素养导向的差异化教学设计：有理数的乘方（人教版七年级上册）

素养导向的差异化教学设计：有理数的乘方（人教版七年级上册）一、教学内容分析

从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，“有理数的乘方”隶属“数与代数”领域，是继有理数的加、减、乘、除四种基本运算后的又一重要拓展，构成了完整的“有理数运算”知识链。其知识技能图谱的核心在于理解乘方作为“特殊乘法”的本质，掌握幂、底数、指数的概念及正负数乘方的符号法则。这不仅是后续学习科学记数法、开方运算乃至代数式求值的基石，更深刻体现了“化繁为简”的数学思想。其过程方法路径强调从具体情境中抽象出数学概念（数学抽象），通过观察、归纳、概括指数与幂的变化规律（逻辑推理），并能在实际情境中加以判断与应用（数学运算）。本课蕴含的素养价值渗透尤为关键：通过探索乘方运算的爆炸性增长特性，引导学生感悟“量变引起质变”的辩证思想；借助对诸如棋盘放米、细胞分裂等现实或科学情境的建模，体会数学的广泛应用价值，培育模型观念与应用意识；在辨析底数与指数作用的差异中，锤炼思维的严谨性与精确性。

基于“以学定教”原则，学情研判如下。学生已有基础与障碍：七年级学生已熟练掌握有理数的四则运算及运算律，具备初步的抽象概括能力。生活经验中接触过“平方”、“立方”等术语，但对一般化的乘方概念及指数为大于3的整数的运算较为陌生。主要认知障碍可能在于：（1）混淆乘方与乘法的意义，如误将2^3理解为2×3；（2）对负数的乘方运算符号确定易产生混乱；（3）对乘方运算结果（尤其是大数）的直观感知不足。过程评估设计将贯穿课堂：通过导入提问、探究活动中的小组发言、板演及随堂练习反馈，动态捕捉学生的理解盲点与思维火花。教学调适策略将体现差异化：对于概念理解有困难的学生，提供更多从乘法到乘方的直观类比与具体算例铺垫；对于接受较快的学生，则引导其探索幂的符号规律的一般性证明或挑战复杂情境的应用问题，满足不同认知节奏的需求。二、教学目标

知识目标：学生能准确说出乘方、幂、底数、指数的定义，理解乘方是求相同因数积的运算本质。能正确辨析如(2)^4与2^4这类易混淆式子的含义与结果，并熟练、准确地计算有理数的乘方运算，归纳出正数、负数及0的乘方运算的符号法则，构建起清晰、稳固的乘方运算知识结构。

能力目标：学生经历从具体乘法算式到抽象乘方概念的概括过程，提升数学抽象与符号表达能力。在探索乘方运算法则的活动中，发展观察、归纳、类比和逻辑推理能力。能够将现实问题（如纸张对折、面积体积计算）转化为乘方运算模型，并运用运算结果解释或预测现象，初步形成数学建模的应用能力。

情感态度与价值观目标：通过感受乘方运算结果的快速增长特性（如“棋盘上的米粒”故事），激发对数学奥秘的好奇心与探索欲。在小组合作探究与交流中，养成乐于分享、认真倾听、严谨表述的学习习惯。体会数学符号的简洁之美与威力，增强学习数学的自信心和理性精神。

科学（学科）思维目标：重点发展数学抽象思维与归纳推理思维。通过设置“如何简洁表示多个相同因数相乘”的核心问题链，驱动学生经历从具体到一般的抽象过程。在大量具体算例的计算与观察中，引导学生主动发现并归纳幂的符号与底数、指数的关系，体验从特殊到一般的归纳思维路径。

评价与元认知目标：引导学生学会使用“概念辨析清单”进行自我检测，如“我是否能清楚区分底数和指数的作用？”鼓励学生在练习后开展同伴互评，关注解题过程的规范性与逻辑性。课堂小结时，引导学生反思“本节课我学到了哪种新的思考问题的方法？”，促进其对学习策略的监控与优化。三、教学重点与难点

教学重点：有理数乘方的意义及运算。确立依据：从课标定位看，乘方运算是对乘法运算的升华，是构建完整有理数运算体系不可或缺的“大概念”。从学业评价看，乘方是后续学习科学记数法、整式运算、函数等内容的基石，也是各类考试中考查运算能力与符号意识的高频考点。其掌握程度直接关系到学生代数运算基础的牢固性。

