初二数学全等三角形专项练习

初二数学全等三角形专项练习全等三角形是初中几何的入门与基石，学好全等三角形，不仅能为后续学习四边形、圆等内容铺平道路，更能有效培养我们的逻辑推理能力和空间想象能力。这份专项练习，旨在帮助同学们系统梳理全等三角形的核心知识，并通过典型例题与针对性练习，深化理解，熟练运用。一、核心知识梳理与回顾在开始练习之前，让我们先静下心来，回顾一下全等三角形的基本概念、性质与判定方法，确保我们的“武器库”是充实的。1.全等形与全等三角形能够完全重合的两个图形叫做全等形。特别地，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。2.全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；由全等三角形的定义和性质可以进一步推知，全等三角形的对应中线、对应高线、对应角平分线也分别相等，全等三角形的周长相等，面积也相等。3.全等三角形的判定方法这是解决全等三角形问题的“金钥匙”，必须牢固掌握：*SSS(Side-Side-Side，边边边)：三边对应相等的两个三角形全等。*SAS(Side-Angle-Side，边角边)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（注意：这里的角必须是两边的夹角，“SSA”不能判定全等！）*ASA(Angle-Side-Angle，角边角)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。*AAS(Angle-Angle-Side，角角边)：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。*HL(Hypotenuse-Leg，斜边、直角边)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（这是直角三角形特有的判定方法）二、方法指导与解题技巧面对全等三角形的证明或计算问题，我们通常可以遵循以下思路：1.观察图形，明确目标：首先要清楚题目要我们证明什么（线段相等、角相等，还是其他关系），或计算什么。2.寻找已知条件，联想判定方法：仔细分析题目给出的已知条件（边、角关系），以及图形中隐含的条件（如公共边、公共角、对顶角相等）。根据这些条件，初步判断可以使用哪种判定方法。3.构造全等条件：如果直接给出的条件不足以判定全等，思考是否需要通过作辅助线（如连接某两点、过某点作垂线、延长某线段等）来构造出所需的边或角的关系。4.规范书写证明过程：证明时，要注意步骤清晰，逻辑严谨，“∵”（因为）和“∴”（所以）的使用要准确，每一步推理都要有依据（定义、公理、定理等）。书写格式一般是：先写出在哪两个三角形中，然后按判定方法的顺序列出三个条件，最后得出全等结论，并注明所用的判定方法。温馨提示：在寻找对应关系时，可以通过观察图形的位置、方向，或者将其中一个三角形进行平移、旋转、翻折后与另一个三角形重合的方式来确定对应顶点、对应边和对应角。书写全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这有助于快速找到对应元素。三、典型例题精讲例1：基础巩固型已知：如图，点A、F、C、D在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，AF=DC。求证：△ABC≌△DEF。分析：要证△ABC≌△DEF，我们先看已知条件。AB=DE，BC=EF，这是两组对应边相等。AF=DC，点A、F、C、D在同一直线上，那么AF+FC=DC+FC，即AC=DF。这样，我们就有了三组对应边相等，正好符合SSS判定定理。证明：∵AF=DC(已知)∴AF+FC=DC+FC(等式的性质)即AC=DF在△ABC和△DEF中，AB=DE(已知)BC=EF(已知)AC=DF(已证)∴△ABC≌△DEF(SSS)例2：利用“公共角”与SAS已知：如图，AB=AC，AD=AE。求证：△ABE≌△ACD。分析：观察图形，△ABE和△ACD有一个公共角∠A。已知AB=AC，AD=AE，正好是两组对应边及其夹角对应相等，符合SAS判定定理。证明：在△ABE和△ACD中，AB=AC(已知)∠A=∠A(公共角)AE=AD(已知)∴△ABE≌△ACD(SAS)例3：综合应用与辅助线（选讲）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE=DF。分析：要证DE=DF，它们分别是△BDE和△CDF的边，或者也可以看作是点D到∠BAC两边的距离。考虑到D是BC中点，AB=AC，我们可以连接AD，构造全等三角形或利用角平分线的性质。证法一（利用全等三角形）：连接AD。∵AB=AC，点D是BC的中点∴AD平分∠BAC(等腰三角形三线合一)即∠BAD=∠CAD∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠AED=∠AFD=90°在△AED和△AFD中，∠EAD=∠FAD(已证)∠AED=∠AFD(已证)AD=AD(公共边)∴△AED≌△AFD(AAS)∴DE=DF(全等三角形对应边相等)证法二（利用角平分线性质，若已学）：连接AD。∵AB=AC，点D是BC的中点∴AD平分∠BAC(等腰三角形三线合一)∵DE⊥AB，DF⊥AC∴DE=DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)点评：证法一严格使用了全等三角形的判定和性质，是我们必须掌握的基本方法。证法二直接运用了角平分线的性质，更为简洁，但需要以掌握该性质为前提。四、专项练习题以下练习题，请同学们认真思考，独立完成。注意规范书写证明过程。1.基础题：已知：如图，AB=CD，AD=BC。求证：∠A=∠C。2.基础题：已知：如图，∠1=∠2，AB=AD，AC=AE。求证：BC=DE。3.中档题：已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF。求证：AC=DF。4.中档题：已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。求证：AE=AF。5.提高题：已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D。求证：(1)AE=CD；(2)若AC=cm，求BD的长。（提示：先证△ACE≌△CBD）6.探究题：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D。求证：BC=DC。（提示：连接BD，或延长CB、CD构造全等三角形）五、总结与提升全等三角形的学习，不仅仅是记住几个判定定理那么简单，更重要的是学会观察图形，分析条件，进行逻辑推理。每一道几何题都像一个小小的迷宫，判定定理就是我们手中的地图和指南针。在练习过程中，希望同学们能够：*勤于动手：多画图，多标注已知条件，辅助线要大胆尝试。*善于总结：同一类型的题目，解题思路往往有共通之处，及时总结方法和技巧。*勇于质疑：对