从试验到理解：频率稳定性与概率估计的探索之旅

从试验到理解：频率稳定性与概率估计的探索之旅一、教学内容分析  本节课内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“统计与概率”领域中的“随机事件发生的可能性”。课标要求，学生应“通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率”，并“知道通过大量重复试验，可以用频率来估计概率”。这构成了本课教学的“坐标”。从知识图谱看，本节课是概率学习的承上启下之关键节点：学生已学习了必然事件、随机事件、概率的古典定义（等可能情形），本节课则直面“非等可能”或“试验结果难以穷举”的现实问题，引入“用频率估计概率”这一更具普适性的思想方法，为后续研究复杂随机现象、理解概率的统计定义奠定基石。其认知要求从“理解”跃升至“应用”与“建模”。从过程方法看，本节课是践行“数据分析”核心素养的绝佳载体。学生将通过亲手设计并实施随机试验、收集整理数据、绘制图表、观察规律，亲历完整的“通过数据分析探究随机现象规律”的科学探究过程，深刻体会“用样本推断总体”、“近似与逼近”的数学思想。从素养价值渗透看，本节内容蕴含着丰富的理性精神与科学态度。通过试验，学生将直观感受随机性的普遍存在，同时理解隐藏在随机性背后的统计规律性（频率稳定性），这种对“确定性”与“随机性”辩证关系的初步领悟，是形成科学世界观的重要一环。  学情方面，九年级学生具备一定的动手操作与小组协作能力，并对抛硬币、掷骰子等随机试验充满兴趣，这是开展探究式教学的良好基础。然而，他们的认知障碍也显而易见：其一，“用频率估计概率”的理解。他们可能混淆频率（试验值）与概率（理论值），或对“大量重复”的必要性认识不足，期望几次试验就得到精确概率。其二，“稳定性”的理解。对于频率在波动中逐渐稳定的趋势，学生可能只关注单次试验结果的偶然性，而忽视从整体数据中洞察规律的思维视角。基于此，教学调适应采取差异化策略：对于抽象思维较弱的学生，提供直观的折线图动态演示和更多的试验数据支撑，帮助他们“看见”稳定趋势；对于思维较快的学生，则引导他们深入思考“稳定性”的数学内涵（如大数定律的朴素思想）及试验设计的优化方案。课堂中将通过设置阶梯式问题链、观察小组试验过程、分析共享试验数据等形成性评价手段，动态诊断学生理解程度，并适时调整教学节奏与引导深度。二、教学目标  知识目标方面，学生将系统建构起频率与概率的认知联系。他们不仅能准确复述频率与概率的概念，更重要的是能理解频率的随机性与稳定性双重特征，并能清晰阐述“用频率估计概率”的基本原理及其适用条件，最终能运用这一方法解决简单的实际问题，如估计不规则图形面积、预测随机事件发生可能性等。  能力目标聚焦于发展学生的数据分析和数学建模能力。通过本课学习，学生应能独立或合作设计简单的随机试验方案，规范地进行数据收集、记录与整理；能够运用计算器辅助计算频率，并利用电子表格或坐标纸绘制频率折线统计图；进而具备从杂乱的数据序列中识别规律、归纳结论，并利用结论进行合理推断和解释的能力。  情感态度与价值观目标期望学生在“做数学”的过程中，培养严谨求实的科学态度和协作共享的团队精神。在试验过程中，能一丝不苟地记录数据；在小组讨论中，能尊重同伴观点，共同面对试验结果与预期不符时的“意外”，并将其视为探究的新起点，体会科学发现的曲折与乐趣。  科学思维目标旨在强化学生的统计思想和模型思想。引导学生超越对单个随机事件的关注，学会从大量重复试验的“统计全景”中把握规律，初步建立“用频率（样本特征）估计概率（总体特征）”的统计推断模型思维。同时，发展他们的归纳思维和辩证思维，理解“近似”与“精确”、“偶然”与“必然”的辩证关系。  评价与元认知目标着重于提升学生的反思与批判性思维能力。