抽象出数学概念，发展学生的抽象能力与模型观念。本节课应以“问题探究归纳应用”为基本路径，引导学生在类比平方根、操作具体数值、观察归纳规律中，自主建构立方根的知识体系。其蕴含的核心思想方法包括从特殊到一般的归纳思想、对立统一的辩证思想（正数与负数的立方根性质对比）以及数形结合思想（借助立方体模型）。从素养价值渗透考量，立方根的学习绝非孤立的知识点记忆，而是发展学生数学抽象、运算能力、推理能力等核心素养的优质载体。通过对立方根唯一性、符号规律的探究，能培养学生严谨求实的科学态度；通过解决实际背景下的开立方问题，有助于学生感悟数学的工具价值与应用之美，实现知识传授与素养培育的有机统一。  基于“以学定教”原则，八年级学生已具备平方根及相关运算的扎实基础，这为类比学习提供了良好的认知起点。然而，学生亦可能产生负迁移，例如混淆平方根的“双值性”与立方根的“单值性”，或对负数存在立方根这一事实感到困惑，这是本节课需要突破的思维难点。为动态把握学情，教学中将设计“前测性提问”如：“一个数的平方根有什么特点？由此你猜猜立方根会怎样？”并利用随堂练习、小组讨论展示，即时评估学生对概念本质的理解程度。针对学习者的多样性，教学策略需进行差异化调适：对于基础薄弱的学生，提供更多具体数值计算的“脚手架”，强化从具体到抽象的感知过程；对于思维活跃的学生，则引导其深入探究立方根的性质差异，挑战更具开放性的估算与应用问题，确保所有学生在各自“最近发展区”内获得有效发展。二、教学目标  知识目标：学生能够理解立方根的概念，准确叙述立方根与立方运算的互逆关系；掌握用根号“∛”表示一个数的立方根，并能正确求出简单有理数的立方根；辨析立方根与平方根在定义、性质及表示上的异同，构建清晰的认知结构。  能力目标：学生经历从实际问题抽象出立方根概念的过程，发展抽象概括能力；通过估算、验证、归纳等数学活动，提升运算能力和合情推理能力；能够在具体情境中，选择并运用开立方运算解决诸如已知立方体体积求棱长等简单应用问题。  情感态度与价值观目标：在探究立方根性质的过程中，学生体验数学的确定性与规律美，养成独立思考、言必有据的严谨学习习惯；在小组合作与交流中，乐于分享自己的发现，并尊重与理解他人的观点，增强合作意识。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的类比思维与归纳思维。通过设置“对比平方根与立方根”的核心任务链，引导学生主动寻找联系、辨析差异，从而深化对开方运算本质的理解，并初步形成从一般观念（如运算的互逆性）审视具体知识的思维方式。  评价与元认知目标：引导学生学会使用“定义检验法”（如：检验一个数是否为另一个数的立方根）进行自我监控；在课堂小结环节，鼓励学生自主梳理知识脉络，并反思“我是通过哪些方法学会立方根的？”、“最容易出错的地方在哪里？”，从而提升学习策略的元认知水平。三、教学重点与难点  教学重点：立方根的概念及开立方运算。其确立依据源于课程标准对“理解平方根、算术平方根、立方根的概念”这一核心要求的明确指向，以及立方根作为开方运算知识体系中的基石地位。在学业评价中，对立方根概念的理解和基本运算是考查实数相关知识的必备基础，更是后续学习实数运算、解特殊方程（如x³=a）的关键前提。  教学难点：理解负数也有立方根，并清晰辨析立方根与平方根性质的异同。预设难点成因主要有二：一是学生的认知需从前一课时平方根的“非负性”跨度到立方根的“任意实数性”，思维定势易造成障碍；二是对运算互逆关系的理解需从二次提升到三次，抽象程度增加。常见错误表现为认为“8没有立方根”或混淆“√”与“∛”的书写与含义。突破方向在于设计丰富的具体数值计算（尤其是负数的立方），让学生在亲身计算、观察对比中自我发现规律，从而化解认知冲突。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件（含立方体体积与棱长关系的动态演示、对比表格）；实物魔方一个。1.2学习材料：设计并印制分层《学习任务单》（包含探究活动记录、分层练习题）；准备课堂反馈用的即时贴。2.学生准备2.1知识预备：复习平方根的概念、表示及性质。2.2学具：常规文具，科学计算器（用于验证与拓展估算）。3.环境布置3.1座位安排：按4人异质小组就座，便于合作探究与讨论。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设与问题提出：教师手持一个标准魔方，“同学们，这是一个常见的三阶魔方。