教学难点：负数的乘方运算及对幂的符号规律的归纳与理解；辨析类似(a)^n与a^n的区别。预设依据：基于学情，学生已有的认知对“负负得正”在连续乘法中的多次应用易形成思维疲劳，导致符号判断出错。此难点源于思维的抽象性与程序性要求较高。突破方向在于：设计层层递进的算例“脚手架”，让学生在计算观察猜想验证的循环中自主建构规律，并通过对比辨析，深刻理解括号在决定底数时的关键作用。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：精心设计的多媒体课件，包含“纸张对折”动画、“棋盘放米”故事、概念形成流程图、梯度练习题组。1.2学习材料：设计并印制“乘方探索学习任务单”（含探究表格、分层练习区）、小组活动卡片。2.学生准备2.1知识预备：复习有理数乘法运算，特别是多个负数相乘的积的符号规律。2.2学具：常规文具。3.环境布置3.1座位安排：小组合作式座位（46人一组），便于课堂讨论与探究。3.2板书规划：左侧主板书呈现概念形成主线与核心法则；右侧副板书用于学生板演及生成性内容展示。五、教学过程第一、导入环节

1.情境创设与认知冲突：“同学们，传说国际象棋的发明者向国王请求赏赐米粒，要求在棋盘的第1格放1粒，第2格放2粒，第3格放4粒，以此类推，每一格都是前一格米粒数的2倍。国然答应。大家猜猜，仅在第20格，需要放多少粒米？”（稍作停顿，让学生自由猜测）此时，有学生可能猜几千、几万。教师揭示：“根据这个规律，第20格需要的米粒数是2连续相乘19次，也就是2^19。这个数大约是52万粒！而棋盘64格的总数更是一个天文数字。”接着，展示另一个情境：“如果将一张厚度仅为0.1毫米的纸对折20次，大家觉得它会不会有一本书那么厚？”（学生常会低估）教师可顺势说：“算一算就知道，它的厚度将超过100米，比30层楼还高！这些令人惊讶的结果，都源于我们今天要学习的一种新的运算——乘方。”

1.1问题提出与路径明晰：“从这些例子中，我们看到，当大量相同因数相乘时，书写和计算都非常麻烦。数学追求简洁，我们能否像发明‘乘法’简化‘加法’一样，发明一种新的表示方法来简化这种‘连乘’呢？这节课，我们就一起来当一回‘数学发明家’，探索这种简洁而威力强大的运算——有理数的乘方。我们将首先‘创造’它的表示法，然后研究它的运算‘法则’，最后用它来解释或解决一些有趣的问题。”第二、新授环节

本环节旨在通过搭建认知脚手架，引导学生主动建构乘方概念、理解其组成部分、探索运算规律。任务一：“创造”乘方——从具体乘法到抽象表示教师活动：首先，板书一组算式：2×2，2×2×2，2×2×2×2，并提问：“这几个算式有什么共同特点？”（都是相同因数2的乘法）接着，引导学生回顾：“以前我们遇到相同加数相加时，用乘法简化，比如2+2+2+2=2×4。那么，面对这种‘相同因数相乘’的情况，我们能否也发明一种简洁的记法呢？请大家在小组内讨论一下，可以怎么表示‘3个2相乘’？”巡视中，教师可提示：“想想，新的记法里需要包含哪两个关键信息？（因数是几？有几个这样的因数）”邀请小组分享他们的“发明”，并引导全班评价各种表示法的优劣。最后，教师介绍数学界的“约定”：“大家的设计都很有想法。在数学上，我们普遍采用这样的记法：2×2×2记作2^3，读作‘2的3次方’或‘2的3次幂’。”然后，类比地写出5×5×5×5的乘方表示，并说：“看，是不是简洁多了？我们一起来认识一下这个新‘发明’的各个部分叫什么名字。”学生活动：观察教师提供的算式，识别其“相同因数相乘”的特征。以小组为单位展开头脑风暴，尝试用自己认为简洁的符号或方式表示“3个2相乘”。积极参与讨论，倾听同伴想法，并尝试阐述自己设计的理由。跟随教师讲解，认识乘方的标准记法、读法及各部分名称（底数、指数、幂）。即时评价标准：1.能否准确概括出所给算式的共同特征。2.小组讨论中，提出的表示法是否试图包含“因数”和“个数”两个要素。3.能否在教师讲解后，正确指出给定幂（如5^4）的底数、指数，并准确读出。形成知识、思维、方法清单：