课程中，学生将依据清晰的量规评价自己及同伴的试验报告；在课堂尾声，能反思“大量重复”这一条件对结论可靠性的影响，并能批判性地审视用频率估计概率的优缺点及其应用边界，从而初步形成对方法本身进行再认识的元认知习惯。三、教学重点与难点  教学重点确定为：理解频率的稳定性，掌握用频率估计概率的方法及其思想。其确立依据源于课标对本部分内容作为“统计与概率”领域核心概念的定位，它是连接古典概型与统计概率的桥梁，是学生理解概率统计定义、形成数据推断观念的知识基石。从学业评价导向看，该方法不仅是解决实际概率问题的常用手段，其背后蕴含的“试验、观察、归纳”思想更是培养学生探究能力与创新意识的重要载体，在各类测评中常以情境应用题形式出现，考查学生在新情境中灵活运用这一思想方法的能力。  教学难点在于：对“频率稳定于概率”这一抽象规律的直观感受与理性认识，以及理解“用频率估计概率”的合理性。难点成因在于学生思维正处于从具体运算向形式运算过渡的阶段，对“极限”、“收敛”等思想尚无基础，仅凭有限次试验难以真正“看到”稳定性，容易产生“试验次数越多，频率越等于概率”的机械理解或对结论的怀疑。预设依据来自对学生常见认知误区的分析：学生作业中常出现用少数几次试验的频率直接作为概率，或对频率的合理波动范围感到困惑。突破方向在于，通过多组试验数据的横向对比（不同小组同次数试验）与纵向追踪（同一小组递增次数试验），借助信息技术动态模拟，让学生在多维度、大样本的数据冲击下，形成对稳定趋势的强感知，再通过教师引导下的思辨，将感性认识上升为理性认同。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件（内含历史上著名随机试验案例介绍、频率折线图动态生成模板）；几何画板或类似软件（用于模拟大量重复试验）；实物投影仪。1.2学习材料：设计并打印《“掷图钉”试验探究学习任务单》（内含试验记录表格、数据分析问题链、分层练习）；准备足量同一规格的图钉（或硬币、骰子等替代品）；计算器。2.学生准备2.1知识预备：复习概率的古典定义及简单事件概率计算。2.2物品准备：每人携带笔、直尺，各小组准备一个便于投掷图钉的纸盒或划定区域。3.环境布置3.1座位安排：课前将学生分为46人异质小组，便于合作探究与互助。3.2板书记划：预留黑板中央区域用于构建核心概念关系图。五、教学过程第一、导入环节1.创设认知冲突情境：“同学们，假设学校运动会要选拔一名同学代表班级参加投篮比赛，现有甲、乙两位候选人。甲同学近期训练，10投6中；乙同学很久没练，自称‘感觉不错’。如果只允许他们各投一次来决定谁去，大家觉得，这样公平吗？”（等待学生讨论，多数会认为不公平，因为一次投篮偶然性太大。）1.1.聚焦核心问题：“说得对！一次投篮，结果随机性太强，不能反映真实水平。那么，怎样才公平呢？”（引导学生说出“多投几次，看谁进的次数多”或“算进球的比例”。）教师顺势引导：“这个‘比例’，在我们数学里，当它描述一次试验中某事件发生的可能性时，叫什么？”（复习“概率”）“但当概率无法直接理论计算时，比如这位乙同学的真实投篮命中率我们并不知道，该怎么办？”由此自然引出本节课核心驱动问题：“当无法直接计算概率时，我们如何科学地估计它？”1.2.明晰探索路径：“今天，我们就化身‘数学探测员’，通过一个经典的试验——掷图钉，来寻找这个问题的答案。我们将亲手进行试验、收集数据、观察规律，最终揭示一个重要的数学思想方法。请先回忆，什么是事件的概率？什么是频率？”（快速回顾旧知，为新课搭建起点。）第二、新授环节  本环节围绕“掷图钉试验：钉尖朝上的概率是多少？”这一核心问题展开，通过搭建认知支架，引导学生主动建构知识。任务一：设计试验，初识频率教师活动：首先，明确研究对象：一枚图钉掷出后，钉尖朝上（记为事件A）。提问：“我们能像求抛硬币正面朝上的概率一样，用‘可能结果数/所有等可能结果数’来求P(A)吗？为什么？”引导学生认识其非等可能性，从而凸显寻求新方法的必要性。接着，布置任务：“请各小组讨论，设计一个方案来估计P(A)。