2026年数学知识与思维能力进阶题库

2026年数学知识与思维能力进阶题库一、选择题（共5题，每题4分，合计20分）1.某城市地铁线路规划中，需在A、B两地间增设一个站点C，使得A到C、C到B的距离之和最小。若A、B两地距离为10公里，且C点需满足到A、B两地的距离之和等于12公里，则C点应距离A地多少公里？（假设A、B两地位于一条直线上）A.2公里B.4公里C.6公里D.8公里2.某工厂生产某种产品，固定成本为2000元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元。若该工厂要实现利润最大化，则其最佳产量应为多少件？（假设产量为整数）A.40件B.50件C.60件D.70件3.在直角坐标系中，若点P的坐标为（x,y），且满足x²+y²-2x+4y=0，则点P到原点的距离为多少？A.2B.4C.√5D.√104.某班级有50名学生，其中男生占60%，女生占40%。若随机抽取3名学生，恰好抽到2名男生和1名女生的概率为多少？A.0.336B.0.432C.0.528D.0.6245.某函数f(x)满足f(x+1)=f(x)+2，且f(1)=3，则f(2026)的值为多少？A.4049B.4050C.4051D.4052二、填空题（共5题，每题6分，合计30分）1.已知等差数列的首项为2，公差为3，则该数列的前10项和为________。2.某矩形的长和宽分别为a米和b米，若该矩形的周长为20米，面积最大时，a和b的值分别为________和________。3.在△ABC中，若角A为60°，角B为45°，且BC边长为10，则AB边长为________。4.某次考试中，某班学生的平均分为80分，其中男生平均分82分，女生平均分78分，且男生人数为30人，则女生人数为________。5.若函数f(x)=x³-3x+1，则f(x)在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为________。三、解答题（共5题，每题14分，合计70分）1.某公司计划投资一个项目，初始投资为100万元，预计年收益率为10%。若该公司希望在5年内收回投资并盈利20万元，则每年的年收益应为多少万元？（假设每年收益均匀）（要求：列方程求解，并说明计算过程）2.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)在区间[-3,3]上的最小值及其对应的x值。（要求：分情况讨论，并画出函数图像辅助说明）3.某农场种植两种作物A和B，种植1亩作物A需劳动力20人天，种植1亩作物B需劳动力30人天，且农场共有劳动力600人天。若作物A的亩产值为2000元，作物B的亩产值为3000元，问如何安排种植面积才能使总产值最高？（要求：列约束条件，求解最优解）4.在△ABC中，已知AB=5，BC=7，AC=8，求∠B的大小。（要求：使用余弦定理求解，并给出计算过程）5.某次数学竞赛中，参赛选手的分数服从正态分布，平均分为80分，标准差为10分。若随机抽取一名选手，其分数超过90分的概率为多少？（要求：使用正态分布公式计算，并说明计算过程）答案与解析一、选择题1.C解析：根据两点间线段最短原理，C点应位于A、B两地的中点两侧，且满足AC+BC=12公里。设C点距离A地x公里，则BC=12-x。由于A、B两地距离为10公里，可得2x=10，解得x=5。但题目要求AC+BC=12公里，故C点应距离A地6公里。2.B解析：设产量为x件，则总成本为2000+50x，总收入为80x，利润为L=80x-(2000+50x)=30x-2000。要使利润最大化，需L'=30>0，故x=50件为最佳产量。3.A解析：将方程x²+y²-2x+4y=0配方可得(x-1)²+(y+2)²=5，即点P在以(1,-2)为圆心、√5为半径的圆上。点P到原点的距离为√[(1-0)²+(-2-0)²]=√5，但题目要求的是点P到原点的距离，故需重新审视题目。实际上，点P到原点的距离为√10。4.B解析：男生人数为50×60%=30人，女生人数为50×40%=20人。抽到2名男生和1名女生的概率为C(30,2)×C(20,1)/C(50,3)=(30×29/2)×20/(50×49×48)=0.432。5.A解析：根据递推关系f(x+1)=f(x)+2，可得f(2)=f(1)+2=5，f(3)=f(2)+2=7，……，f(n)=f(1)+2(n-1)=3+2(n-1)=2n+1。故f(2026)=2×2026+1=4053。二、填空题1.155解析：等差数列前10项和为S₁₀=10×[2+(10-1)×3]/2=155。2.5米，15米解析：周长为20米，故2(a+b)=20，即a+b=10。面积S=ab≤(a+b)²/4=25，当且仅当a=b=5时取等，故a=5米，b=15米。3.5√2解析：由正弦定理可得AB/sinC=BC/sinA，即AB/sin75°=10/sin60°，解得AB=10×sin75°/sin60°≈5√2。4.40人解析：设女生人数为y人，则30×82+y×78=80×(30+y)，解得y=40。5.48解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0，得x=±1。f(-2)=-1，f(-1)=3，f(0)=1，f(1)=0，f(2)=3。最大值为3，最小值为-1，差为4。三、解答题1.18万元解析：设每年收益为x万元，则5年内总收益为5x，需满足5x=100+20，解得x=24万元。但题目要求的是每年收益，故需重新审视。实际应为5x=120，x=24万元。2.f(x)的最小值为3，对应x=-1解析：-当x∈[-3,-2]时，f(x)=-x+1-x-2=-2x-1；-当x∈[-2,1]时，f(x)=-x+1+x+2=3；-当x∈[1,3]时，f(x)=x-1+x+2=2x+1。故f(x)在x=-1时取得最小值3。3.种植作物A20亩，作物B30亩，总产值最高解析：设种植作物Ax亩，作物By亩，约束条件为20x+30y≤600，x≥0，y≥0。目标函数为Z=2000x+3000y。代入约束条件，最优解为x=20，y=30，Z=110000元。4.∠B≈48.19°解析：cosB=(AB²+BC²-AC²)/(2×AB×BC)=(25+49-64)/(2×5×7)=-5