第3章扭转变形

第3章扭转§3-1扭转的概念和实例§3-3纯剪切§3-2外力偶矩的计算、扭矩及扭矩图§3-4圆轴扭转时的应力§3-5圆轴扭转时的变形§3-6等直圆杆扭转时的应变能§3-7矩形截面杆扭转理论简介2026/2/8第1页/共63页工程实例：汽车传动轴

传动轴§3-1

扭转的概念和实例传动轴受扭2026/2/8第2页/共63页2026/2/8工程实例：汽车方向盘第3页/共63页工程实例：齿轮传动轴

2026/2/8第4页/共63页工程实例：螺栓、螺母

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本章研究杆件发生扭转变形，其它变形可忽略的情况，以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要研究对象。研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。2026/2/8第6页/共63页变形特点：1.杆件各横截面绕轴线作相对转动；

2.杆表面的纵向线倾斜了一个角度

。受力特点：圆截面直杆受到与杆轴线垂直平面内的外力偶M作用。2026/2/8

MeMe

第7页/共63页§3-2外力偶矩的计算、扭矩及扭矩图1.传动轴的外力偶矩

当传动轴稳定转动时，外力偶在单位时间内所作之功等于外力偶之矩M

与相应角速度的乘积。2026/2/8主动轮从动轮从动轮第8页/共63页

从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，2026/2/8从动轮主动轮从动轮注意转向第9页/共63页2.扭矩及扭矩图

传动轴横截面上的扭矩T可利用截面法来计算。T=M2026/2/8保留左端保留右端第10页/共63页2026/2/8扭矩正负规定右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为正(+),负(-)扭矩图表示各横截面上的扭矩沿轴线的变化情况的图。第11页/共63页[例题3-1]

已知：,PA

=36KW，PB

=PC

=11KW，PD=14KW。试作轴的扭矩图。

解：1.计算外力偶矩2026/2/8第12页/共63页2.计算各段的扭矩BC段内：CA段内：2026/2/8AD段内：第13页/共63页2.计算各段的扭矩扭矩等于保留段的全部外力偶矩的代数和。外力偶矩投影箭头向上为正,外力偶矩投影箭头向下为负。保留左端2026/2/8保留右端符号相反第14页/共63页3.作扭矩图

由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其值为700N.m。2026/2/8第15页/共63页思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？2026/2/8第一种方案第二种方案第16页/共63页2026/2/8第二种方案第一种方案那个方案好?第17页/共63页2026/2/8aa2aMe2Me3MeABCD试求各段的扭矩，画扭矩图第18页/共63页§3-3纯剪切试验中观察到：(1)当变形很小时，各圆周线的大小与间距不变，仅绕轴线作相对旋转；(2)各纵向线倾斜一角度，矩形网格均变成同样大小的平行四边形。1.薄壁圆管扭转时的切应力2026/2/8第19页/共63页(1)只有与圆周相切的切应力，且圆周上所有点处的切应力相同，横截面上无正应力。(2)对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布。横截面上的应力：2026/2/8A放大第20页/共63页2026/2/81.薄壁圆管扭转时的切应力第21页/共63页2.切应力互等定理微小单元体上的力偶平衡,即结论：在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，方向则均指向或均离开该交线。——切应力互等定理2026/2/8第22页/共63页纯剪切的概念如果单元体的两对互相垂直的平面上只有切应力，而在另一对平面上没有任何应力，则该单元体处于纯剪切状态。2026/2/8第23页/共63页3.剪切胡克定律

在切应力的作用下,微体发生了直角改变，这种角变量称为切应变。

扭转试验表明:当切应力不超过材料的剪切比例极限时,切应力与切应变成正比,引入比例系数G,则切变模量,其值随材料而异剪切虎克定律钢材的切变模量的约值为：G=80GPa2026/2/8第24页/共63页§3-4圆杆扭转的应力一.横截面上的应力表面变形情况推断横截面的变形情况(问题的几何方面)横截面上应变的变化规律横截面上应力变化规律应力-应变

关系(问题的物理方面)内力与应力关系横截面上应力的计算公式(问题的静力学方面)2026/2/8第25页/共63页2026/2/8第26页/共63页1.表面变形情况：各圆周线的大小、形状和间距不变，仅绕轴线作相对转动；(b)纵向线倾斜了一个角度g

。平面假设——变形后横截面仍保持为平面。推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。(1)变形几何关系一.圆柱扭转横截面上的应力2026/2/8第27页/共63页2.切应变随点的位置的变化规律2026/2/8根据变形后横截面任为平面、半径任为直线的假设，求矩圆心为处的切应变：第28页/共63页2026/2/8第29页/共63页

式中——相对扭转角j沿杆长的变化率，常用j'