我们需要记录哪些数据？如何保证试验的随机性和公平性？”巡视指导，关注各组方案的科学性（如：统一高度、自由落体、落在柔软平面等）。然后，统一试验规范，下发《学习任务单》，明确记录要求：每掷10次为一轮，记录朝上次数，计算频率（朝上次数/总次数）。学生活动：小组讨论试验设计要点，提出方案（如：指定高度、随机释放、避免人为控制）。理解试验步骤，明确分工（投掷员、记录员、计算员、监督员）。开始进行第一轮（10次）试验，认真记录数据，并计算频率f₁(A)。（教师穿插语：“注意，投掷时要让它自然落下，不要加转或刻意控制哦！”）即时评价标准：1.试验设计是否体现了“随机性”原则（如方式、环境）。2.数据记录是否准确、清晰。3.小组成员分工是否明确、协作是否有序。形成知识、思维、方法清单：★频率的定义：在n次重复试验中，事件A发生了m次，则比值m/n称为事件A发生的频率。（教学提示：强调频率是试验后计算得到的“实测值”，与试验具体过程相关。）▲随机试验的设计原则：为减少误差，应确保每次试验的条件相同且独立，避免系统性偏差。（认知说明：这是获得有效数据、进行科学推断的前提。）★问题的提出：对于许多非等可能或结果复杂的随机事件，无法用古典方法求概率，需寻找新的途径。（思维点拨：这是驱动知识创新的起点。）任务二：收集数据，感知波动教师活动：引导各组继续完成累计20次、30次、……直至累计50次的试验，并逐轮计算累计频率（即用累计朝上次数除以累计总次数）。教师利用实物投影或课前设计好的电子表格模板，随机邀请23个小组实时分享他们每增加10次试验后的累计频率数据。同时，教师在黑板上或课件中同步记录这些数据。（教师穿插语：“看，这是第三组的数据，当他们投到30次时，频率是0.4；而第一组在30次时是0.33。同一个事件，为什么大家的频率不一样呢？这说明频率有什么特点？”）学生活动：各小组严格按规范进行试验，认真记录每一轮数据并计算累计频率。观察教师展示的各组数据，发现不同小组、同一次数下的频率值各不相同。思考并回答教师提问，初步感知频率的“随机性”或“波动性”。即时评价标准：1.能否坚持规范操作直至完成预定试验次数。2.能否准确计算累计频率。3.能否从共享数据中观察并说出频率不一致的现象。形成知识、思维、方法清单：★频率的随机性（波动性）：在试验次数较少时，频率是随机变化的，其具体取值具有偶然性。（教学提示：此点解释了为何不能仅凭少数几次试验的频率来估计概率。）▲数据共享的价值：通过汇集多个小组的数据，相当于间接增加了试验次数，能更全面地反映整体趋势。（认知说明：体现合作学习在科学研究中的意义。）★认知冲突深化：频率如此波动不定，我们还能用它来估计一个稳定的概率值吗？（思维点拨：制造悬念，激发进一步探究“稳定性”的欲望。）任务三：绘制图象，探寻稳定教师活动：这是关键环节。指导所有学生在任务单的坐标纸上，以试验总次数n为横坐标，相应的累计频率为纵坐标，描出各数据点（10,f₁)、(20,f₂)……(50,f₅)，并用折线连接，绘制“累计频率折线统计图”。同时，教师用几何画板动态模拟“掷图钉”试验，快速展示从1次到1000次试验的累计频率变化折线图。（教师穿插语：“请大家仔细观察自己小组的折线图，那条线是怎么走的？是上蹿下跳，还是慢慢趋于平静？再请看大屏幕，当模拟试验做到几百次、上千次时，这条频率的‘心跳曲线’又呈现出什么状态？”）引导学生对比观察自己小组的50次折线与大屏幕上的长程折线。学生活动：动手绘制本组的频率折线图。聚精会神地观察图形特征，并观看教师演示的大数量模拟试验。比较短程（50次）与长程（上千次）折线图的差异。在教师引导下，描述所观察到的现象：短期波动剧烈，长期来看，波动幅度减小，折线在某个数值附近摆动，并逐渐稳定下来。即时评价标准：1.频率折线图绘制是否准确、规范。2.能否用语言描述折线图呈现的“先波动，后逐渐稳定”的趋势。3.能否建立试验次数与频率稳定性之间的关联认识。