★乘方的定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。它是一种特殊的乘法运算，是乘法的简便写法。

★乘方的组成部分：在a^n中，a叫做底数（相同的因数），n叫做指数（相同因数的个数），a^n整体叫做幂（运算的结果）。读作“a的n次方”或“a的n次幂”。

▲认知提示：可以将乘方理解为“升级版的乘法”，正如乘法是加法的升级。引导学生思考：“这里指数n可以是哪些数？”（目前学过的正整数）为后续拓展埋下伏笔。任务二：概念辨析与巩固——理解底数与指数的“权力”教师活动：设计一组辨析题，采用“判断并说明理由”的形式。首先写出(3)^2，提问：“这个式子的底数是多少？指数是多少？它表示什么意思？结果应该是多少？”待学生回答后，紧接着写出3^2，提问：“这个式子又表示什么意思？它的底数是什么？”（此处是关键）“大家发现这两个式子的区别了吗？一个小括号，带来了怎样的不同？”教师可以用颜色或圈画强调括号。然后，给出更多例子让学生口答含义，如(2/3)^3与2/3^3。总结强调：“括号就像是一个‘权力范围’的划定者，它决定了谁是底数。底数负，整个因数才负；指数只管个数，不管正负。”学生活动：集中注意力辨析教师板书的式子。积极思考并回答教师的问题，努力厘清(3)^2与3^2的本质区别。通过更多例子的快速口答，巩固对底数确定方法的理解，明确括号的核心作用。即时评价标准：1.能否清晰解释(3)^2表示“两个3相乘”。2.能否正确指出3^2的底数是3，该式子表示“3的平方的相反数”。3.在后续例子中能否快速、准确地说出算式的含义。形成知识、思维、方法清单：

★易错点辨析：(a)^n与a^n的意义截然不同。(a)^n的底数是a，表示n个a相乘；a^n的底数是a，表示a^n的相反数。括号是区分二者的关键。

▲思维方法：培养精确的符号阅读能力。读数学式子要像读法律条文一样严谨，每一个符号（包括括号）都有其特定作用，不能忽略。

★书写规范：负数或分数作底数时，通常要加括号以明确范围。这是一个重要的数学书写习惯。任务三：动手计算，初探规律——从“算”中“看”教师活动：发放“乘方探索学习任务单”第一部分表格。表格左侧列出一系列需要计算的乘方，包括：2^1,2^2,2^3,2^4;(2)^1,(2)^2,(2)^3,(2)^4;0^3,0^4;(1/2)^2等。教师指令：“现在，请大家化身‘计算侦探’，独立完成表格中的计算，并将结果填入。完成计算后，重点观察表格中这些幂的结果，特别是它们的符号，你能发现什么规律吗？把你的发现和同桌小声交流一下。”教师巡视，关注学生的计算过程，特别留意负数的乘方计算是否正确，对需要帮助的学生进行个别指导。学生活动：独立完成计算任务，将结果填入表格。计算后，仔细观察、对比同一列或不同列数据的特征，特别是底数的正负、指数的奇偶与幂的符号之间的关系。与同桌交流自己的观察发现，尝试用语言进行初步概括。即时评价标准：1.计算过程是否准确，尤其是(2)^3、(2)^4等关键项。2.观察是否聚焦于“底数符号”、“指数奇偶”与“幂的符号”三者关系。3.小组交流时，能否清晰地陈述自己的发现。形成知识、思维、方法清单：

★乘方运算的步骤：先确定幂的符号，再计算绝对值的乘方（将乘方转化为乘法计算）。这是进行有理数乘方运算的基本程序。

★正数乘方的性质：正数的任何次幂都是正数。这个结论直观，可以作为符号判断的基础。

★负数乘方的符号规律（核心发现）：负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。这是本节课需要掌握的核心法则之一，源于“负负得正”在连续乘法中的应用。任务四：归纳概括，形成法则——从“看”到“说”教师活动：邀请几个小组的代表分享他们发现的规律。教师将学生的发现关键词（如“负数的”、“奇数次”、“负数”等）板书在副板书区域。然后，引导学生将零散的语言整合成完整的、有条理的表述。教师提问：“谁能用‘如果…那么…’的句式，完整地说出负数的乘方符号规律？”待学生尝试后，教师进行规范化表述并板书：“负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。”接着追问：“那么，0的乘方有什么特点呢？”引导学生从0乘以任何数都得0的角度进行解释，得出“0的任何正整数次幂都是0”。最后，教师可以挑战性地问：“大家归纳的这个规律可靠吗？我们能不能用乘方的定义和乘法的符号法则来证明一下呢？”对于学有余力的学生，可引导其思考。学生活动：认真倾听同伴的汇报，对比自己的发现。尝试用更精准、更数学化的语言概括规律。在教师引导下，齐声朗读或复述完整的符号法则。思考并回答关于0的乘方的问题。部分学生可尝试对负数的乘方符号规律进行说理论证（如：(2)^4=(2)×(2)×(2)×(2)，根据乘法符号法则，4个负数相乘，积为正）。即时评价标准：1.小组代表的发言是否基于计算数据，结论是否明确。2.学生最终能否独立、准确地复述负数乘方的符号法则和0的乘方性质。3.能否将规律从具体数字推广到一般字母表示（如对于(a)^n）。形成知识、思维、方法清单：

