3.2.1双曲线及其标准方程+课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章

圆锥曲线的方程3.2.1

双曲线及其标准方程(一)

认识双曲线巴西利亚大教堂法拉利主题公园北京摩天大楼广州塔－小蛮腰(一)

认识双曲线

实验(拉链绘制双曲线):1.取一条拉链，拉开一部分；2.在拉链的两边，按一长一短固定在点

F1、F2处；(注意：拉链两边的长度之差小于|F1F2|)3.将笔尖放在拉链张开处

P

点，随着拉链的拉开

或闭拢，使笔尖慢慢移动，画出一条曲线.4.再把拉链两边交换位置分别固定在

F1和

F2处，

用同样的方法可以画出图形的另一部分.(一)

认识双曲线通过刚才的实验画出的图像就是双曲线，它由两条曲线组成，其中一条叫作双曲线的一支．整个实验过程，我们可以发现细绳两端始终固定在两个定点

F1、F2

上，而且动点

P

到两定点

F1、F2

的距离之差始终保持不变，等于拉链原长短边的长度之差．我们根据这个几何性质来得出双曲线的定义．双曲线由这两支共同组成．(二)

双曲线的定义定义：平面内与两个定点

F1、F2的距离的差的绝对值等于非零常数

的点的轨迹叫作双曲线．F2F1P(小于|F1F2|)通常把焦距记为2c(c＞0)，常数记为2a(a＞0)，则双曲线定义还可以描述为：若满足

|PF1|－|PF2|

＝2a＜2c，则点

P的轨迹为双曲线.★

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.(二)

双曲线的定义思考1

如果定义中去掉“绝对值”三个字会有什么影响？如果不加“绝对值”，得到的轨迹只是双曲线的一支当|PF1|－|PF2|＝2a

时，表示靠近

F2的一支，即双曲线的右支当|PF2|－|PF1|＝2a

时，表示靠近

F1的一支，即双曲线的左支PF1F2PF1F2(二)

双曲线的定义思考2

定义中为什么要求“常数2a＜2c且2a＞0”？①若常数2a＝2c：②若常数2a＞2c：③若常数2a＝0：此时轨迹不存在此时轨迹为线段

F1F2的垂直平分线此时轨迹为以

F1、F2为端点的两条射线.F1●F2●F1F2●●例1

已知两定点

F1(-5，0)、F2(5，0)，动点

P满足|PF1|－|PF2|＝2a，

则当

a＝3时，P点的轨迹为(

)

A．双曲线

B．一条射线

C．双曲线的一支D．轨迹不存在【答案】C.

例题讲解练1

若动点

P到点

M(1，0)，N(-1，0)的距离之差的绝对值为

2，则点

P的轨迹是(

)A.

双曲线

B.

双曲线的一支C.

两条射线

D.

一条射线【答案】C.

变式训练(三)

双曲线的标准方程根据双曲线的定义，如何用坐标法来探究双曲线的标准方程呢？①建立平面直角坐标系：如图，以F1、F2所在直线为

x

轴，线段F1

F2的垂直平分线为

y

轴，建立平面直角坐标系。由于双曲线的焦距

|F1F2|＝2c，所以F1、F2的坐标分别为(－c，0)、(c，0)(三)

双曲线的标准方程②设点：设双曲线上任意一点的坐标为P(x，y)③限制：动点满足的几何条件|PF1|－|PF2|＝±2a，④代点：由两点间的距离公式可得⑤化简：将左边的一个根式移到右边，得两边平方得

两边平方并整理得

整理得

(三)

双曲线的标准方程设c2－a2＝b2

，则b2

x2－a2y2＝a2b2两边同时除以a2b2，得⑤化简：式子表示的双曲线焦点在

x轴上，焦点坐标分别为F1(－c，0)，F2(c，0)(三)

双曲线的标准方程此时，焦点坐标分别为

F1(0，－c)，F2

(0，c)如果焦点在

y轴上，则双曲线的方程为：★

焦点在

x轴上：

★

焦点在

y

轴上：

左边是两个分式的平方差，右边是1；三个参数

a、b、c满足c²＝a²＋b²；

如果

x2的系数是正的，则焦点在

x轴上，该项的分母就是a²；如果

y2的系数是正的，则焦点在

y轴上，该项的分母就是a²。(三)双曲线的标准方程例2双曲线

的两个焦点分别是

F1、F2，双曲线上一点

P到

F1的距离是12，则点

P到

F2的距离是(

)A.17 B.7C.7或17 D.2或22例题讲解

∴||PF1|－|PF2|

|＝2×5＝10

又

|PF1|＝12，

∴|PF2|＝2或22【解析】由双曲线方程

得

a＝5，D【答案】【答案】17变式训练练2

设

P是双曲线

上一点，F1、F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝_______.【解析】c²＝a²＋b²＝16＋20＝36，∴c＝6，∵双曲线上一点到两焦点距离之差的绝对值为2a，则|PF1|－|PF2|