形成知识、思维、方法清单：★频率的稳定性：在大量重复试验中，事件发生的频率会稳定于某一个常数附近。（教学提示：这是本节课的灵魂概念，务必通过图象让学生获得直观深刻的体验。）★概率的统计定义：这个稳定的常数，就是事件发生的概率的估计值。（教学提示：正式建立频率与概率的估计关系，点明方法。）▲“大量重复”的必要性：试验次数足够多，是频率呈现稳定性、从而能较好估计概率的前提。（认知说明：解释为何要“大量”，是理解方法合理性的关键。）★数形结合思想：利用统计图（特别是折线图）可以直观、动态地展示数据的变化趋势，是分析随机现象的有力工具。（思维点拨：强调数学方法在探究中的作用。）任务四：归纳方法，形成结论教师活动：组织学生进行小组讨论，基于前面的试验、观察与绘图，尝试归纳“如何用频率估计概率”。提供引导性问题：“①使用此方法的前提是什么？②具体步骤是怎样的？③得到的估计值有什么特点？（是精确值吗？）”巡视聆听，捕捉学生表述中的亮点与不足。随后邀请小组代表分享，教师进行梳理、精炼和板书。学生活动：围绕教师提问开展小组讨论，整合本组探索历程，尝试用语言概括方法。派代表发言，与其他小组交流。最终在教师指导下，形成清晰、规范的方法表述。即时评价标准：1.归纳的结论是否完整涵盖“大量重复”、“频率”、“稳定值”、“估计”等核心要素。2.语言表述是否清晰、有条理。3.能否理解估计值的近似性。形成知识、思维、方法清单：★用频率估计概率的方法：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m/n稳定于某个常数p，那么常数p称为事件A发生的概率。（教学提示：此为规范性结论，要求理解性记忆。）★方法的适用条件与特点：当无法用理论公式直接计算概率时使用；估计值p具有近似性，通常试验次数越多，估计越精确。（认知说明：明确方法的应用范围和局限性，体现思维的严密性。）▲从具体到一般的归纳思维：从“掷图钉”这一特例中，通过数据分析，发现并总结出适用于一类随机现象的普遍规律与方法。（思维点拨：揭示本课所经历的科学研究范式。）任务五：史实链接，深化理解教师活动：简要介绍历史上数学家们为验证频率稳定性所做的著名试验，如德·摩根、蒲丰、皮尔逊等人的抛硬币试验数据。展示他们的试验次数（成千上万次）及其得到的正面朝上频率（非常接近0.5）。（教师穿插语：“看，前辈们为了探寻真理，进行了如此浩繁的试验！他们的数据有力地支持了我们的发现。这不仅是数学结论，更是经受了实践检验的科学规律。”）进一步提问：“根据这个规律，请大家再思考：天气预报说‘明天降水概率是80%’，这个‘80%’是怎么来的？是算出来的吗？”学生活动：聆听教师介绍，感受数学史的厚重与科学精神的严谨。思考并讨论降水概率的含义，理解其是基于大量历史气象数据（频率）分析估计得出的，是对可能性的一种科学度量，而非精确预言。即时评价标准：1.能否将历史试验与本节课结论相联系，增强认同感。2.能否将频率估计概率的思想迁移到解释现实生活中的类似表述。形成知识、思维、方法清单：▲频率稳定性的历史验证：前人的大量试验为概率的统计定义提供了坚实的实证基础。（教学提示：融入数学史，增强结论的说服力与课程的人文性。）★概率的现实意义：许多现实中的概率值（如降水概率、疾病发病率、产品合格率）都是通过频率估计得到的，它描述的是长期趋势中的可能性大小。（认知说明：打通数学与现实世界的联系，体现数学的应用价值。）★或然与必然的辩证观：单次结果随机（或然），大量重复下的规律稳定（趋向必然）。（思维点拨：渗透初步的哲学思考，提升思维高度。）第三、当堂巩固训练  设计分层变式练习，提供即时反馈。基础层（全体必做）：1.填空：在大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在______附近，我们可以用这个______来估计该事件的概率。2.判断：掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上7次，则正面朝上的概率是0.7。