★有理数乘方的符号法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0。

▲学科思维方法（归纳推理）：从大量的、具体的特例（计算具体数值）中，观察共性，发现规律，并提出一般性的猜想或结论。这是数学发现的重要方式之一。

▲认知深化：理解符号法则的本质是乘法符号法则的多次应用。可以将“奇数次幂得负”理解为乘法中“奇数个负数相乘，积为负”的直接推论。任务五：法则应用与概念升华——解决导入问题教师活动：带领学生回到导入时的两个问题。“现在，我们拥有了乘方这个强大的工具，能否来精确计算一下导入时的问题呢？”首先，引导学生列出“纸张对折20次”的厚度计算式：0.1×2^20（毫米）。提问：“这里2^20的底数是正数，所以结果符号为正，我们只需计算其数值。虽然数值很大，但我们可以先感受一下它的数量级。”接着，处理“棋盘第20格米粒数”：2^19。教师可展示计算器或预先算好的结果。然后，提出一个更深层的问题：“(1)^n，当n是正整数时，它的结果有规律吗？请大家快速口答：(1)^1,(1)^2,(1)^3,(1)^4…你发现了什么？”引导学生得出(1)^n在n为奇数时得1，偶数时得1的规律，并感受其周期性。最后，引导学生总结乘方的价值：“乘方不仅简化了书写，更让我们能够描述和计算那些呈爆炸式增长或衰减的过程，这是它在科学、金融等领域广泛应用的原因。”学生活动：运用所学知识，列出导入问题的乘方表达式。理解虽然具体数值庞大，但利用乘方表示和运算规律可以清晰地描述问题。快速口答(1)^n的系列值，并总结规律。在教师引导下，反思本节课所学，体会乘方运算的威力和数学的简洁美、力量美。即时评价标准：1.能否正确地将实际问题情境转化为乘方算式。2.能否迅速判断并口答出(1)^n的系列值，并归纳出简明规律。3.能否从感性上认同乘方在表示大数或规律性变化时的优势。形成知识、思维、方法清单：

★乘方的应用价值：乘方是描述和解决“几何级数增长/衰减”模型的核心数学工具，如细胞分裂、复利计算、声音强度等。

▲特殊底数的乘方规律：(1)^n是一个非常重要的特例，其结果为：n为奇数时是1，n为偶数时是1。这个规律在后续学习中将多次出现。

▲数学建模的初步体验：将“对折次数与厚度”、“棋盘格数与米粒数”等现实关系抽象为乘方数学模型，是运用数学解决实际问题的关键一步。第三、当堂巩固训练

设计分层训练体系，提供即时反馈。

基础层（全员过关）：1.口答：指出下列幂的底数、指数，并计算：4^3，(5)^2，5^2，(1/3)^2。2.判断正误：（1）2^3=2×3，（2）(3)^4表示4个3相乘，（3）2^4=16。（教师巡视，收集典型错误，如第1题中的5^2，为讲评做准备。）

综合层（情境应用）：3.某种细菌每30分钟由一个分裂成2个。经过5小时，1个细菌可以分裂成多少个？（引导学生先算分裂次数，再列式2^10）4.计算：(1)^2023，(0.1)^3，(2)^3。（此层练习强调在新情境中识别模型，以及处理稍复杂的符号和计算。）

挑战层（思维拓展）：5.（选做）已知a=2，b=3，求下列各式的值：（1）a^2b^2；（2）(ab)^2。比较两题结果，你发现了什么？能否用学过的知识解释？6.（选做）探究：平方等于它本身的数有哪些？立方等于它本身的数有哪些？（挑战层连接了代数式求值、公式感知，并渗透了方程思想，为学有余力的学生提供探究空间。）

反馈机制：基础层练习采用“快速核对+关键题讲评”方式，聚焦共性易错点。综合层练习可请学生上台板演并讲解思路，教师点评其建模过程和运算规范性。挑战层练习的答案或思路可在课后公布或请完成的学生做小范围分享，保护不同层次学生的成就感。第四、课堂小结