＝±8，∴|PF2|＝17或1.当P在右顶点时，|PF2|取最小值

c－a

＝6－4＝2

∴|PF2|≥2，舍去1，故|PF2|＝17

例题讲解例3求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点为(－4，0)和(4，0)，双曲线上任一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于

6；(2)焦点为(0，－2)和(0，2)，且经过点(3，-2)．(1)解：由于双曲线的焦点在

x

轴上，

因此，所求双曲线的标准方程为

由双曲线的定义知

2a＝6，又因为c＝4，所以

b²＝c²－a²＝16－9＝7．所以

a＝3．例题讲解例3求适合下列条件的双曲线的标准方程：(2)焦点为(0，－2)和(0，2)，且经过点(3，-2)．(2)法一：由于双曲线的焦点在

y轴上，因此所求双曲线的标准方程为

由双曲线的定义知因此a

=1．又因为

c

=2，所以

b²

=

c²－a²

=4－1=3．(2)法二：由于双曲线的焦点在

y轴上，故可设它的标准方程为

因为双曲线经过点

P(3，－2)，所以又因为

c＝2，所以

a²＝c²－b²＝4－b²

，因此，所求双曲线的标准方程为化简得

b4＋9b²－36＝0，即(b²＋13)(b²－3)＝0，解得

b²＝3，因此

a²＝4－b²

＝1．练3

求下列双曲线的焦点坐标，以及双曲线上任一点到两个焦点的距离之差的绝对值：(1)解：依题意，可知双曲线的焦点在

x轴上，且

a²

=4，b²

=5，所以

c²

=

a²＋b²

=9，即c

=3．因此双曲线的焦点坐标为(－3，0)、(3，0)．

双曲线上任一点到两个焦点的距离之差的绝对值为2a

=4．变式训练练3

求下列双曲线的焦点坐标，以及双曲线上任一点到两个焦点的距离之差的绝对值：(2)解：依题意，可知双曲线的焦点在

y

轴上，且

a²

=1，b²

=3，所以

c²

=

a²＋b²

=4，即c

=2．因此双曲线的焦点坐标为(0，－2)、(0，2)．

双曲线上任一点到两个焦点的距离之差的绝对值为2a

=2．变式训练练3

求下列双曲线的焦点坐标，以及双曲线上任一点到两个焦点的距离之差的绝对值：(3)解：双曲线的方程可化为：

可知双曲线的焦点在

y轴上，且

a²

=b²

=8，所以c²=a²＋b²

=16，即c

=4．因此双曲线的焦点坐标为(0，－4)、(0，4)．

双曲线上任一点到两个焦点的距离之差的绝对值为

变式训练解：设双曲线的方程为mx²

＋ny²=1（mn<0）

例4已知双曲线经过点

，

，求该双曲线的标准方程．因为双曲线经过点

，

，所以

，解得

，例题讲解所以双曲线的标准方程为

.变式训练

(1)解：由已知得c＝5，2a＝8，∴a＝4，b2＝c2－a2＝9，∵焦点在x

轴上，∴所求方程为.变式训练

(2)解：由题设所求方程为，

解得b2＝16，∴双曲线的标准方程为

.变式训练

(3)解：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1，则有

，解得

，∴双曲线的标准方程为

.(1)解：设|MF1|＝16，根据双曲线的定义知||MF1|－16|＝6，

即|MF1|－16＝±6，解得|MF2|＝10或|MF2|＝22例5若F1、F2是双曲线

的两个焦点.(1)若双曲线上一点

M到它的一个焦点的距离等于16，求点

M到另一个焦点的距离；(2)若点

P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.例题讲解例5若F1、F2是双曲线

的两个焦点.(2)若点

P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.例题讲解(2)解：由

，得a＝3，b＝4，c＝5由定义和余弦定理得，|PF1|－|PF2|

＝±6|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|

·cos60°∴102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|

∴|PF1|·|PF2|

＝64∴S△

＝|PF1|·|PF2|

·sin∠F1PF2＝例6

如图，点A、B的坐标分别是(-5，0)、(5，0)，直线AM、BM

相交于点M，且它们的斜率之积是