第十章第59节排列与组合

第59节排列与组合考试要求考题分析通过实例,理解排列、组合的概念;能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷2022年-T52023年T13T32024年T14-【主干梳理基础落实】【知识梳理】1.排列与组合的概念名称定义排列一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合作为一组2.排列数与组合数(1)排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,用符号Anm(2)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,用符号Cnm3.排列数、组合数的公式及性质公式Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)Cnm=A性质0!=___1___,Ann=___n!Cnm=Cn+1m=

Cn【知能自测】类型回源教材澄清盲点题号31,21.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”.(1)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事. (√)(2)在分步乘法计数原理中,只有各步骤都完成后,这件事情才算完成. (√)(3)Cnm=n(n-1)(n-2)…(n-m). (×(4)Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m). (×2.随着经济的发展,私家车成为居民的标配.某小区为了适应这一变化,在小区建设过程中预留了7个排成一排的备用车位.现有3位私家车车主要使用这些备用车位.现规定3位私家车车主随机停车,任意两辆车都不相邻,则共有不同停车种数为 ()A.144 B.24 C.72 D.60【解析】选D.由题可知7个车位停3辆车,则会产生4个空位,故可先摆好4个空车位,4个空车位会产生5个空隙,可供3辆车选择停车,因此,任意两辆车都不相邻的停车种数为A533.(选择性必修第三册P26习题T3变式)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男、女同学都有的选法种数是 ()A.18 B.24 C.30 D.36【解析】选C.选出的3人中有2名男同学1名女同学的选法有C42C31=18种,选出的3人中有1名男同学2名女同学的选法有C41C32【考点探究核心突破】考点一排列问题【例1】有7名学生(3名男生、4名女生)打算拍照,在下列不同条件下,求不同的排队方法种数.(1)选其中5人排成一排;(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;(3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾;(4)全体排成一排,甲不排在左端,乙不排在右端;(5)全体排成一排,甲、乙两人中间恰好有3人;(6)全体排成一排,女生必须站在一起;(7)全体排成一排,男生互不相邻;(8)全体排成一排,甲必须排在乙左边(可不相邻).【解析】(1)从7个人中选5个人排,排法有A75=7×6×5×4×3=2520(种(2)分两步完成,先选3人排在前排,有A73种排法,余下4人排在后排,有A44种排法,故共有A另解:本题即为7人排成一排的全排列.(3)法一:甲为特殊元素.先排甲,有5种排法,其余6人有A66种排法,故共有5×A66法二:排头与排尾为特殊位置.排头与排尾从除甲的其余6个人中选2个排列,有A62种排法,中间5个位置由余下4人和甲进行全排列,有A55种排法,共有A62(4)甲、乙为特殊元素,左、右两端为特殊位置.法一(特殊元素法):甲在最右端时,其他的可全排列,有A66种;甲不在最右端时,可从余下5个位置中任选一个,有A51种,而乙可排在除去最右端位置后剩余的5个位置中的任意一个上,有A51种,其余人全排列,共有A51A51A法二(特殊位置法):先排最左端,除去甲外,有A61种,余下6个位置全排列,有A66种,但应剔除乙在最右端时的排法A51A55种法三(间接法):7个人全排列,共A77种,其中,不符合条件的有甲在最左端时,有A66种,乙在最右端时,有A66种,其中都包含了甲在最左端,同时乙在最右端的情形,有A55种.因此共有A(5)(捆绑法)把甲、乙及中间3人看作一个整体,第一步:先排甲、乙两人,有A22种排法;第二步:从余下5人中选3人排在甲、乙中间,有A53种排法;第三步:把这个整体与余下2人进行全排列,有A33种排法.(6)(捆绑法)将女生看成一个整体,与3名男生一起全排列,有A44种排法,再将4名女生进行全排列,也有A44种排法,故共有A(7)(插空法)男生不相邻,而女生不作要求,所以应先排女生,有A44种排法,再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生,有A53种排法,故共有A(8)法一:7人的全排列有A77种,其中甲排在乙左边与乙排在甲左边各占12,故共有A7法二:7个位置中任选5个排除甲、乙外的5人,余下的两个位置甲、乙的排法即定,故有A75=2520(种思维升华求解排列应用问题的六种常用方法对点训练1.为迎接新年到来,某中学“唱响时代强音,放飞青春梦想”元旦文艺晚会如期举行.校文娱组委员会要在原定排好的9个学生节目中增加2个教师节目,若保持原来的9个节目的出场顺序不变,则不同排法的种数为 ()A.55 B.72 C.90 D.110【解析】选D.采用插空法即可.第1步:原来排好的9个学生节目产生10个空隙,插入1个教师节目有10种排法;第2步:排好的9个学生节目和1个教师节目产生11个空隙,插入1个教师节目有11种排法.故共有10×11=110(种)排法.2.(2025·南通模拟)某人将斐波那契数列的前6项“1,1,2,3,5,8”进行排列设置数字密码,其中两个“1”必须相邻,则可以设置的不同数字密码有 ()A.120种 B.240种C.360种 D.480种【解析】选A.将两个1捆绑在一起,则可以设置的不同数字密码有A55=120(【加练备选】三根绳子上共挂有8只气球,绳子上的球数依次为2,3,3,每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是 ()A.350 B.140 C.560 D.280【解析】选C.将8只气球编号,依次从下往上,从右往左编号为1,2,3,…,8,问题等价于8只气球排列,其中1,2,3号,4,5,6号,7,8号必须是从下到上的顺序打破气球,则有A88A22A考点二组合的应用【例2】从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人,组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,则共有________种不同的选法(用数字作答).