知识整合：引导学生自主回顾，可采用提问式：“今天我们‘发明’了一种新运算，它叫什么？它由哪几部分组成？它的运算法则，特别是符号法则是什么？”鼓励学生用关键词或简易框图（如中心是“乘方”，向外辐射“定义”、“各部分”、“法则”、“应用”）进行结构化梳理。

方法提炼：“回顾整个学习过程，我们是如何认识乘方的？（从具体例子出发，抽象出概念，再通过计算观察归纳规律，最后应用）这种‘从特殊到一般’的研究方法，在很多数学知识的学习中都会用到。”

作业布置与延伸：“课后，请大家完成作业单上的分层作业。必做题是巩固我们今天所学的核心内容；选做题A涉及一个有趣的‘拉面’中的数学问题；选做题B则是一个关于乘方运算规律的小探究。预告一下，下节课我们将学习一种用乘方来表示非常大或非常小的数的方法——科学记数法，今天学的乘方可是它的重要基础哦！”六、作业设计

基础性作业（必做）：1.教科书对应节次的配套练习题（侧重概念辨析与基本计算）。2.整理本节课的笔记，用自己的话写出乘方的定义、符号法则，并各举两个例子说明。

拓展性作业（建议大多数学生完成）：3.（情境题）一根面条对拉一次变成2根，再对拉一次变成4根……依此规律，对拉6次后，能得到多少根面条？请列出乘方算式并计算结果。4.计算下列各值，并思考(a)^n与a^n在a为不同符号时的关系：（1）当a=2时，分别求(a)^3和a^3；（2）当a=2时，分别求(a)^3和a^3。

探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：5.查阅资料，了解除了“棋盘放米”，还有哪些经典故事或现实问题体现了乘方运算的“指数效应”？选择一个，用简短的文字说明并配上算式。6.观察下列等式：1^3=1^2；1^3+2^3=(1+2)^2；1^3+2^3+3^3=(1+2+3)^2。请你猜想：1^3+2^3+3^3+4^3的结果会等于什么？并验证你的猜想。你能发现什么规律吗？（尝试用一句话描述）。七、本节知识清单及拓展

★1.乘方的本质：乘方是求n个相同因数a的积的运算，记作a^n，是乘法运算的简便形式。

★2.幂的组成：a^n中，a是底数，n是指数，a^n读作“a的n次方”或“a的n次幂”。

★3.底数的确定（易错点）：底数是括号内的整个式子。(a)^n的底数是a，a^n的底数是a，二者意义不同。

★4.乘方运算的符号法则：（1）正数的任何正整数次幂都是正数。（2）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。（3）0的任何正整数次幂都是0。

★5.特殊底数的乘方：1的任何次幂都是1；1的奇数次幂是1，偶数次幂是1。

▲6.乘方运算的步骤：先定符号（利用符号法则），再算绝对值（将乘方转化为乘法计算）。

▲7.乘方的初步应用：可用于计算面积（正方形边长的平方）、体积（正方体边长的立方），以及描述呈固定倍数增长（如细胞分裂、谣言传播）或衰减的过程。

▲8.数学思想方法：本节课主要运用了“从特殊到一般”的归纳思想（归纳符号法则）和“数学抽象”思想（从具体乘法抽象出乘方概念）。

▲9.与后续知识的联系：乘方是学习科学记数法（表示大数或小数）、幂的运算性质、开方运算、函数（如指数函数）的基础。

▲10.历史文化背景：我国古代《易经》中的八卦就用到了2的乘方思想（2^3=8）。指数概念的系统发展则与16世纪欧洲数学家如笛卡尔等人的工作密切相关。八、教学反思

（一）目标达成度分析：从课堂观察与随堂练习反馈来看，绝大多数学生能正确说出乘方各部分的名称，能计算简单的有理数乘方，表明知识目标基本达成。在能力目标上，学生能较好地从具体算例中归纳符号规律，但在独立将复杂文字情境（如细菌分裂）转化为乘方模型时，部分学生仍有困难，这提示情境教学需要更细致的引导支架。情感目标方面，导入环节与乘方威力的展现有效地激发了学生的兴趣，课堂氛围积极。

（二）环节有效性评估：1.导入环节：“纸张对折”与“棋盘放米”的反差成功地制造了认知冲突，迅速抓住了学生的注意力，提出的核心问题清晰有力。2.新授环节：五个任务环环相扣，逻辑清晰。“创造表示法”的任务激活了学生的主动性；“概念辨析”环节直击痛点，学生反应热烈，