新人教版八年级上册全等三角形经典题型

新人教版八年级上册全等三角形经典题型全等三角形是平面几何的入门与基石，学好全等三角形，不仅能帮助我们解决线段相等、角相等的证明问题，更能培养逻辑推理能力和空间想象能力。在新人教版八年级上册的教材中，全等三角形的内容占据了举足轻重的地位。本文将结合教材重点，梳理全等三角形的经典题型，并辅以解题思路与方法，希望能为同学们的学习提供有益的参考。一、预备知识：全等三角形的判定依据在探讨具体题型之前，我们首先要牢固掌握判定两个三角形全等的几个基本事实和定理，它们是解决所有全等问题的“武器”：1.边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。2.边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。3.角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。4.角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。5.斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（仅适用于直角三角形）特别提醒：判定三角形全等，必须要有“边”的参与，且“SSA”和“AAA”不能作为判定三角形全等的依据。二、经典题型解析（一）基础判定型：直接应用判定定理这类题目条件相对直接，通过观察图形和已知条件，可直接选用合适的判定定理证明三角形全等。例1：如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求证：△ABC≌△DEF。思路分析：已知AB=DE，AC=DF，这是两组对应边相等。要证全等，还需第三组边相等或这两组边的夹角相等。题目中给出BE=CF，观察图形可知，BE+EC=BC，CF+EC=EF，因此BC=EF。三组边对应相等，故可选用“SSS”判定。证明：∵BE=CF（已知）∴BE+EC=CF+EC（等式的性质）即BC=EF在△ABC和△DEF中AB=DE（已知）AC=DF（已知）BC=EF（已证）∴△ABC≌△DEF（SSS）例2：如图，AB=AD，∠BAC=∠DAC，求证：△ABC≌△ADC。思路分析：已知AB=AD，∠BAC=∠DAC，这是一组边和一组角对应相等，且这组角是已知两边的夹角（AB与AC的夹角，AD与AC的夹角）。因此，可直接选用“SAS”判定。证明：在△ABC和△ADC中AB=AD（已知）∠BAC=∠DAC（已知）AC=AC（公共边）∴△ABC≌△ADC（SAS）方法提炼：仔细审题，标记已知条件，对照判定定理，选择最合适的定理。公共边、公共角、对顶角等是隐含的已知条件，要善于发现。（二）间接条件型：挖掘隐含与转化此类题目条件不直接给出全等所需的边或角，需要通过简单的推理（如利用角平分线、垂直、平行线性质、等式性质等）将间接条件转化为直接条件。例3：如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D，AB=AD，求证：△ABC≌△ADE。思路分析：已知∠B=∠D，AB=AD。若能证明∠BAC=∠DAE，则可用“ASA”或“AAS”判定全等。观察到∠1=∠2，而∠BAC=∠1+∠DAC，∠DAE=∠2+∠DAC，根据等式性质可得∠BAC=∠DAE。证明：∵∠1=∠2（已知）∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC（等式的性质）即∠BAC=∠DAE在△ABC和△ADE中∠B=∠D（已知）AB=AD（已知）∠BAC=∠DAE（已证）∴△ABC≌△ADE（ASA）例4：如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C。求证：AF=DE。思路分析：要证AF=DE，可考虑证明△ABF≌△DCE。已知AB=DC，∠B=∠C。若能证明BF=CE，则可用“SAS”判定全等。由BE=CF，根据等式性质，两边同时加上EF，可得BF=CE。证明：∵BE=CF（已知）∴BE+EF=CF+EF（等式的性质）即BF=CE在△ABF和△DCE中AB=DC（已知）∠B=∠C（已知）BF=CE（已证）∴△ABF≌△DCE（SAS）∴AF=DE（全等三角形的对应边相等）方法提炼：遇到“中点”、“角平分线”、“垂直”等条件时，要联想到它们所蕴含的等量关系。