【解析】法一:①只有1名女生时,先选1名女生,有C21再选3名男生,有C63然后排队长、副队长位置,有A42由分步乘法计数原理知,共有C21C63②有2名女生时,再选2名男生,有C62然后排队长、副队长位置,有A42由分步乘法计数原理知,共有C62A42所以依据分类加法计数原理知,共有480+180=660(种)不同的选法.法二:不考虑限制条件,共有A82而没有女生的选法有A62故至少有1名女生的不同选法有A82C62-答案:660思维升华解决组合问题的注意点(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,用间接法处理.(3)成双成对的元素一般是先取双再取单.对点训练1.(一题多法)(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有________种(用数字作答).

【解析】法一:由题意,可分三类:第一类,体育类选修课和艺术类选修课各选修1门,有C41C41种方案;第二类,在体育类选修课中选修1门,在艺术类选修课中选修2门,有C41C42种方案;第三类,在体育类选修课中选修2门,在艺术类选修课中选修1门,有C42C4法二:若学生从这8门课中选修2门课,则有C82-C42-C42=16(种)选课方案;若学生从这8门课中选修3门课,则有C83-C43-C43答案:642.某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法种数为________.

【解析】分两种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有C31(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有C32不同的选法共有C31C42+答案:30【加练备选】学校对面天桥最下面共有10级台阶,小王同学一步可跨一级台阶,也可跨两级台阶或三级台阶,则他恰好6步上完台阶的方法种数是 ()A.30 B.90 C.75 D.60【解析】选B.由题意可知,完成这件事情分三类:第一类,按照3,3,1,1,1,1的走法有C62第二类,按照3,2,2,1,1,1的走法有C61第三类,按照2,2,2,2,1,1的走法有C64所以他恰好6步上完台阶的方法种数是C62+C61考点三排列组合综合问题【例3】(1)(2024·九省联考)甲、乙、丙等5人站成一排,且甲不在两端,乙和丙之间恰有2人,则不同排法共有 ()A.20种 B.16种 C.12种 D.8种【解析】选B.因为乙和丙之间恰有2人,所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位.①当乙、丙及中间2人占据首四位,此时还剩末位,故甲在乙、丙中间,排乙、丙有A22种排法,排甲有A21种排法,所以有A22A21②当乙、丙及中间2人占据尾四位,此时还剩首位,故甲在乙、丙中间,排乙、丙有A22种排法,排甲有A21种排法,所以有A22A21由分类加法计数原理可知,一共有8+8=16(种)排法.(2)甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行演讲比赛,决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名,且丙和丁的名次相邻,则5人的名次排列可能有________种不同的情况.

【解析】由题意知,将丙和丁看成一个整体,分4种情况分析:①丙和丁的整体分别为第1、2名,有A22A33②丙和丁的整体分别为第2、3名,第1名只能是戊,所以甲和乙为第4、5名,有A22A22③丙和丁的整体分别为第3、4名,第1名只能是戊,所以甲和乙为第2、5名,有A22A22④丙和丁的整体分别为第4、5名,第1名只能是戊,所以甲和乙为第2、3名,有A22A22所以共有12+4+4+4=24(种)情况.答案:24思维升华排列组合问题的解题策略(1)对于有限制条件的排列组合问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法.在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)有限制条件的排列问题的常用方法:相邻问题采用捆绑法,不相邻问题采用插空法.对点训练1.(2022·新高考Ⅰ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同排列方式共有 ()A.12种 B.24种 C.36种 D.48种【解析】选B.因为丙、丁要在一起,先把丙、丁捆绑,看作一个元素,连同乙、戊看成三个元素排列,有3!种排列方式;为使甲不在两端,必须且只需甲在此三个元素的中间两