如果老师告诉你，这个魔方的体积是27立方厘米，你能求出它的棱长是多少厘米吗？”（等待学生反应）。接着，教师展示课件中的问题：“要制作一个容积为8立方米的正方体水箱，它的棱长应设计为多少？”引导学生用方程表示关系：设棱长为x，则x³=8或x³=27。“我们之前学过，如果问题是x²=4，我们可以用平方根来解决。那么，对于这种‘立方等于已知数’的问题，我们该如何定义和求解呢？”  1.1建立联系与明晰路径：“今天，我们就来认识平方根的一位‘兄弟’——立方根。我们将通过一系列探究活动，揭开它的‘面纱’，看看它和平方根这位‘兄长’到底有哪些相似，又有哪些不同。我们先从几个具体的数字游戏开始。”第二、新授环节  本环节通过一系列阶梯式任务，引导学生主动建构知识。任务一：从具体到抽象，归纳立方根定义教师活动：首先，板书三组等式：2³=8，(2)³=8，0³=0。提问：“在这三组等式中，已知幂（结果）和指数，求底数的问题，可以怎么表述？”引导学生说出“什么数的立方等于8？”等。接着，给出定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a，那么这个数x就叫做a的立方根（或三次方根）。并强调“立方”与“根”的对应关系。然后，请学生模仿此表述，口述8和0的立方根是什么。“大家发现了吗？这里的2，2，0分别是8，8，0的什么？”（引出立方根）。学生活动：观察教师给出的等式，思考并回答教师的提问。尝试用自己的语言复述立方根的定义。根据定义，指出给定数字的立方根。即时评价标准：1.能否准确用文字语言描述“立方根”的意义。2.能否根据定义，正确找出简单数字（如8，27，1）的立方根。3.在复述定义时，是否关注到“立方等于”这一核心关系。形成知识、思维、方法清单：★立方根的定义：理解“若x³=a，则x是a的立方根”是本节课的逻辑起点。要反复从正、反两个方向进行辨析，例如“因为2³=8，所以8的立方根是2”；“因为8的立方根是2，所以2³=8”。（教学提示：可类比“家庭成员”关系，强化对应。）▲定义的初步应用：立即应用定义进行判断和简单求解，是巩固概念的有效手段。例如，快速口答1、1、64的立方根。任务二：操作与归纳，探究立方根的性质教师活动：组织小组活动。发放任务单，要求每组计算：求1，8，27，64，125以及1，8，27，64，125的立方根。并思考问题：“观察你所求出的这些立方根，它们和原来的数在符号上有什么关系？”“0的立方根是多少？”“一个正数有几个立方根？负数呢？0呢？”教师巡视，参与讨论，并请小组代表分享发现。“很好，大家发现了正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。那这和平方根的性质对比，有什么惊人的不同？”（引出唯一性）。学生活动：以小组为单位进行计算、记录与观察。热烈讨论教师提出的问题，尝试归纳立方根的符号规律和个数特征。派代表向全班汇报本组的发现：“我们组发现，正数的立方根还是正数，负数的立方根是负数，而且每个数都只有一个立方根。”即时评价标准：1.小组计算是否准确、高效。2.归纳的结论是否基于计算结果，语言是否准确。3.小组内部是否进行了有效的分工与交流。形成知识、思维、方法清单：★立方根的性质：归纳出核心三条：①正数有一个正的立方根；②负数有一个负的立方根；③0的立方根是0。（这是与平方根最本质的区别，是教学的重中之重，必须通过大量实例让学生确信。）●探究方法——从特殊到一般：通过对一系列具体、有代表性的数值进行计算和观察，归纳出普遍规律，这是数学发现的重要方法。任务三：对比辨析，建立与平方根概念的联结教师活动：“现在我们手里有了平方根和立方根两把‘钥匙’。是时候把它们放在一起比较一下了。”教师在黑板上画出对比表格（被开方数a、平方根、立方根），引导学生共同填写。重点聚焦“个数”和“符号”两栏。“同学们，为什么平方根总是‘成双成对’（除0外），而立方根却总是‘独来独往’呢？能不能从它们的本源——乘方运算上找找原因？”引导学生思考：因为任何实数的平方都是非负数，所以只有非负数才有平方根；而正数、负数的立方结果符号与原数相同，故任何实数都有且只有一个立方根。学生活动：在教师引导下，回顾平方根性质，与刚学的立方根性质进行逐项对比、填空。深入思考教师提出的深层次问题，尝试从乘方运算的差异来解释性质的不同。即时评价标准：1.填写的对比表格是否准确、完整。2.能否从运算角度（平方与立方的特性）解释性质差异，体现思维深度。形成知识、思维、方法清单：●对比学习法：将新旧知识进行系统性对比，是构建知识网络、防止混淆的高效策略。