例如，角平分线意味着两个角相等；垂直意味着两个角是直角（90°）；中点意味着线段被平分。（三）添辅助线型：构造全等的桥梁当题目条件不足以直接证明全等时，添加辅助线是常用的手段。辅助线的添加要根据图形特点和已知条件，目的是构造出能证明全等的条件。例5：如图，AD是△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD。思路分析：要证明AB+AC>2AD，考虑到AD是中线，即BD=CD，可通过“倍长中线法”构造全等三角形，将AB、AC、AD转移到同一个三角形中，利用三角形三边关系证明。延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，则可证△ADC≌△EDB，从而得到BE=AC。在△ABE中，AB+BE>AE，即AB+AC>2AD。证明：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE。∵AD是△ABC的中线（已知）∴BD=CD（中线的定义）在△ADC和△EDB中AD=ED（所作）∠ADC=∠EDB（对顶角相等）CD=BD（已证）∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC=EB（全等三角形的对应边相等）在△ABE中，AB+BE>AE（三角形两边之和大于第三边）∵BE=AC，AE=AD+DE=2AD∴AB+AC>2AD（等量代换）例6：如图，AB//CD，AD//BC，求证：AB=CD，AD=BC。思路分析：图形为平行四边形（虽然八年级上册未正式学习，但可通过平行线性质解决）。要证对边相等，可连接对角线AC（或BD），构造两个三角形全等。利用平行线的性质可得内错角相等，再结合公共边AC，可证△ABC≌△CDA。证明：连接AC。∵AB//CD（已知）∴∠BAC=∠DCA（两直线平行，内错角相等）∵AD//BC（已知）∴∠DAC=∠BCA（两直线平行，内错角相等）在△ABC和△CDA中∠BAC=∠DCA（已证）AC=CA（公共边）∠BCA=∠DAC（已证）∴△ABC≌△CDA（ASA）∴AB=CD，BC=AD（全等三角形的对应边相等）方法提炼：“倍长中线”、“截长补短”、“连接两点”、“作高”等是常用的辅助线添加方法。辅助线的添加没有固定模式，需要多练习、多总结，体会辅助线在“已知”和“未知”之间搭建桥梁的作用。（四）综合应用型：全等与性质的结合这类题目不仅要求证明三角形全等，还需要利用全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）解决后续问题，如证明线段相等、角相等、线段平行、垂直等。例7：如图，△ABC≌△DEF，点A、D、B、E在同一条直线上，求证：AC//DF，BC//EF。思路分析：要证AC//DF，BC//EF，可通过证明内错角相等来实现。由△ABC≌△DEF，可得∠A=∠EDF，∠ABC=∠E。因为∠A和∠EDF是AC与DF被AE所截形成的内错角，∠ABC和∠E是BC与EF被AE所截形成的内错角，所以内错角相等，两直线平行。证明：∵△ABC≌△DEF（已知）∴∠A=∠EDF，∠ABC=∠E（全等三角形的对应角相等）∴AC//DF（内错角相等，两直线平行）BC//EF（内错角相等，两直线平行）方法提炼：证明完成后，要明确指出所用到的全等三角形的性质，将全等的条件与最终要证的结论联系起来。三、解题策略与温馨提示1.审清题意，标记已知：拿到题目后，仔细阅读，将所有已知条件在图形上用符号标记出来（如相等的边用相同的小竖线，相等的角用相同的弧线），有助于直观分析。2.明确目标，逆向思维：要证什么？需要什么条件才能证出这个目标？如果需要证明三角形全等，是哪两个三角形？它们已经具备了哪些条件？还缺什么条件？3.选择定理，尝试构建：根据已知条件和图形特点，选择合适的全等判定定理。如果条件不足，思考如何通过添加辅助线或利用其他几何性质（如角平分线、垂直、平行、中点等）来补充条件。4.规范书写，条理清晰：证明过程要做到步步有据，逻辑清晰。“在△XXX和△XXX中”、“∵”、“∴”等符号的使用要规范，写出全等的三个条件时，注意对应顶点的字母顺序最好一致。5.善于总结