（）综合层（多数学生挑战）：3.一个不透明的袋子里有若干红球和白球，除颜色外均相同。某学习小组做摸球试验：共摸球200次，其中摸到红球60次。请你估计袋中红球所占的比例大约是多少？如果袋中共有20个球，估计红球约有几个？4.下表记录了某种幼树在一定条件下移植成活的频率，请估计该幼树移植成活的概率（精确到0.1）。移植总数n1050270400750150035007000成活数m847235369662133532036335成活频率m/n0.8000.9400.8700.9230.8830.8900.9150.905挑战层（学有余力选做）：5.（跨学科联系）查阅资料，了解“蒙特卡罗方法”的基本思想，并尝试用“用频率估计概率”的思路，解释如何利用这种方法来估计圆周率π的近似值。反馈机制：基础题采用集体口答、快速核对方式。综合题请学生上台展示第3题的思路和第4题从表格数据中观察稳定趋势的方法，教师针对共性问题（如第4题应关注后期稳定在0.9附近的数据）进行点评。挑战题作为课后拓展兴趣点，简要介绍思路，鼓励课后探究。第四、课堂小结  引导学生进行结构化总结与元认知反思。“同学们，我们的‘数学探测’之旅即将到站。谁能用一句话概括我们今天最大的收获是什么？”（预设：可以用频率估计概率。）“那么，请以小组为单位，用思维导图或关键词云的形式，梳理一下我们今天探索的路径和核心知识点。”请12个小组分享他们的总结图。教师在此基础上，完善板书的核心概念关系图：“随机事件→大量重复试验→频率（m/n）→呈现稳定性→估计→概率（p）”。  （教师穿插语：“回过头看，我们从对一个‘不公平’选拔的质疑出发，通过动手试验、分析数据、绘制图象，最终自己‘发现’了一个重要的数学方法。这个过程本身，和科学家做研究是不是很相似呢？”）最后布置分层作业：必做作业：1.完成教材课后基础练习题。2.撰写简短的试验报告，概述本组“掷图钉”试验的过程、数据、结论与体会。选做作业：1.设计一个方案，估计你某次数学选择题（四个选项）瞎蒙能蒙对的概率，并通过模拟试验验证。2.探究：在“掷图钉”试验中，如果要求估计误差控制在0.05以内，大概需要做多少次试验？（提示：观察你们各组的数据波动范围与试验次数的关系）六、作业设计  基础性作业（全体学生必做）：1.整理课堂笔记，准确复述频率与概率的关系，以及用频率估计概率的方法和注意事项。2.教材配套练习册中，关于计算频率、根据频率估计概率的基础性题目。3.反思课堂试验：你认为本组试验数据在多大程度上支持了“频率稳定性”的结论？如果重做一次，你会如何改进试验以减小误差？  拓展性作业（建议大多数学生完成）：1.情境应用：某鱼塘老板想知道塘里有多少条鱼。他先捞出100条做上标记后放回。一段时间后，再捞出100条，发现其中有标记的鱼为10条。请你用今天所学的思想方法，帮老板估计塘中鱼的总数大约是多少？并写出你的估算思路。2.微型项目：与家人或朋友一起，完成“抛掷一枚质地均匀硬币，验证正面朝上频率是否逐渐稳定于0.5”的家庭小实验。累计抛掷至少200次，记录每20次后的累计频率，并绘制折线图。形成一份简单的实验记录与结论报告。  探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：1.开放探究：查阅“伯努利大数定律”的通俗介绍，尝试用你自己的语言解释，为什么“大量重复试验下，频率会稳定于概率”？这与我们今天直观感受的“稳定性”有什么深层联系？2.：利用“用频率估计概率”的思想，设计一个方案，估算一张不规则叶片形状的图片面积与它外接矩形面积的比值。你需要哪些工具？简述你的步骤和原理。（可借助方格纸或计算机软件）七、本节知识清单及拓展★1.频率的定义：在n次重复试验中，事件A发生了m次，则比值m/n称为事件A发生的频率。频率是一个随着试验变化而变化的量。（关键点：它是试验后算出的实测比例。）