表格能直观呈现异同。▲性质差异的根源：理解平方根与立方根性质的差异，根源在于指数运算本身的性质（平方的非负性、立方的保号性）。这有助于学生形成更高阶的、统一的教学观念。任务四：符号表示与读法教师活动：“我们知道，平方根用‘√’表示，读作‘根号’。立方根也有自己的专属符号。”板书：∛a，读作“三次根号a”。强调根指数“3”不可或缺，以区别于平方根。举例：∛8=2，∛(27)=3，∛0=0。并提问：“∛a表示的是什么？它和a是什么关系？”强化符号意义。“现在，请大家把任务二中的结论，用这个漂亮的符号语言重新表达一遍。”学生活动：学习新符号的写法和读法。练习用“∛”表示数字的立方根。回答教师提问，理解“∛a”表示的就是a的立方根，它满足（∛a）³=a。即时评价标准：1.能否正确书写“∛”并标注被开方数。2.能否准确读出如“∛64”这样的式子。3.是否理解符号“∛a”与文字“a的立方根”的等价关系。形成知识、思维、方法清单：★立方根的表示：符号“∛a”是a的立方根的数学表示。根指数3表示开立方运算，书写时注意与平方根符号区分。▲符号语言与文字语言的转换：熟练进行“a的立方根是x”⇔“x=∛a”⇔“x³=a”三种表述形式的转换，是灵活运用概念的基础。任务五：估算与近似，发展数感教师活动：提出新问题：“∛10大约是多少？”引导学生思考：“哪两个整数的立方最接近10？”（因为2³=8，3³=27，所以∛10在2和3之间）。进一步追问：“那它更接近2还是3？试着估算一下，比如2.1³、2.2³各是多少？”允许学生使用计算器进行验证。“这个活动告诉我们，对于不能直接开得尽方的数，我们可以估算它的范围，这是一个非常重要的数感。”学生活动：思考教师的问题，尝试确定∛10的整数范围。部分学生尝试进行更精确的估算，并用计算器验证自己的猜想。感受无理数立方根的存在性。即时评价标准：1.能否正确找到立方根所在的连续整数区间。2.是否理解估算的基本思路（通过比较立方值）。形成知识、思维、方法清单：▲立方根的估算：对于非完全立方数，其立方根多为无理数。掌握“找到其相邻的两个整数立方数，从而确定立方根范围”的估算方法，是培养数感和解决实际问题能力的重要一环。●计算器的使用：科学计算器是求立方根近似值的有效工具，应指导学生规范使用（如按键顺序）。任务六：综合应用，理解开立方运算教师活动：总结：“求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。”呈现例题：求下列各式的值：(1)∛(64)；(2)∛125；(3)∛(27/8)。引导学生分析：(2)题需先求立方根，再取相反数，注意运算顺序；(3)题涉及分数，可分别对分子分母开立方。“我们完成了从定义到性质，再到表示和运算的学习闭环。现在，谁能用自己的话总结一下，我们这节课到底认识了立方根的哪些方面？”学生活动：聆听教师对开立方运算的总结。独立或在小助手帮助下完成例题求解。尝试对整节课的核心内容进行初步梳理和总结。即时评价标准：1.解题过程是否规范，尤其是符号处理。2.对“开立方是一种运算”这一表述的理解程度。形成知识、思维、方法清单：★开立方运算：明确开立方是一种运算，它与立方运算互逆。完成运算即求立方根。●运算顺序与符号：注意区分“负数的立方根”与“一个数立方根的相反数”，理解“∛a”与“∛(a)”在a>0时是不同的。▲分数的立方根：∛(a/b)=∛a/∛b(b≠0)，可利用此性质简化计算。第三、当堂巩固训练  设计分层训练任务，通过任务单发放。  基础层（全员必做）：1.求下列各数的立方根：1，0.001，216。2.判断正误：①64的立方根是4；（）②∛(8)=∛8；（）③1的平方根和立方根都是1；（）。（目标：直接强化概念与基本求法）  综合层（多数学生完成）：3.求下列各式的值：①∛1；②∛(1/27)；③∛0.125+∛(0.008)。4.一个正方体的体积变为原来的8倍，它的棱长变为原来的多少倍？如果体积变为原来的1/27呢？（目标：在简单变式和实际情境中综合应用）  挑战层（学有余力选做）：5.已知∛(2x1)=3，求x的值。6.探究：比较∛7与2的大小，并说明理由。（目标：涉及解简单方程和估算推理，提升思维深度）  反馈机制：学生独立完成基础层后，小组内交换批改，讨论错误原因。教师巡视，收集综合层和挑战层的典型解法与共性困惑。随后进行集中讲评，重点剖析常见错误（如符号错误、与平方根混淆），并展示优秀思路。对于挑战题，邀请学生上台讲解。第四、课堂小结  引导学生进行结构化总结与反思。