来表示，对于给定的横截面为常量。

可见，在横截面的同一半径r

的圆周上各点处的切应变gr

均相同；gr与r

成正比，且发生在与半径垂直的平面内。bbTTO1O2dj

GG'DD'aadxAEggrr2026/2/8第30页/共63页(2)物理关系由剪切胡克定律t=Gg

知此式表明：扭转切应力沿截面径向线性变化。空心圆轴切应力分布实心圆轴切应力分布2026/2/8圆周上任一点都是危险点第31页/共63页(3)静力学方面其中称为横截面的极惯性矩Ip，它是横截面的几何性质。切应力计算公式以代入上式得：2026/2/8（3.8）第32页/共63页抗扭截面系数，单位为m3横截面周边上各点处(r=R)的最大切应力为极惯性矩扭矩二.最大扭转切应力2026/2/8第33页/共63页实心圆截面二.圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp2026/2/8第34页/共63页思考：对于空心圆截面，,其原因是什么？空心圆截面2026/2/8第35页/共63页解：（1）内力分析

AB段:BC段:2026/2/82112[补充例题]

轴左段为实心圆截面，d=20mm，右段为空心圆截面，d=15mm、D=25mm。，

，试计算轴内的最大扭转切应力。

第36页/共63页（2）应力分析2026/2/82211第37页/共63页低碳钢扭转破坏断口2026/2/8第38页/共63页铸铁扭转破坏断口2026/2/8第39页/共63页

思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？2026/2/8第40页/共63页2026/2/8三、强度条件强度校核设计截面确定许可载荷应用第41页/共63页

[补充例题]

图示阶梯空心圆轴，MA=150N.m,MB=50N.m，MC=100N.m,[t

]=90MPa。试校核该轴的强度。解：(1)求AB与BC段的扭矩AB段：T1=MA=150N·mBC段：T2=Mc=100N·m2026/2/8182418221122第42页/共63页(2)强度校核故该轴的扭转强度符合要求。第43页/共63页

[例3.2题]

图示传动轴，

材料为45钢，。试根据强度要求确定轴的直径。解:(1)求外力矩(2)作扭矩图第44页/共63页(3)强度校核故有可见,按强度要求可取。第45页/共63页

[例3-3]汽车传动轴。T=1.5kN.m，[]=60MPa，无缝钢管的D=90mm

,d=85mm,试校核轴的强度。若保持最大切应力不变，将轴改为实心轴，试比较实心轴和空心轴的重量。解：(1)空心轴强度校核2026/2/8故轴满足强度条件。第46页/共63页(2)确定实心与空心圆轴的重量比2026/2/8由此求出

可见：空心轴远比实心轴轻。第47页/共63页§3-5圆杆扭转时的变形1.扭转时的变形

等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移)j来度量。MeADBCMejg2026/2/8第48页/共63页

当等直圆杆相距l的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有2026/2/8

由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为。可知，杆的相距的两横截面之间的相对扭转角j为第49页/共63页2.刚度条件式中的许可单位长度扭转角[]的常用单位是(°)/m。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：对于精密机器的轴[

]≈0.15~0.30(°)/m；对于一般的传动轴[

]≈2

(°)/m。2026/2/8第50页/共63页

[例3-4]图示例3.2钢制实心圆截面轴。2026/2/8已知：试按刚度要求计算该轴的直径及的总扭转角。解：1、按刚度条件计算直径选取第51页/共63页2、各段轴的两个端面间的相对扭转角：123BC2026/2/8第52页/共63页3、齿轮3

相对于齿轮1的扭转角2026/2/8第53页/共63页§3-6等直圆杆扭转时的应变能（选讲）纯剪切应力状态下的应变能密度计算外力所作功dW

使左侧面不动，右侧面上的外力tdydz在相应的位移gdx上作功。2026/2/8纯剪切应力状态的单元体第54页/共63页

当材料在线弹性范围内工作时(t≤tp，见图b)，有2026/2/8纯剪切应力状态的单元体第55页/共63页

单元体内蓄积的应变能dVε数值上等于单元体上外力所作功dW，即dVε=dW

。单元体单位体积内的应变能，亦即纯剪切应力状态下的应变能密度为

由剪切胡克定律t=Gg，该应变能密度的表达式可写为2026/2/8第56页/共63页

在扭矩T为常量时，长度为l的等直圆杆所蓄积的应变能为

等直圆杆在扭转时积蓄的应变能由

可知，亦有2026/2/8第57页/共63页

当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆内蓄积的应变能为应变能亦可如下求得：2026/2/8第58页/共63页

例题3-7图示AB、CD为等直圆杆，扭转刚度均为GIp，BC为刚性块，D

截面处作用有外力偶矩Me。试求：（1）杆系内的应变能；（2）利用外力偶矩所作功在数值上等于杆系内的应变能求D截面的扭转角

jD。ABCDMel/2l2026/2/8第59页/共63页T2=MeDMeT1=-MeBCDMe解