★2.频率的随机性（波动性）：在试验次数较少时，频率表现出明显的随机波动，不同批次试验的结果可能差异较大。（教学提示：解释为何不能轻信小样本结论。）★3.频率的稳定性：随着试验次数的增加，频率的波动幅度会逐渐减小，呈现出稳定于某个常数的趋势。这是用频率估计概率的理论基础。（核心概念，务必通过图象深化理解。）★4.概率的统计定义：在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p，那么p就称为事件A的概率。（这是对概率的一种操作性、经验性定义，与古典定义互补。）★5.用频率估计概率的方法：一般地，通过大量重复试验，用事件发生的频率去估计它的概率。（方法论总结。）▲6.“大量重复”的必要性：“大量”是频率呈现稳定性的前提，也是估计结果相对可靠的条件。试验次数越多，估计通常越精确。（易错点提醒：忽视此条件是用此方法最常见的错误。）★7.估计值的近似性：用频率估计得到的概率是一个近似值，并非精确值。频率围绕概率上下波动。（重要认知：区分理论精确值与实际估计值。）▲8.随机试验的设计原则：试验条件应尽可能一致且独立，确保每次试验的随机性，避免人为系统误差。（应用于实践的操作要点。）★9.数据记录与分析工具：学会规范记录试验数据，并利用计算器计算频率。掌握绘制“累计频率折线图”来直观观察稳定性趋势的方法。（关键技能。）▲10.频率与概率的辩证关系：频率是概率的近似反映和估计工具；概率是频率在大量重复试验下的稳定中心和理论值。（思维提升：理解二者的联系与区别。）▲11.数学史上的验证：如蒲丰投针、抛硬币试验等，以史实佐证频率稳定性的客观存在，体现科学研究的实证精神。（人文与科学融合。）★12.应用领域举例：产品质量抽检合格率、天气预报中的降水概率、保险精算、医药有效性试验等，广泛运用频率估计概率的思想。（凸显实用价值，联系现实。）▲13.蒙特卡罗方法简介：一种以概率统计理论为基础的数值计算方法，其核心思想之一就是用频率估计概率。例如通过随机撒点估计不规则图形面积。（拓展视野，接触高端应用。）★14.常见误区辨析：误区一：做几次试验就用频率当作概率。误区二：认为试验次数越多，频率就一定等于概率。纠正：频率是波动中趋于稳定，而非单调逼近。（防错指南。）▲15.思想方法提炼：本节课蕴含了统计思想（通过数据分析推断总体）、模型思想（建立“频率→概率”的估计模型）、极限思想（朴素地感受“趋于稳定”）、以及实验归纳法。（高阶思维总结。）八、教学反思  （一）教学目标达成度分析。本节课预设的知识与能力目标达成度较高。证据在于：在巩固训练环节，绝大多数学生能正确完成基础层和综合层题目，特别是在解释“如何估计袋中红球比例”时，能准确表述“用摸到红球的频率来估计”。学生绘制的频率折线图虽略显粗糙，但都能反映出波动后趋于平缓的趋势，表明对“稳定性”有了直观感知。情感与科学思维目标亦有所体现，小组试验时学生表现出的专注与对数据差异的讨论，反映出探究兴趣和初步的数据分析意识。然而，元认知目标中“批判性审视方法优缺点”的达成，仅局限于课堂小结时的简单提及，深度不足，需在后续课程中持续渗透。  （二）教学环节有效性评估。导入环节的情境创设成功引发了学生的认知冲突和探究欲望，“怎样才公平”这一问题直指核心。新授环节的五个任务构成了逻辑紧密的认知阶梯。任务一至三（设计、收集、绘图）的实践性极强，学生参与度高，是本节课的亮点。（内心独白：“当孩子们围在一起认真掷图钉、记数据时，那种真实的探究感是任何讲解都无法替代的。”）动态几何画板的演示在任务三中起到了“画龙点睛”的作用，将有限的课堂试验延伸到“大量重复”，有效弥补了学生实操在次数上的不足，帮助他们建立了对稳定性的宏观印象。任务五的史实链接短暂但有力，提升了课堂的格局。相对而言，任务四的归纳环节，部分基础较弱的学生在独立表述方法时仍显吃力，需要更多同伴和教师的支架支持。  （三）对不同层次学生的课堂表现剖析。在异质小组中