首先提问：“如果让你用思维导图总结本节课，中心词是‘立方根’，你会引出哪些主要分支？”师生共同梳理出：定义、性质（个数、符号）、表示（∛）、运算（开立方）、与平方根的对比。接着，进行方法提炼：“回顾整个探究过程，我们主要运用了哪些数学思想方法？”（类比、从特殊到一般、对比）。最后，布置分层作业并预告下节课内容：“今天的作业将分为‘夯实基础’、‘灵活应用’和‘挑战自我’三个板块，请大家根据情况选择完成。下节课，我们将利用今天所学的立方根，去探索更奇妙的实数世界。”六、作业设计  基础性作业（必做）：1.课本对应章节练习题中关于立方根概念辨析、基本求值的题目。2.整理课堂笔记，用表格形式系统对比平方根与立方根的定义、性质、表示。  拓展性作业（建议完成）：3.实际应用：查阅资料，了解声音在海水中的传播速度v（米/秒）与水温T（摄氏度）的关系近似为v=1449+4.6T0.055T²+0.0003T³。如果测得某处深海声速为1500米/秒，你能估算该处水温的大致范围吗？（提示：可尝试估值）。4.制作一张关于“立方根”的数学小报，需包含定义、性质、至少两个应用实例或趣闻。  探究性/创造性作业（选做）：5.数学写作：以“平方根与立方根的对话”为题，写一篇短文，通过它们的对话体现两者的异同和各自的特点。6.探究问题：是否存在一个数，它的平方根和立方根相等？如果存在，请找出所有这样的数；如果不存在，请说明理由。七、本节知识清单及拓展  ★1.立方根的定义：若x³=a，则x叫做a的立方根（或三次方根）。a称为被开方数。这是判定和求解立方根的原始依据。  ★2.立方根的性质（核心）：①任何实数都有且只有一个立方根。②正数的立方根是正数。③负数的立方根是负数。④0的立方根是0。这与平方根的性质有本质区别。  ★3.立方根的表示：用符号“∛a”表示a的立方根，读作“三次根号a”。根指数“3”不可省略，以区别于平方根“√a”（根指数2可省略）。  ●4.开立方运算：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。完成运算即得到立方根。  ●5.重要恒等式：(∛a)³=a；∛(a³)=a。这两个式子分别从“运算结果”和“先立方后开立方”的角度体现了立方与开立方的互逆关系。  ▲6.负号的位置：∛a表示a的立方根的相反数；∛(a)表示a的立方根。当a>0时，∛a是负数，而∛(a)也是负数，但两者数值相等。  ▲7.分数的立方根：∛(a/b)=∛a/∛b(b≠0)。可以利用此性质简化计算，如∛(8/27)=∛8/∛27=2/3。  ●8.估算立方根：对于非完全立方数（如∛10），可寻找其相邻的两个整数立方数（如2³=8<10<27=3³），从而确定其立方根介于这两个整数之间，再利用中间值进一步估算。  ★9.与平方根的对比（易错点）：最易混淆之处在于“个数”和“被开方数范围”。平方根：a≥0，有两个（互为相反数，0除外）；立方根：a为任意实数，只有一个。  ▲10.计算器使用：使用科学计算器求立方根是基本技能。通常有专门的[∛]键或使用[^]键配合指数(1/3)进行计算，需熟悉自己计算器的操作方法。  ▲11.简单三次方程：形如x³=a的方程，其解就是a的立方根，即x=∛a。这是开立方运算的方程表现形式。  ●12.数形结合联想：立方根可以直观联系到正方体的体积与棱长关系。若正方体体积为V，则棱长l=∛V。这是理解立方根现实意义的绝佳模型。八、教学反思  （一）目标达成度分析：本设计以“立方根概念建构”与“平方根立方根辨析”为双主线，预设目标基本达成。通过课堂观察和随堂练习反馈，绝大多数学生能准确说出立方根定义并求解简单数的立方根，基础性目标落实较好。在能力与思维目标上，小组探究活动有效调动了学生，他们能通过计算归纳出性质，对比表格的完成质量也显示出初步的类比与归纳思维能力得到发展。情感目标在合作探究和分享环节有所体现。然而，在“估算立方根”和“理解互逆运算的抽象关系”上，部分学生仍显吃力，需要后续练习持续强化。  （二）环节有效性评估：导入环节的魔方和实际问题迅速聚焦了“已知体积求棱长”的核心问题，激发了兴趣。新授环节的六个任务层层递进，逻辑清晰。任务二（探究性质）和任务三（对比辨析）是本节课的高潮与枢纽，学生在此处思维最为活跃，争论与发现也最多，设计是成功的。当堂巩固的分层设计照顾了差异，但时间稍显仓促，对挑战题的讨论不够充分。小结环节的学生自主梳理，因时间关系未能全面展开，略显匆忙。  （三）学生表现深度剖析：在小组探究中，不同层次学生表现差异明显。基础薄弱的